Аппроксиматор монотонных функций

 

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может найти применение в специализированных вычислительных и информационно-измерительных системах. Целью изобретения является повышение точности за счет реализации кусочно-квадратичной зависимости. Аппроксиматор содержит генератор импульсов, управляемый делитель частоты, вычитающий счетчик аргумента, счетчик функции, счетчик импульсов, ключ, преобразователь кода в частоту, счетчики длины и номера участка. 1 ил.

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может найти применение в специализированных вычислительных и информационно-измерительных системах, в системах автоматического управления при воспроизведении и вычислении методом кусочно-квадратичной аппроксимации монотонных функций, аргумент которых представлен кодом.

Известен аппроксиматор монотонных функций, аргумент которых представлен кодом, содержащий блоки памяти констант аппроксимации, блоки выходных регистров, регистр аргумента, группу элементов ИЛИ, умножители байтов, блок управления и сумматоры [1].

Аппроксиматор, реализующий также метод кусочно-квадратичной аппроксимации, не лишен недостатков. Одним из них является его конструктивная сложность. Другим его недостатком является ограниченная область применения ввиду воспроизведения только монотонно возрастающих функций. Третьим его недостатком является низкое быстродействие, обусловленное применением при вычислении схемы Горнера, как многотактной схемы.

Наиболее близким техническим решением, выбранным в качестве прототипа, является аппроксиматор монотонных функций, аргумент которых представлен кодом, содержащий генератор импульсов, элемент И, первый вход которого подключен к выходу генератора импульсов, второй вход - к выходу триггера, а выход - к частотному входу управляемого делителя частоты, счетчик функции, счетный вход которого подключен к частотному выходу управляемого делителя частоты, а кодовые выходы - к входам дешифратора, выходы которого соединены со входом элемента ИЛИ, сдвиговый регистр, сдвигающий вход которого подключен к выходу элемента ИЛИ, а кодовые выходы - к информационным входам управляемого делителя частоты, и вычитающий счетчик аргумента, счетный вход которого подключен к выходу элемента И, а вход параллельной записи - ко входу аппроксиматора [2].

Недостатком прототипа является пониженная точность воспроизведения функциональных зависимостей, обусловленная применением метода кусочно-линейной аппроксимации.

Целью изобретения является повышение точности воспроизведения за счет реализации кусочно-квадратичной аппроксимации.

На чертеже представлена функциональная схема аппроксиматора.

Аппроксиматор монотонных функций содержит счетчик 1 функции, счетчик 2 импульсов и преобразователь 3 кода в частоту, управляемый делитель 4 частоты, выполненный в виде последовательно соединенных кодовыми шинами мультиплексора 5 и преобразователя 6 кода в частоту, последовательно соединенные счетчик 7 длины участка и счетчик 8 номера участка, ключ 9, генератор 10 импульсов и вычитающий счетчик 11 аргумента, вход аргумента 12 аппроксиматора, вход 13 запуска аппроксиматора, первый 14, второй 15 и третий 16 установочные входы аппроксиматора.

Функцию воспроизведения, диапазон изменения аргумента которой разбит на m равных по длине участков, каждый из которых аппроксимирован полиномом второй степени, на любом i-ом участке аппроксимации можно представить в виде: Y = a aN_x-N ± aN_x-N (1) причем N N_x≅ N 1 ≅ i ≅ m где Y - функция воспроизведения; N_х - код аргумента; N_xi^нN_xi^к- коды аргумента в начальной и конечной точках i-го участка соответственно; a_0i, a_1i, a_2i - постоянные коэффициенты, соответствующие i-му участку, причем знаки полярности перед коэффициентами a_1i и a_2i могут принимать различные, но одинаковые для всех m участков сочетания за исключением тех, при которых в диапазоне изменения кода N_x аргумента происходит изменение знака полярности первой либо второй производных функций воспроизведения (1), т.е. рассматривается только такая функция воспроизведения, которая монотонна и не имеет точек перегиба.

