Способ определения момента инерции тела при качении

 

Использование: при изучении закономерностей движения тел произвольной формы качением по рабочей поверхности в горнорудной, стpоительной и других отраслях промышленности. Сущность изобретения: тело устанавливают на рабочую поверхность в виде горизонтальной плоскости, состоящей из двух частей, одна из которых может изменять угол наклона, сообщают ему вращательное движение плавным увеличением угла наклона плоскости, измеряют путь и время движения тела до остановки, заменяют тело расчетной моделью в виде упруговязкого призматического многогранника и определяют значение момента инерции, обеспечивающее совпадение продолжительности качения тела и модели. 11 ил.

Изобретение относится к способам определения моментов инерции тел и изделий и может быть использовано при изучении закономерностей процессов движения тел произвольной формы качением по рабочей поверхности, которые имеют место в горнорудной, строительной, химической промышленности, сельском хозяйстве при разделении насыпных грузов на фракции, в машиностроении при перемещении деталей и т.п.

Известны способы определения моментов инерции изделий (а.с. N877377, N1000812), заключающиеся в сообщении изделию вращательного движения относительно заданной оси, измерении параметров движения и расчете момента инерции по формулам. Причем изделие закрепляют на торце цилиндрического барабана, который перемещают по цилиндрической поверхности качением. Недостатком данных способов является то, что качением перемещают не исследуемое изделие, а барабан, на котором оно закреплено. Это снижает точность и ограничивает возможности способа.

Наиболее близким к предлагаемому способу является способ определения момента инерции изделий (а.с. N1010475, дополнительное к а.с. N807088), взятый авторами за прототип, в котором перемещение барабана с изделием осуществляют по горизонтальной (а. с. N807088) или наклонной (а.с. N1010475) плоскости, причем барабан связан упругим элементом с неподвижной опорой.

Недостатком описанного способа является то, что качением перемещают не само изделие или тело, а вспомогательный элемент (барабан), в результате чего определяют момент инерции J_z системы изделие-барабан относительно оси Z, совпадающей с осью барабана. Это ограничивает точность, так как на параметры движения системы влияет не только момент инерции тела, но и барабана. При этом, чтобы точность была достаточно высокой, необходимо стремиться к уменьшению составляющей полного момента инерции системы, обусловленной инерционными свойствами барабана. Для практического обеспечения данного условия с учетом большого разнообразия изделий необходимо иметь достаточно широкий набор барабанов различных размеров и веса.

Однако наиболее существенным недостатком способа является то, что получаемое значение момента инерции относится к плоскому движению тела, при котором ось вращения тела Z сохраняет перпендикулярное направление к плоскости движения. Если же иметь ввиду, что движение тела произвольной формы качением носит в общем случае более сложный (пространственный) характер и точкой опоры в каждый момент времени при качении может являться любая точка его поверхности, то задача намного усложняется, так как положение точки контакта в каждый момент времени практически неизвестно. При этом, так как для каждой точки поверхности будет свое значение момента инерции, то для дальнейшего практического использования получаемых результатов необходимо производить усреднение значений, что приведет к дополнительной потере точности.

Цель изобретения повышение точности и упрощение способа определения момента инерции тела при качении за счет того, что экспериментально рассматривают непосредственно процесс качения самого тела, а при расчете момента инерции осуществляют переход от сложного пространственного движения тела к плоскому движению модели.

