Способ определения эквивалентных масс упругой конструкции, соответствующих данной точке возбуждения и точке наблюдения

 

Использование: вибрационные испытания для определения характеристик собственных колебаний машиностроительных конструкций. Сущность: для определения эквивалентных масс упругой конструкции измеряют первые n собственных частот колебаний, коэффициенты внутреннего трения на этих частотах, действительную часть динамической податливости, соответствующую данной точке возбуждения и точке наблюдения, и статическую податливость в точке возбуждения. Действительную часть динамической податливости измеряют на нескольких частотах, лежащих вне окрестностей собственных частот. Приведена целевая функция, из условия минимума которой определяют эквивалентные массы. Измерение динамической податливости на нерезонансных частотах позволяет повысить срок службы конструкции и точность определения эквивалентных масс.

Изобретение относится к вибрационным испытаниям машиностроительных конструкций и может быть использовано для определения параметров вибрации.

Эквивалентные массы упругой конструкции М₁,М₂,М₃, соответствующие данной точке наблюдения и точке приложения силы, наряду с собственными частотами и коэффициентами внутреннего трения полностью определяют поведение конструкции под действием заданной периодической силы. В случае упругих тел величины М_к определяются формулой M_к= m_к= X²_кdxdydz(K 1,2,), где ρ- плотность материала, Х_к(A), Х_к(B) значение собственной формы колебаний Х_к в точке наблюдения A и точке возбуждения B, интегрирование производится по объему тела V в случае трехмерных тел, по площади тела в случае двумерных тел (пластины, оболочки), по длине тела в случае одномерных тел (стержни). Величины m_к в работе [1] названы обобщенными массами, в работе [2] эквивалентными массами (но не отнесенными к точкам наблюдения и возбуждения).

Известен способ определения эквивалентных масс упругого тела, соответствующих заданным точке наблюдения и точке возбуждения [1] согласно которому конструкцию подвергают многоточечному возбуждению и путем надлежащего выбора гармонических возмущающих сил с относительными фазовыми сдвигами 0^о или 180^о выделяют поочередно отдельные собственные тона и регистрируют собственные формы и собственные частоты колебаний. Затем устанавливают на исследуемую конструкцию дополнительную сосредоточенную массу, определяют собственные частоты догруженной конструкции, по разности собственных частот исследуемой и догруженной конструкций определяют обобщенные массы m_к и, деля их на значения собственных форм в точке возбуждения и точке наблюдения, получают искомые эквивалентные массы.

Недостатком этого способа является быстрый износ конструкции вследствие длительных вибрационных испытаний в условиях резонанса, необходимость высокой точности измерения частот колебаний (5-6 значащих цифр) и трудоемкость.

Наиболее близким к предлагаемому является способ [2] согласно которому для каждого рассматриваемого тона колебаний измеряют собственную частоту ω_к и коэффициент внутреннего трения η_к. Затем на полученных собственных частотах измеряют модуль динамической податливостиR(ω_к)|(к 1,2,n) точки наблюдения конструкции при данной точке возбуждения, а эквивалентные массы определяют по формуле М_к= 1/η_кω_к³ R(ω_к) При использовании данного способа предполагается, что величина динамической податливости на собственной частоте определяется вкладом только одной формы колебаний, соответствующей этой частоте. Недостатком данного способа является необходимость измерений при резонансе, а также большая погрешность определения эквивалентных масс из-за того, что не учитывается влияние остальных форм колебаний, которое может быть значительным.

Для увеличения срока службы конструкции и повышения точности согласно изобретению измерения динамической податливости производят на частотах возбуждения, лежащих вне окрестностей собственных частот, при этом измеряют только действительную часть динамической податливости, дополнительно измеряют статическую податливость в точке возбуждения, а эквивалентные массы М₁, М₂,М_n, соответствующие данной точке возбуждения и точке наблюдения определяют из условия минимума целевой функции где n число эквивалентных масс, подлежащих определению; N число частот возбуждения; ω₁,ω₂,ω_{n -} первые n собственных частот колебаний; Ω₁,Ω₂, Ω_N частоты возбуждения; η₁, η₂, η_n первые n коэффициентов внутреннего трения; R_i^(r) значение действительной части динамической податливости конструкции, измеренное на частоте возбуждения Ω_i (i 1,2,N), R_o статическая податливость конструкции.