Необходимо отметить, что разбиение на участки диапазона изменения кода N_x аргумента должно производиться при условии не только, как отмечалось выше, равенства их длины Δ N_x ΔN_x= N- N= const (2) но и при условии, чтобы в узлах аппроксимации функция воспроизведения (1) не претерпевала разрыва, т.е. чтобы соблюдалось равенство a= a+ ΔY_i-1 (3) где ΔY_i-1= ± aN_x± aN²_x (4) Цикл воспроизведения и вычисления монотонной функции, представленной формулой (1), начинается с поступления на вход 13 запуска аппроксиматора импульса, который по управляющему входу ключа 9 открывает последний и производит запись кодовых уставок A и A с первого 14 и второго 15 установочных входов в счетчики 1 и 2 соответственно и запись кода N_x аргумента со входа 12 аппроксиматора в вычитающий счетчик 11 аргумента (цепи записи счетчиков на чертеже не показаны). Для обеспечения более четкой работы аппроксиматора запись кодовых уставок A и A и кода N_x аргумента должна производиться передним фронтом запускающего импульса, а открытие ключа 9 - задним, либо запись указанных кодов должна производиться заранее перед запускающим импульсом, как операция по установке счетчиков 1, 2 и 11 в исходное состояние. Импульсы, поступающие с выхода генератора 10 импульсов на информационный вход ключа 9, проходя через последний, поступают на счетный вход вычитающего счетчика 11 аргумента. В момент обнуления на выходе последнего возникает импульс, поступающий на вход блокировки ключа 9 и приводящий указанный ключ 9 к закрытию, в результате чего прекращается цикл воспроизведения, длительность Т которого определяется формулой T = (5) где f_o - частота генератора 10 импульсов.

Учитывая непрерывность и линейность преобразования кода N_xаргумента в интервал времени, можно считать справедливыми выражения
T_i= (6)
ΔT = (7) где Т_i - время преобразования, пропорциональное разности текущего и начального значений кода N_x на i-ом участке;
ΔТ - время преобразования, пропорциональное длине участка ΔN_x.
В течение длительности Т импульсы с выхода ключа 9 поступают и на частотные входы преобразователей 3 и 6 кода в частоту (ПКЧ).

Выходная частота f ПКЧ 3 на i-ом участке определяется выражением
f= · N (8) где n - число разрядов ПКЧ 3, равное числу разрядов счетчика 2 импульсов;
N_1i- выходной код счетчика 2 импульсов на i-ом участке.

В каждый момент времени t в интервале длительности T_i на любом i-ом участке выходной код N_1i счетчика 2 импульсов, поступающий на кодовые шины ПКЧ 3, будет равен
N= A f t (9) причем
A= A f ΔT (10) f= A (11) где A ,A_1i - выходные коды счетчика 2 импульсов, соответствующие начальным моментам аппроксимации на i-1-ом и i-ом участках;
f ,f - выходные частоты управляемого делителя 4 частоты (УДЧ) на i-1-ом и i-ом участках соответственно, равные выходным частотам ПКЧ 6;
Р - число разрядов ПКЧ 6, равное числу разрядов мультиплексора 5;
A_2i - выходной код мультиплексора 5 на i-ом участке. Знаки полярности "+" либо "-" в выражениях (9) и (10) употребляются в зависимости от режима, в котором должен работать счетчик 2 импульсов - в суммирующем либо в вычитающем соответственно, при этом выходной код счетчика 2 импульсов в начальный момент аппроксимации на первом участке соответствует записанной в него ранее начальной уставке A₁ .

¹
Подставляя выражение (9) в (8) и используя формулу (11), получаем
f ± · t (12)
С частотного выхода ПКЧ 3 за время преобразования Т_i на вход счетчика 1 функции поступит число импульсов N_i, равное
N_i= f dt (13) Подставляя формулу (12) в (13) и производя интегрирование с использованием выражения (6), получаем
N_i= · N_x-N ± N_x-N (14) К моменту окончания длительности Т, соответствующему концу цикла воспроизведения и вычисления монотонной функции, выходной код N_Yсчетчика 1 функции будет соответствовать числу импульсов, равному
N_Y= A N_i (15) причем, в силу плавности воспроизведения, характеризуемого отсутствием записи каких-либо чисел в этот счетчик в моменты прохождения узлов аппроксимации, что приводило бы к скачкообразному изменению (разрыву) его выходного кода, будут справедливы с учетом формулы (7) равенства, соответствующие условию непрерывности функции воспроизведения (1) согласно выражениям (3) и (4)
A A N_i-1 (16)
N_i-1= ΔN_x ± ΔN²_x (17) где A, A_0i- выходные коды счетчика 1 функции, соответствующие начальным моментам аппроксимации на i-1-ом и i-ом участках. Знаки полярности "+" либо "-" в выражениях (15) и (16) употребляются в зависимости от режима, в котором должен работать счетчик 1 функции - в суммирующем либо в вычитающем соответственно, при этом выходной код счетчика 1 функции в начальный момент аппроксимации на первом участке соответствует записанной в него ранее начальной уставке A₀₁.

Учитывая выражение (14), формулу (15) запишем в виде
N_Y = A ± N_x-N ± N_x-N (18)
Сопоставляя формулы (1) и (18), можно отметить, что при соблюдении равенств
a= A (19)
a= A (20)
a= A (21) будет выполняться соотношение, выражающее прямо пропорциональную зависимость выходного кода N_Y счетчика 1 функции от значения функции воспроизведения (1), аргумент которой представлен кодом
N_Y = α˙Y , (22) где α- коэффициент масштабирования.