Поставленная цель достигается тем, что тело устанавливают на рабочую поверхность в виде горизонтальной плоскости, состоящей из двух частей, одна из которых может изменять угол наклона, сообщают ему вращательное движение плавным увеличением угла наклона плоскости до значения α, измеряют путь и время движения тела качением по наклонной и горизонтальной плоскости до остановки, заменяют тело расчетной моделью в виде упруговязкого призматического многогранника, поперечным сечением которого является правильный многоугольник, определяют количество граней модели по формуле n=180/α где n количество граней модели; a угол, при котором тело начинает двигаться качением по наклонной плоскости под действием собственного веса, разбивают процесс движения модели качением по рабочей поверхности на совокупность последовательно чередующихся этапов, описывают с помощью уравнений процесс движения модели, определяют упругий параметр модели, исходя из упругих свойств тела и рабочей поверхности, рассчитывают вязкий параметр модели путем перебора значений по заданному плану до совпадения пути движения модели с экспериментальным значением, подбирают значение момента инерции, обеспечивающее совпадение продолжительности процесса качения тела и модели. При этом в качестве совокупности этапов рассматривают последовательно чередующиеся этап поворота модели относительно опорного ребра и этап ударного взаимодействия модели с рабочей поверхностью, когда грань ложится на плоскость.

Отличительные признаки заявляемого технического решения заключаются в том, что рабочую поверхность выполняют в виде горизонтальной плоскости, состоящей из двух частей, одна из которых может изменять угол наклона, тело устанавливают непосредственно на рабочую поверхность, вращательное движение телу сообщают путем изменения угла наклона поверхности, измеряют угол наклона плоскости, при котором начинается процесс качения тела, путь и время движения до остановки, для расчета момента инерции используют модель в виде призматического многогранника, параметры модели определяют на основе экспериментальных данных в следующей последовательности: количество граней модели, упругий, вязкий параметры и момент инерции.

Наличие в предложенной совокупности новых операций, а именно: установка тела непосредственно на рабочую поверхность; сообщение телу вращательного движения плавным увеличением угла наклона плоскости; измерение угла наклона плоскости, пути и времени движения тела качением до остановки; замена тела расчетной моделью в виде упруговязкого призматического многогранника; составление уравнений движения модели и исследование процесса движения модели качением по наклонной и горизонтальной плоскостям;
определение количества граней модели, упругого и вязкого параметров и момента инерции на основе экспериментальных данных по результатам движения модели качением,
свидетельствует о новизне предлагаемого способа.

Для повышения точности необходимо перемещать качением непосредственно исследуемое тело, в результате чего отпадает необходимость в использовании вспомогательных элементов, например, в виде барабана, на которые крепится тело для сообщения ему вращательного движения. Однако математическое описание этого процесса с помощью известного способа даже в случае, если считать движение тела качением по рабочей поверхности плоским, является сложной задачей. Для этого необходимо в каждый момент времени осуществлять переход от J_z к моменту инерции тела J_o относительно оси поворота 0, проходящей через точку опоры тела в данный момент времени (фиг. 1), по формуле
J_o J_z + md²,
где J_z момент инерции тела относительно оси Z, определяемый экспериментально на основе известного способа; m масса тела; d расстояние между осями.

Поскольку закон изменения d при качении зависит от формы тела, то данный переход может вызвать существенные трудности в связи с многообразием и сложностью форм реальных тел, если, например, рассматривать насыпные грузы.

Если не иметь ввиду, что движение тела качением обычно носит более сложный пространственный характер, то в этом случае необходимо знать тензор инерции тела в точке Z, который включает шесть компонентов (моментов инерции тела относительно трех перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, см. Лойцянский Л.Г. Лурье А.И. Курс теоретической механики. М. Наука, 1983, с. 281). Определение тензора инерции задача весьма непростая, при этом переход от данной точки к конкретной точке контакта тела с рабочей поверхностью достаточно сложен (операции с тензорами), а если учесть, что положение точки контакта в каждый момент времени практически неизвестно, то применение данного (известного) спооба для определения момента инерции тела произвольной формы при качении оказывается чрезвычайно сложным как с точки зрения практической реализации способа, так и обеспечения достаточно высокой точности получаемого результата.

