Аппроксиматор монотонных функций

 

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может найти применение в специализированных вычислительных и информационно-измерительных системах. Целью изобретения является повышение точности за счет реализации кусочно-квадратичной зависимости. Аппроксиматор содержит управляемый делитель частоты, генератор импульсов, счетчик номера участка, преобразователь кода в частоту, счетчик функции, счетчик импульсов, ключ, преобразователь кода в интервал времени и счетчик длины участка, а управляемый делитель частоты выполнен в виде последовательно соединенных кодовыми шинами мультиплексора и преобразователя кода в частоту. 1 ил.

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может найти применение в специализированных вычислительных и информационно-измерительных системах, в системах автоматического управления при воспроизведении и вычислении методом кусочно-квадратичной аппроксимации монотонных функций, аргумент которых представлен число-импульсным кодом.

Известен аппроксиматор монотонных функций, аргумент которых представлен число-импульсным кодом, содержащий два преобразователя кода в частоту, каждый из которых включает в себя группу элементов И и элемент ИЛИ и общий для обоих преобразователей делитель частоты, последовательно соединенные кодовыми шинами счетчик функции, дешифратор узлов аппроксимации, счетчик номера участка и дешифратор номера участка, два блока памяти коэффициентов давления и блок суммирования [1].

Наиболее близким к изобретению техническим решением выбранным в качестве прототипа, является аппроксиматор монотонных функций, аргумент которых представлен число-импульсным кодом, содержащий генератор импульсов, управляемый делитель частоты, последовательно соединенные кодовыми шинами блок памяти и регистр, счетчик номера участка, переключатель каналов, элемент ИЛИ, формирователь импульсов и преобразователь кода в частоту, включающий в себя элемент И-ИЛИ и делитель частоты, частотный вход которого, являющийся частотным входом преобразователя кода в частоту, соединен с частотным выходом управляемого делителя частоты, частотный вход которого соединен с входом аппроксиматора, выход которого соединен с частотным выходом преобразователя кода в частоту, являющимся выходом элемента И-ИЛИ, причем частотный выход делителя частоты соединен с первым входом элемента ИЛИ, выход которого через формирователь импульсов соединен со счетным входом счетчика номера участка, кодовый вход преобразователя кода в частоту соединен с кодовым выходом регистра, кодовые входы блока памяти соединены с кодовыми выходами переключателя каналов и счетчика номера участка, а выход генератора импульсов соединен с вторым входом элемента ИЛИ и входами установки в ноль делителя частоты, счетчика номера участка и управляемого делителя частоты, управляющий вход которого соединен с кодовым выходом переключателя каналов [2].

Общим недостатком вышеперечисленных аналога и прототипа является пониженная точность воспроизведения функциональных зависимостей, обусловленная применением метода кусочно-линейной аппроксимации.

Целью изобретения является повышение точности за счет реализации кусочно-квадратной аппроксимации.

На чертеже представлена функциональная схема аппроксиматора.

Аппроксиматор монотонных функций содержит счетчик 1 функции, счетчик 2 импульсов и преобразователь 3 кода в частоту (ПКЧ), управляемый делитель 4 частоты (УДЧ), выполненный в виде последовательно соединенных кодовыми шинами мультиплексора 5 и ПКЧ 6, счетчик 7 длины участка и счетчик 8 номера участка, ключ 9, генератор 10 импульсов и преобразователь 11 кода в интервал времени (ПКИВ), вход 12 аргумента аппроксиматора, первый 13, второй 14 и третий 15 установочные входы и аппроксиматора.