Способ осуществляют следующим образом. Измеряют первые n собственных частот колебаний ω_к и коэффициентов внутреннего трения η_к (к 1,2,n). Затем измеряют статическую податливость R_o и действительную часть динамической податливости R_i^(r) точки наблюдения, соответствующую приложению в точке возбуждения гармонической силы с частотой Ω_i. Эксперимент проводят N раз (N≥n) с различными частотами возбуждения Ω₁, Ω₂, Ω_N, каждую из которых выбирают произвольным образом, но вне окрестностей собственных частот ω₁,ω₂, ω_n(преимущественно внутри отрезка (0, ω_n)). Эквивалентные массы М₁,М₂,М_n определяют из условия минимума целевой функции ϕ(М₁,М₂,М_n).

Выбором частот возбуждения вне окрестностей собственных частот достигается цель увеличения срока службы испытываемой конструкции. Цель повышения точности определения эквивалентных масс достигается выбором целевой функции: в процессе ее минимизации происходит сглаживание экспериментальных данных R_i^(r) (i 1,2,N) по действительной части динамической податливости методом наименьших квадратов. Причем в качестве базовой зависимости действительной части динамической податливости Re{R(Ω)} от частоты возбуждения Ω принята зависимость Re{R(Ω)} ≈ C_n+ где C_n= R_o- R_o= Re{R(O)} R(O) в то время, как точная зависимость имеет вид Re{ R(Ω)} Выбор такой базовой зависимости и целевой функции позволяет при определении эквивалентных масс учесть точно не одну, а n форм колебаний. Причем остальные формы учитываются приближенно введением слагаемого C_n, которое обеспечивает совпадение базовой и точной зависимостей на частоте Ω= 0, т.е. обеспечивает совпадение перемещения точки наблюдения конструкции под действием постоянной силы, приложенной в точке возбуждения, вычисленного на основе базовой зависимости, и перемещения, вычисленного на основе точной зависимости.

Собственные частоты колебаний ω_к измеряют, например, виброизмерительным комплексом АВДИ-1 [1] Коэффициенты внутреннего трения η_к, а также связанные с ними логарифмические декременты колебаний = πη_кω_к, определяют по формуле η_к μ_о/ω_к, где коэффициент μ_оопределяется в зависимости от материала по специальным таблицам. Логарифмический декремент колебаний δTilde_к можно также определить, построив посредством виброизмерительной аппаратуры типа АВДИ-1 (СССР), НР 5451 В (США), ДА-62 МС, ДА-62 МВ (Япония), ИМС-69 (СССР) и др. амплитудно-частотную характеристику вблизи частоты Ω= ω_к, по формуле = (-), где ΩTilde₁, ΩTilde₂ значения частот возбуждения, при которых амплитуда колебаний точки наблюдения в 2 раза меньше максимальной амплитуды, соответствующей данной резонансной частоте. Действительную R_i^(r) и мнимую R_i^(im) части динамической податливости R_i, а также связанного с ней механического импеданса Z_i 1/jΩ_iR_i (j² 1), измеряют, например, виброизмерительной аппаратурой АВДИ-1, ИМС-69, ДА-62 МС, ДА-62 МВ, НР5451В и др. Для определения статической податливости R_oк точке возбуждения конструкции прикладывают постоянную силу F_o и измеряют перемещение y_o точки наблюдения, а саму величину R_o определяют по формуле R_o y_o/F_o. При этом перемещение измеряют, например, индикатором стрелочного типа, силу динамометром.

Эквивалентные массы определяют из условия минимума целевой функции ϕ= ϕ(М₁,М₂,М_n) по формуле M_к= (к 1,2,n), где Δ .. Определитель Δ_к получается из определителя Δ заменой к-го столбца на столбец (b₁, b₂,b_n)^Т,
b_j=R⁽_i^r)-R
С целью уменьшения ошибки при определении эквивалентных масс, вызванной погрешностями измерений динамической податливости, описанные измерения и вычисления можно провести N₁ раз. При этом определяют величины y_кⁱ 1/М_к (к 1,2,n, i 1,2,N₁), где М_к⁽ⁱ⁾ значение эквивалентной массы, полученное на i-м шаге. Искомые эквивалентные массы определяют из соотношения
к 1,2,n
П р и м е р. Определены эквивалентные массы консольной балки с грузом на свободном конце для случая ее поперечных колебаний. Масса груза взята в 2 раза меньше массы балки. Точка возбуждения выбрана на свободном конце балки, точка наблюдения в ее середине.