В заявленном способе непосредственное перемещение исследуемого тела качением становится возможным благодаря использованию модели в виде призматического многогранника. Это позволяет осуществить переход от пространственного движения тела к плоскому движению модели, так как при качении модели поворот всегда происходит в плоскости поперечного сечения. Причем момент инерции модели при качении остается неизменным, так как расстояние от центра тяжести многогранника до оси поворота, проходящей через опорное ребро, есть величина постоянная, равная радиусу описанной окружности многоугольника.

Сказанное обеспечивает упрощение способа определения момента инерции тела при качении (переход от пространственного движения тела к плоскому движению модели) и повышает точность (отсутствие вспомогательных элементов). Таким образом, рассмотренная совокупность признаков позволяет достичь поставленной цели повышения точности и упрощения способа, что свидетельствует о соответствии критерию "существенные отличия".

Сущность изобретения поясняется чертежами, где на фиг.1 изображена схема качения тела; на фиг. 2 схема установки, с помощью которой реализуется способ; на фиг. 3 схема модели в виде шестигранника; на фиг. 4 схема качения модели по наклонной плоскости; на фиг. 5 схема для определения угла поворота модели; на фиг. 6 схема, поясняющая определение поперечного размера модели; на фиг. 7 схема упругого и вязкого элементов модели; на фиг.8 - схема, поясняющая определение упругого элемента модели; на фиг. 9 фотография испытуемых образцов; на фиг. 10 и фиг.11 схема размеров модели на примере восьмигранника.

Исследуемое тело устанавливают на горизонтальную плоскость (фиг.2) и плавно увеличивают угол наклона плоскости a до значения, при котором тело начинает двигаться качением по наклонной плоскости под действием собственного веса. Измеряют время движения тела качением по наклонной и горизонтальной плоскостям до остановки и путь, пройденный телом при качении S S₁ + S₂. Определяют количество граней (углов) модели по формуле n=180/α.. Рассмотрим в качестве примера модель в виде шестигранника. Качение модели по наклонной плоскости начинается при угле наклона плоскости, при котором центр тяжести многогранника перейдет за опорное ребро (ребро поворота). Предельный случай равновесия модели соответствует положению, когда опрокидывающая и удерживающая силы равны (фиг.3):

Преобразуем (1), сокращая левую и правую части: . Если учесть, что tgγ=a/2r, то получаем условие равновесия в следующем виде:
α=γ (2)
При этом 2γ=360/n, откуда n=180/γ..

Качение модели начинается в случае α+Δα, когда выполняется условие a+Δα>γ и центр тяжести переходит за опорное ребро, создавая опрокидывающий момент. Поскольку Da очень малая величина, то практически началом качения может служить условие (2), откуда получаем формулу для определения числа граней многогранника, качение которого начинается при угле наклона плоскости a:n=180/α..

Таким образом, при варьировании параметра n изменяется склонность модели к опрокидыванию относительно опорного ребра многогранника и дальнейшему движению качением, что позволяет при изменении n от четырех до бесконечности охватить практически все многообразие форм реальных грузов с точки зрения склонности тела к качению от плоских тел до тел круглой формы. В результате будет наблюдаться адекватность модели реальному телу по данному параметру. При этом осуществляется переход от сложного пространственного движения, когда при перекатывании тела точкой опоры может служить любая точка его поверхности, к плоскому движению модели, когда все повороты многогранника происходят в плоскости поперечного сечения. Причем при каждом повороте модели относительно опорного ребра момент инерции модели остается неизменным, так как расстояние R от центра тяжести до точки (оси) поворота является величиной постоянной. Повторяя опыт, многократно уменьшают влияние случайных погрешностей на точность измерений.