Функцию воспроизведения, диапазон изменения аргумента которой разбит на m равных по длине участков, каждый из которых аппроксимирован полиномом второй степени, на любом i-м участке аппроксимации можно представить в виде Y=a a(n_x-n)± an_x-n)², (1) причем n n_x≅ n, 1 ≅ i ≅ m где Y - функция воспроизведения; n_x - число-импульсный код аргумента; nи n - число-импульсный код аргумента в начальной и конечной точках i-го участка соответственно; а_0i, a_1i, a_2i- постоянные коэффициенты, соответствующие i-у участку, причем знаки полярности перед коэффициентами а_1i и a_2i могут принимать различные, но одинаковые для всех m участков сочетания, за исключением тех, при которых в диапазоне изменения число-импульсного кода n_x аргумента происходит изменение знака полярности первой либо второй производной функции воспроизведения (1), т.е. рассматривается только такая функция воспроизведения, которая монотонна и не имеет точек перегиба.

Необходимо отметить, что разбиение на участки диапазона изменения число-импульсного кода n_x аргумента должно производиться при условии не только, как отмечалось выше, равенства их длины Δn_x= n-n= const, (2) но и при условии, чтобы в узлах аппроксимации функция воспроизведения (1) не претерпевала разрыва, т.е. чтобы соблюдалось равенство a=a+ΔY_i-1, (3) где ΔY_i-1=± an_x±an²_x. (4) Цикл воспроизведения и вычисления монотонной функции, представленной формулой (1), начинается с поступления число-импульсного кода с входа 12 аппроксиматора на вход ПКИВ 11. Передним фронтом первого импульса число-импульсного кода производится запись кодовых уставок А₀₁ и А₁₁ с первого 13 и второго 14 установочных входов в счетчик 1 функции и в счетчик 2 импульсов соответственно (цепи записи счетчиков на чертеже не показаны). Для обеспечения более четкой работы аппроксиматора запись кодовых уставок А₀₁ и А₁₁ должна производиться заранее перед поступлением входного число-импульсного кода как операция по установке счетчиков 1 и 2 в исходное состояние. На выходе ПКИВ 11 формируется импульс напряжения, длительность Т которого при постоянной частоте входных импульсов пропорциональна число-импульсному коду: T = k ˙ n_x, (5) где k - коэффициент образования ПКИВ 11.

Учитывая непрерывность и линейность преобразования число-импульсного кода n_x аргумента в интервал времени, можно считать справедливыми выражения
T_i=k·(n_x-n); (6)
Δ Т = k ˙ Δ n_x, (7) где Т_i - время преобразования, пропорциональное разности текущего и начального значений кода n_x на i-м участке;
Δ Т - время преобразования, пропорциональное длине участка Δ n_x. Выходной импульс ПКИВ 11, поступая на управляющий вход ключа 9, открывает последний, в результате чего импульсы с генератора 10 импульсов, приходящие на информационный вход ключа 9, поступают на частотные входы ПКЧ 3 и 6.

Выходная частота f_ПКЧi ПКЧ 3 на i-м участке определяется выражением
f= N, (8) где f₀ - частота генератора 10 импульсов;
n - число разрядов ПКЧ 3, равное числу разрядов счетчика 2 импульсов;
N_1i - выходной код счетчика 2 импульсов на i-м участке.

В каждый момент времени t в интервале длительности Т_i на любом i-м участке выходной код N_1i счетчика 2 импульсов, поступающий на кодовые шины ПКЧ 3, равен
N=Aft , (9) причем
A=AfT; (10)
f= A_2i, (11) где А_1i-1 и А_1i - выходные коды счетчика 2 импульсов, соответствующие начальным моментам аппроксимации на (i-1)-м и i-м участках;
f_УДЧi-1 и f_УДЧi - выходные частоты УДЧ 4 на (i-1)-м и i-м участках соответственно, равные выходным частотам ПКЧ 6;
р - число разрядов ПКЧ 6, равное числу разрядов мультиплексора 5;
А_2i- выходной код мультиплексора 5 на i-м участке.

Знаки полярности "+" либо "-" в выражениях (9) и (10) употребляются в зависимости от режима, в котором должен работать счетчик 2 импульсов, - в суммирующем либо в вычитающем соответственно, при этом выходной код счетчика 2 импульсов в начальный момент аппроксимации на первом участке соответствует записанной в него ранее начальной уставке А₁₁.