Для удобства отсчета результата вычисления счетчик 1 функции может быть выполнен двоично-десятичным, а коэффициент α выбран кратным десяти. Необходимо отметить, что результат вычисления не зависит от частоты f_o генератора 10 импульсов.

Соблюдение равенства (19) при заданном α обеспечивается путем выбора величины начальной уставки A₀₁, соответствующей коэффициенту A₀₁ первого участка аппроксимации, и выполнения равенств (20) и (21) для каждого из m участков, необходимость выполнения которых вытекает из формул (3), (4), (16) и (17).

В свою очередь соблюдения равенства (20) при заданных α, n обеспечивается путем выбора величины начальной уставки A, соответствующей коэффициенту a первого участка аппроксимации, и выполнения для последующих участков определенного соотношения между значением коэффициента a_1i i-го участка и значениями коэффициентов a и a i-го участка, которое сводится к следующему.

Учитывая равенства (7), (11) и (20), формулу (10) запишем в виде
a= a ΔN_x (23)
Используя равенство (21), получаем соотношение
a= a 2 · aN_x (24) т.е. при разбиении на участки диапазона изменения кода N_x аргумента значение коэффициента a_1i i-го участка должно определяться по значениям коэффициентов a и a предшествующего i-1-го участка. При этом нетрудно убедиться, что соблюдение соотношения (24) равносильно необходимости соблюдения в узлах аппроксимации непрерывности первой производной функции воспроизведения (1) при разбиении ее на участки, т.е. необходимости выполнения равенства
= (25)
Таким образом, разбиение на участки диапазона изменения кода N_xаргумента должно производиться при условии отсутствия в узлах аппроксимации разрыва не только функции воспроизведения (1), но и ее первой производной, т. е. вышеуказанное разбиение должно осуществляться путем сплайн-аппроксимации полиномами второй степени.

Что касается соблюдения равенства (21) при заданных α, n, p, то оно обеспечивается установлением числа A_2i на входе ПКЧ 6 в начальный момент аппроксимации i-го участка, что достигается следующим образом. В момент начала формирования интервала времени Т импульсы с частотой f_oначинают поступать с выхода ключа 9 на вход предварительно обнуленного (цепь сброса не показана) счетчика 7 длины участка, период Т_п повторения выходных импульсов которого равен
T_п= (26) где k₁ - коэффициент пересчета счетчика 7 длины участка.

Период Т_п выбирается таким, чтобы он был равен времени преобразования ΔТ длины участка ΔN_x, т.е. чтобы выполнялось равенство
k₁ = Δ N_x. (27) Выходные импульсы счетчика 7 длины участка с периодом Т_п поступают на вход счетчика 8 номера участка, в результате чего последний поочередно устанавливается в одно из m состояний, начиная со второго. Установка счетчика 8 номера участка в первое состояние, соответствующее первому участку, и тем самым дальнейшее установление соответствия между номерами участков и состояниями счетчика 8 номера участка, производится путем подачи импульса обнуления (цепь сброса не показана) в тот же момент, что и для счетчика 7 длины участка, а, именно, перед открытием ключа 9, например, в момент записи начальных уставок A и A. Последовательно сменяется по мере перехода с участка на участок, кодовая комбинация с выходных шин счетчика 8 номера участка поступает на управляющие входы мультиплексора 5, в результате чего на выходе последнего в моменты перехода с i-1-го на i-ый участок устанавливается необходимое i-му участку число A_2i из ряда мультиплексируемых с третьего 16 установочного входа чисел A₂₁...A_2m, шины которых соединены с информационными входами мультиплексора 5. Установление необходимых чисел A_2i на входе ПКЧ 6 может производиться не только с помощью мультиплексора 5, но и с помощью, например, дешифратора, преобразователя кода на программируемой логической матрице или ПЗУ, в котором заранее "прошиты" вышеуказанные числа. При этом для каждого из заменяющих элементов входным кодом (для ПЗУ - адресным), как и для мультиплексора 5, является код выходных шин счетчика 8 номера участка, а их выходным кодом - код чисел A_2i , полученный в результате операции дешифрирования, преобразования или выборки.

Таким образом реализация сплайн-аппроксимации функции воспроизведения (1) сводится к установлению в счетчиках 1 и 2 начальных уставок A и A, соответствующих первому участку аппроксимации, и установлению с помощью мультиплексора 5 на кодовом входе ПКЧ 6 числа A_2i , соответствующего i-му участку, начиная с первого. При этом нет необходимости в начале каждого из последующих участков производить запись в счетчиках 1 и 2 чисел A_0i и A_1i, так как эти числа на кодовых выходах указанных счетчиков устанавливаются автоматически в силу непрерывного (без скачков) ими счета импульсов, соответствующего непрерывности функции воспроизведения (1) и ее первой производной, что, как отмечалось выше, характерно для сплайн-аппроксимации.