Далее заменяют тело моделью в виде упруговязкого призматического многогранника с числом граней n и описывают с помощью уравнений процесс качения модели по рабочей поверхности, при этом весь процесс представляют как совокупность двух чередующихся этапов: поворота модели при перекатывании через ребро и этапа ударного взаимодействия с рабочей поверхностью, когда грань ложится на плоскость. Уравнение вращательного движения модели получим, применив теорему об изменении момента количества движения при повороте тела относительно оси (см. Лойцянский Л.Г. Лурье Л.И. Курс теоретической механики). Исходя из фиг. 4, имеем:
dL/dt M,
где момент количества движения тела при вращательном движении; J_o момент инерции тела относительно оси О, проходящей через опорное ребро многогранника; угловая скорость; M=mgRsinϕ момент силы тяжести относительно оси поворота 0. Преобразуя, получаем уравнение вращательного движения модели:

Данное уравнение описывает динамику вращательного движения модели при повороте от ϕ_н до ϕ_к (где ϕ_н начальный угол поворота, ϕ_к конечный угол). При этом для нашего случая начальное значение угла ϕ_н лежит на вертикали, проходящей через точку поворота, и равно нулю.

Определим угол поворота модели λ (фиг.5):
l=180-2β, 2β=180-2γ.
Тогда получаем λ=2γ, где g=180/n. Для рассматриваемого случая ϕ_н=0, ϕ_к=ϕ_н+2γ=2γ, 0. Данные выкладки и уравнение движения справедливы для модели с любым количеством граней, так как их число будет определять только величину γ и, следовательно, конечный угол поворота v_к. Таким образом, уравнение (3) описывает вращательное движение модели от ϕ_н до ϕ_к и справедливо для многогранника с любым количеством граней. Однако поскольку углу ϕ_н 0 соответствует состояние равновесия модели, то для того, чтобы модель начала движение, необходимо начальному значению ϕ_н дать любое малое приращение (например, равное одной минуте).

При необходимости уравнение (3) может быть получено с учетом аэродинамических сопротивлений движению тела, при условии его проскальзывания во время движения относительно рабочей поверхности и т.п.

Величину R рекомендуется принимать равной половине наибольшего поперечного размера тела (фиг. 6): R l/2.

Когда текущий угол ϕ становится равным v_к, происходит переход ко второму этапу движения тела. Ударное взаимодействие модели с рабочей поверхностью описывают с помощью механореологических упруговязких моделей, предполагая отсутствие пластических деформаций. На данном этапе рассматривается линейное перемещение центра тяжести модели по оси Y вследствие деформации тела и рабочей поверхности, вызванное ударным взаимодействием системы груз поверхность. Начальная скорость движения модели для данного этапа по оси Y (фиг. 7) определяется:
где угловая скорость в момент удара.

Вращательное движение модели переходит в поступательное, обусловленное деформацией сжатия. Начальную деформацию упруговязкого элемента принимают равной нулю. Движение модели описывают уравнением вида:

где K, C упругий и вязкий параметры модели; , , Y - ускорение, скорость и величина деформации модели по оси Y.

Окончание этапа соответствует моменту времени, в который деформация cтановится равной нулю (y 0). Начальные условия для этапа поворота модели относительно следующего опорного ребра:
ϕ_н=0, .

Таким образом, два этапа постоянно чередуются в процессе качения модели.

Далее определяют упругий параметр модели K. Упрощенно параметр может быть определен, исходя из предположения, что материал является изотропным, а тело имеет форму призмы с неизменным поперечным сечением, любое продольное сечение которой прямоугольник (фиг.8). Жесткость призматического стержня в продольном направлении (по оси Y) можно получить из закона Гука Δl=Fh/AE (см. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М. Наука, 1976, c.608), принимая Δl=1:
F K_cт AE/h
Если привести массу m к центру тяжести и рассматривать его перемещение по оси Y, вызванное деформацией сжатия вследствие ударного взаимодействия, то получим формулу для расчета K:
K 2AE/h (5)
где h высота тела (призмы); A площадь поперечного сечения, нормального к направлению деформации; Е модуль упругости материала. С целью упрощения вместо тела при определении K можно рассматривать модель (многогранник).

При необходимости на основе аппарата теории упругости можно получить более точные формулы для расчета упругих коэффициентов K, учитывающие реальную форму тела и упругие свойства основания.