Подставляя выражение (9) в выражение (8) и используя формулу (11), получают
f= ·t . (12)
С частотного выхода ПКЧ 3 за время преобразования Т_i на вход счетчика 1 функции поступает число импульсов
N_i= fdt. (13)
Подставляя формулу (12) в выражение (13) и производя интегрирование с использованием выражения (6), получают
N_i= (n_x-n)(n_x-n)². (14)
К моменту окончания длительности Т, соответствующему концу цикла воспроизведения и вычисления монотонной функции, выходной код N_yсчетчика 1 функции соответствует числу импульсов
N_y= A N_i, (15) причем в силу плавности воспроизведения, характеризуемого отсутствием записи каких-либо чисел в этот счетчик в моменты прохождения узлов аппроксимации, что приводило бы к скачкообразному изменению (разрыву) его выходного кода, справедливы с учетом формулы (7) равенства, соответствующие условию непрерывности функции воспроизведения (1) согласно выражениям (3) и (4):
A=AN_i-1; (16)
N_i-1= Δn n²_x, (17) где A_0i-1 и A_0i - выходные коды счетчика 1 функции, соответствующие начальным моментам аппроксимации на (i-1)-м и i-м участках.

Знаки полярности "+" либо "-" в выражениях (15) и (16) употребляются в зависимости от режима, в котором должен работать счетчик 1 функции - в суммирующем либо в вычитающем соответственно, при этом выходной код счетчика 1 функции в начальный момент аппроксимации на первом участке соответствует записанной в него ранее начальной уставке А₀₁.

Учитывая выражение (14), формулу (15) записывают в виде
N_Y=A (n_x-n)(n_x-n)².(18)
Сопоставляя формулы (1) и (18), можно отметить, что при соблюдении равенства
a= A; (19)
a= A; (20)
a= A (21)
выполняется соотношение, выражающее прямо пропорциональную зависимость выходного кода N_Y счетчика 1 функции от значения функции воспроизведения (1), аргумент которой представлен напряжением
N_Y = α ˙ Y, (22) где α - коэффициент масштабирования.

Для удобства отсчета результата вычисления счетчик 1 функции может быть выполнен двоично-десятичным, а коэффициент α выбран кратным десяти.

Соблюдение равенства (19) при заданном α обеспечивается путем выбора величины начальной уставки А₀₁, соответствующей коэффициенту а₀₁первого участка аппроксимации, и выполнения равенств (20) и (21) для каждого из m участков, необходимость выполнения которых вытекает из формул (3), (4), (16) и (17).

В свою очередь соблюдение равенства (20) при заданных α , k, f_o, n обеспечивается путем выбора величины начальной уставки А₁₁, соответствующей коэффициенту a₁₁ первого участка аппроксимации, и выполнения для последующих участков определенного соотношения между значением коэффициента а_1i i-го участка и значениями коэффициентов а_1i-1 и а_2i-1 (i-1)-го участка, которое сводится к следующему.

Учитывая равенства (7), (11) и (20), формулу (10) записывают в виде a=a Δn_x. (23)
Используя равенство (21), получают соотношение
a= a2·an_x, (24) т. е. при разбиении на участки диапазона изменения число-импульсного кода n_x аргумента значение коэффициента а_1i i-го участка должно определяться по значениям коэффициентов а₁₁ и а_2i-1 предшествующего (i-1)-го участка. При этом нетрудно убедиться, что соблюдение соотношения (24)равносильно необходимости соблюдения в узлах аппроксимации непрерывности первой производной функции воспроизведения (1) при разбиении ее на участки, т.е. необходимости выполнения равенства
=. (25)
Таким образом, разбиение на участки диапазона изменения число-импульсного кода n_x аргумента должно производиться при условии отсутствия в узлах аппроксимации разрыва не только функции воспроизведения (1), но и ее первой производной, т.е. вышеуказанное разбиение должно осуществляться путем сплайн-аппроксимации полиномами второй степени.