Упоминаемые ранее режимы работы счетчиков 1 и 2 на сложение либо на вычитание устанавливаются заранее, исходя из знаков полярности производных функции воспроизведения (1), а именно:
если знак полярности первой производной на любом без исключения i-ом участке положителен, т.е. если функция воспроизведения (1) монотонно возрастающая, то счетчик 1 функции необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицателен, то в режим вычитания;
если полярность произведения знаков полярности первой и второй производных на любом без исключения i-ом участке положительна, то счетчик 2 импульсов необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицательна, то в режим вычитания.

Учитывая, что в аппроксиматоре рассматривается функция воспроизведения (1), у которой полярность первой и второй производных неизменна во всем диапазоне изменения кода N_x аргумента, в том числе и при N_x=N_xi^н, учет знаков полярности вышеуказанных производных при выборе режимов работы счетчиков 1 и 2 можно заменить на более простой учет знаков полярности перед коэффициентами a_1i и a_2i функции воспроизведения (1), каждый из которых, как указывалось выше, одинаков для любого из m участков, а именно:
если перед коэффициентом a_1i знак "+", то счетчик 1 функции необходимо устанавливать в режим сложения, а если знак "-", то в режим вычитания;
если полярность произведения знаков полярности перед коэффициентами a_1i и a_2i положительна, то счетчик 2 импульсов необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицательна, то в режим вычитания.

Необходимо подчеркнуть, что, в силу одинаковости знаков полярности перед одноименными коэффициентами функции воспроизведения (1) на каждом из m ее участков, режимы работы счетчиков 1 и 2 на сложение либо на вычитание, заранее устанавливаемые согласно вышеуказанным знакам, также одинаковы на каждом из этих участков.

Следует отметить, что если функция воспроизведения (1) представлена в более краткой форме
Y = b b N_x± b N²_x (28) где b₀₁,b_1i,b_2i - постоянные коэффициенты, то связь между приведенными коэффициентами и коэффициентами a_0i, a_1ia_2i можно выразить соотношениями
b= a a N aN (29)
b= a-2 · a N (30)
b= a (31) Учитывая прямо пропорциональную зависимость длительности Т интервала времени от кода N_x аргумента, можно отметить, что на первом участке при Т = 0 код аргумента N_x1^н = 0. При этом выражения (29)...(31) для первого участка примут вид
b= a (32) b= a (33) b= a (34) т.е. для первого участка имеет место идентичность рассматриваемых коэффициентов, согласно которым, как указывалось выше, устанавливаются начальные уставки A, A и число A .

Таким образом, благодаря новым связям, элементам и возможности установки различного сочетания режимов работы счетчиков 1 и 2, обеспечивается с учетом масштабирования аппаратурная реализация воспроизведения и вычисления монотонных функций, как возрастающих, так и убывающих, выпуклых как вверх, так и вниз (в зависимости от знака полярности перед коэффициентом a_2i ), воспроизводимых путем сплайн-аппроксимации, и аргумент которых может быть представлен кодом. Кроме того, повышается точность воспроизведения функции за счет реализации кусочно-квадратичной аппроксимации, как более точной по сравнению с кусочно-линейной, применяемой в прототипе.

Формула изобретения

АППРОКСИМАТОР МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ, содержащий генератор импульсов, управляемый делитель частоты, вычитающий счетчик аргумента, счетчик функции и ключ, причем вход аргумента аппроксиматора соединен с информационным входом вычитающего счетчика аргумента, счетный вход которого соединен с выходом ключа, управляющий, информационный и блокировочный входы которого соединены с входом запуска аппроксиматора, выходами генератора импульсов и вычитающего счетчика аргумента соответственно, выход ключа соединен с частотным входом управляемого делителя частоты, первый установочный вход аппроксиматора соединен с информационным входом счетчика функции, выход которого является выходом аппроксиматора, отличающийся тем, что, с целью повышения точности за счет реализации кусочно-квадратичной зависимости, он содержит счетчик импульсов, преобразователь кода в частоту, счетчик длины участка и счетчик номера участка, причем выход управляемого делителя частоты соединен со счетным входом счетчика импульсов, информационный вход и выход которого соединены соответственно с вторым установочным входом аппроксиматора и информационным входом преобразователя кода в частоту, частотный вход которого соединен с выходом ключа и счетным входом счетчика длины участка, выход которого соединен со счетным входом счетчика номера участка, выход которого соединен с управляющим входом управляемого делителя частоты, информационный вход которого соединен с третьим установочным входом аппроксиматора, выход преобразователя кода в частоту соединен со счетным входом счетчика функции.

РИСУНКИ

Рисунок 1