Проведен численный эксперимент, в котором предложенным способом определены эквивалентные массы балки с учетом введенных погрешностей измерений, получены погрешности, возникающие при использовании данного способа, а также сделано сравнение с погрешностями способа, выбранного в качестве прототипа.

Для определения погрешностей способа интегрированием дифференциального уравнения поперечных колебаний балки получены следующие точные (теоретические) значения:
= 2,016; = 16,90; = 51,70; = 106,1;
= 0,4338; = -0,7473; = 0,1667; = 0,3278;
η_к= 0,003/πω_к, = ω_кl²/α²,
= 1/M_к, = M_к/m_ol, α⁴= EI/m_o, где Е модуль Юнга, I момент инерции поперечного сечения, m_o масса единицы длины балки, l длина балки.

Экспериментальные данные по значениям динамической податливости заданы в виде
R_j^(r) R^(r)(Ω _j) + Z_jR^(r)(Ω_j) (j 1,2,N),
где R^(r)( Ω_j) теоретическое значение действительной части динамической податливости на частоте возбуждения Ω=Ω_j, а величины Z₁,Z₂,Z_Nявляются случайными числами, распределенными по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным 0,033. При этом максимальная относительная ошибка измерения динамической податливости составляла ±10% При использовании предложенного способа принято N 9, n 4, = Ω_jl²/α²1,8; 2,3; 15; 19; 45; 57; 95; 117; 161. Выбор частот возбуждения достаточно удаленными от собственных частот увеличивает срок службы конструкции, что является одной из целей данного изобретения. Из-за удаленности частот возбуждения от собственных модуль мнимой части динамической податливости оказался пренебрежимо мал по сравнению с модулем действительной части.

Предложенным способом получены значения величин 1/М_к, а также относительные погрешности
δ_к= 100·(y_к-)/y_к,
При использовании способа в наиболее простом варианте, когда на каждой из частот возбуждения измерение динамической податливости производится по одному разу, получены следующие относительные погрешности: δ₁ 0,28% δ₂ 1,79% δ₃ 36,8% δ₄ 4,46% Более лучшие результаты получены при использовании данного способа в случае, когда на каждой из частот возбуждения измерение динамической податливости производилось по S 5 раз: δ₁ 0,15% δ₂ 0,99% δ₃= 19,7% δ₄ 0,11%
По способу, взятому в качестве прототипа, величины y_к 1/М_кпрямопропорциональны значению модуля динамической податливостиR(ω_к)| измеренному на собственной частоте ω_к. Поэтому относительная погрешность определения величины y_к (а следовательно и М_к) по этому способу не меньше погрешности измерения динамической податливости. В нашем примере максимальное значение этой погрешности не менее ±10% При использовании предложенного способа рассматриваемые относительные погрешноси оказались значительно ниже, т.е. достигнута цель повышения точности определения эквивалентных масс.

Формула изобретения

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ МАСС УПРУГОЙ КОНСТРУКЦИИ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ДАННОЙ ТОЧКЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И ТОЧКЕ НАБЛЮДЕНИЯ, включающий измерения собственных частот колебаний конструкции, коэффициентов внутреннего трения на собственных частотах и динамической податливости, соответствующей данной точке возбуждения и точке наблюдения, на нескольких частотах, отличающийся тем, что измерения динамической податливости производят на частотах возбуждения, лежащих вне окрестностей собственных частот, при этом измеряют только действительную часть динамической податливости, дополнительно измеряют статическую податливость в точке возбуждения, а эквивалентные массы M₁, M₂, M_n определяют из условия минимума целевой функции


где n число эквивалентных масс, подлежащих определению;
N число частот возбуждения;
ω₁, ω₂,..., ω_n первые n собственных частот колебаний;
Ω₁, Ω₂,..., Ω_N частоты возбуждения;
η₁, η₂,..., η_n первые n коэффициентов внутреннего трения;
R⁽_i^r) значение действительной части динамической податливости конструкции, измеренное на частоте Ω_i (i 1,2,N);
R₀ статическая податливость конструкции.