Что касается соблюдения равенства (21) при заданных α , k, f_o, n, p то онo обеспечивается установлением числа А_2i на входе ПКЧ 6 в начальный момент аппроксимации i-го участка, что достигается следующим образом. В момент начала формирования интервала времени Т импульсы с частотой f_o начинают поступать с выхода ключа 9 на вход предварительно обнуленного (цепь сброса на чертеже не показана) счетчика 7 длины участка, период повторения выходных импульсов которого равен
T_п= , (26) где k₁ - коэффициент пересчета счетчика 7 длины участка.

Период Т_n выбирается таким, чтобы он был равен времени преобразования ΔТ длины участка Δn_x, т.е. чтобы выполнялось равенство
k₁ = k ˙ f_o˙ Δ n_x (27)
Выходные импульсы счетчика 7 длины участка с периодом T_п поступают на вход счетчика 8 номера участка, в результате чего последний поочередно устанавливается в одно из m состояний, начиная с второго. Установка счетчика 8 номера участка в первое состояние, соответствующее первому участку, и тем самым дальнейшее установление соответствия между номерами участков и состояниями счетчика 8 номера участка производится путем подачи импульса обнуления (цепь сброса на чертеже не показана), в тот же момент, что и для счетчика 7 длины участка, а именно перед работой ПКИВ 11, например, в момент записи начальных уставок А₀₁ и А₁₁. Последовательно сменяемая по мере перехода с участка на участок кодовая комбинация с выходных шин счетчика 8 номера участка поступает на управляющие входы мультиплексора 5, в результате чего на выходе последнего в моменты перехода с (i-1)-го на i-й участок устанавливается необходимое i-у участку число А_2i из ряда мультиплексируемых с третьего установочного входа 15 чисел А_2i ...А_2m, шины которых соединены с информационными входами мультиплексора 5. Установление необходимых чисел А_2i на входе ПКЧ 6 может производиться не только с помощью мультиплексора 5, но и с помощью, например, дешифратора, преобразователя кода на программируемой логической матрице или ПЗУ, в котором заранее "прошиты" вышеуказанные числа. При этом для каждого из заменяющих элементов входным кодом (для ПЗУ адресным), как и для мультиплексора 5, является код выходных шин счетчика 8 номера участка, а их выходным кодом - код чисел А_2i , полученный в результате операции дешифрирования, преобразования или выборки.

Таким образом, реализация сплайн-аппроксимации функции воспроизведения (1) сводится к установлению в счетчиках 1 и 2 начальных уставок А₀₁ и А₁₁, соответствующих первому участку аппроксимации, и установлению с помощью мультиплексора 5 на кодовом входе ПКЧ 6 числа А_2i. соответствующего i-у участку, начиная с первого. При этом нет необходимости в начале каждого из последующих участков производить запись в счетчиках 1 и 2 чисел А_0i и А_1i, так как эти числа на кодовых выходах указанным счетчиком устанавливаются автоматически в силу непрерывного (без скачков), ими счета импульсов, соответствующего непрерывности функции воспроизведения (1) и ее первой производной, что, как отмечалось выше, характерно для сплайн-аппроксимации.

Упоминаемые ранее режимы работы счетчиков 1 и 2 на сложение либо на вычитание устанавливаются заранее, исходя из знаков полярности производных функции воспроизведения (1), а именно если знак полярности первой производной на любом без исключения i-м участке положителен, т.е. если функция воспроизведения (1) монотонно возрастающая, то счетчик 1 функции необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицателен, то в режим вычитания; если полярность произведения знаков полярности первой и второй производных на любом без исключения i-м участке положительна, то счетчик 2 импульсов необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицательна, то в режим вычитания.

Учитывая, что в аппроксиматоре рассматривается функция воспроизведения (1), у которой полярность первой и второй производных неизменна во всем диапазоне изменения число-импульсного кода n_xаргумента, в том числе и при n_x = n_xi^н, учет знаков полярности вышеуказанных производных при выборе режимов работы счетчиков 1 и 2 можно заменить на более простой учет знаков полярности перед коэффициентами а_1i и а_2i функции воспроизведения (1), каждый из которых, как указывалось выше, одинаков для любого из m участков, а именно если перед коэффициентом a_1i знак "+", то счетчик 1 функции необходимо устанавливать в режим сложения, а если знак "-", то в режим вычитания; если полярность произведения знаков полярности перед коэффициентами а_1i и а_2i положительна, то счетчик 2 импульсов необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицательна, то в режим вычитания.

Необходимо подчеркнуть, что в силу одинаковости знаков полярности перед одноименными коэффициентами функции воспроизведения (1) на каждом из m ее участков режимы работы счетчиков 1 и 2 на сложение либо на вычитание, заранее устанавливаемые согласно вышеуказанным знакам, также одинаковы на каждом из этих участков.

Следует отметить, что если функция воспроизведения (1) представлена в более краткой форме
Y= b bn_x± bn²_x, (28) где b_0i, b_1i, b_2i- постоянные коэффициенты, то связь между приведенными коэффициентами и коэффициентами а_0i, a_1i и a_2i можно выразить соотношениями
b=a ana(n)²; (29)
b=a-2·an; (30)
b_2i = a_2i (31)
Учитывая прямо пропорциональную зависимость длительности Т интервала времени от число-импульсного кода n_x аргумента, можно отметить, что на первом участке при Т = 0 код аргумента n_x1^н= 0. При этом выражения (29)...(31) для первого участка принимают вид
b₀₁ = a₀₁; b₁₁ = a₁₁; b₂₁ = a₂₁ т.е. для первого участка имеет место идентичность рассматриваемых коэффициентов, согласно которым, как указывалось выше, устанавливаются начальные уставки А₀₁, А₁₁ и число А₂₁.

Таким образом, благодаря новым связям, элементам и возможности установки различного сочетания режимов работы счетчиков 1 и 2 обеспечивается с учетом масштабирования аппаратурная реализация воспроизведения и вычисления монотонных функций, как возрастающих, так и убывающих, выпуклых как вверх, так и вниз (в зависимости от знака полярности перед коэффициентом а_2i), воспроизводимых путем сплайн-аппроксимации, аргумент которых может быть представлен число-импульсным кодом. Кроме того, повышается точность воспроизведения функции за счет реализации кусочно-квадратичной аппроксимации, как более точной по сравнению с кусочно-линейной, применяемой в прототипе.

Формула изобретения

АППРОКСИМАТОР МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ, содержащий управляемый делитель частоты, генератор импульсов, счетчик номера участка и преобразователь кода в частоту, отличающийся тем, что, с целью повышения точности путем реализации кусочно-квадратичной аппроксимации, он содержит ключ, счетчик импульсов, счетчик функции, счетчик длины участка и преобразователь кода в интервал времени, причем вход аргумента аппроксиматора соединен с входом преобразователя кода в интервал времени, выход которого соединен с управляющим входом ключа, информационный вход которого соединен с выходом генератора импульсов, выход ключа соединен с частотным входом управляемого делителя частоты, частотным входом преобразователя кода в частоту и счетным входом счетчика длины участка, выход которого соединен со счетным входом счетчика номера участка, выход которого соединен с управляющим входом управляемого делителя частоты, выход которого соединен со счетным входом счетчика импульсов, выход которого соединен с информационным входом преобразователя кода в частоту, выход которого соединен со счетным входом счетчика функции, информационный вход и выход которого соединены соответственно с первым установочным входом и выходом аппроксиматора, второй и третий установочные входы которого соединены соответственно с информационными входами счетчика импульсов и управляемого делителя частоты.

РИСУНКИ

Рисунок 1