Затем рассчитывают вязкий параметр С. Для этого на ЭВМ исследуют движение модели качением по наклонной и горизонтальной плоскостям. При этом в течение качения по наклонной плоскости происходит разгон модели (и тела), а при выходе на горизонтальный участок торможение вследствие рассеяния кинетической энергии движения. На модели диссипация энергии учитывается вязким элементом С, при этом вязкие сопротивления, возникающие при деформации тел, обычно принимают пропорциональными скорости деформации (см. Рейнер М. Деформация и течение. М. Гостоптехиздат, 1963, с.381; Биргер И.А. Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М. Наука, 1986, с.560; Гончаревич И.Ф. Виброреология в горном деле. М. Наука, 1977, с.144). В случае С 0 движение модели качением будет бесконечным. Таким образом, подбирая значение С, обеспечивают путь движения модели равным пути движения реального тела. При этом время движения тела зависит от его инерционных свойств, которые при вращательном движении характеризуются моментом инерции. Подбирая момент инерции модели J_o относительно ребра поворота, обеспечивают совпадение продолжительности движения тела и модели.

Таким образом, поскольку обеспечено совпадение по основным параметрам тела и процесса в целом, а именно массе и размерам, склонности к опрокидыванию и перекатыванию, упругим и вязким свойствам, пути и продолжительности движения, а, следовательно, скорости и ускорению движения, то можно говорить об адекватности модели исследуемому телу по основным параметрам процесса качения, и, в частности, по моменту инерции. Конечно, если рассматривать отдельно каждый поворот тела относительно точки опоры при качении, то здесь могут наблюдаться существенные отличия при сопоставлении с моделью и мгновенный момент инерции для данной точки опоры тела может не совпадать со средним значением для модели, определяемым на основе способа.

Однако, поскольку в инженерной практике в первую очередь представляют интерес параметры процесса в целом, т.е. средние значения скорости и ускорения, пути и времени движения, на основе которых осуществляют исследование, совершенствование и оптимизацию оборудования, то данный способ можно признать вполне пригодным для определения основных параметров качения тела и, в частности, момента инерции тела произвольной формы при качении, которые обеспечивают адекватность модели реальному процессу и возможность осуществления аналитического исследования движения тела качением по рабочей поверхности с использованием модели в виде многогранника. До настоящего времени по нашим данным задача исследования процесса качения тела произвольной формы практически не имела пригодного для широкого применения аналитического решения.

Рассмотрим конкретный пример реализации способа. Чтобы иметь возможность проверить работоспособность способа, было использовано четыре образца в виде стальных призматических многогранников (фиг. 9 и фиг.10), для которых момент инерции может быть оценен по известным формулам:
N1 восьмигранник, R 10,2; r 9,5 мм; m 0,09 кг;
N2 восьмигранник, R 12,6; r 11,7 мм; m 0,165 кг;
N3 двенадцатигранник, R 8,6; r 8,35 мм; m 0,06 кг;
N4 двенадцатигранник, R 12,15; r 11,75 мм; m 0,165 кг.

Момент инерции многогранника при повороте относительно опорного ребра находится между значениями моментов инерции цилиндров, поперечные сечения которых являются описанной и вписанной окружностями многогранника. Момент инерции цилиндра относительно линии контакта с поверхностью равен (фиг. 10);
или J_o=1,5 mr².

Исходя из этого, получаем точные диапазоны значений, в которых должны находиться моменты инерции многогранников при качении:

При необходимости можно получить конкретные значения моментов инерции многогранников, однако даже для тел правильной формы эта задача достаточно сложная.

Теперь определяем моменты инерции образцов на основе заявляемого способа. Образцы устанавливают поочередно на горизонтальную поверхность, сообщают им вращательное движение плавным увеличением угла наклона плоскости до значения α, измеряют путь и время движения образцов качением по наклонной и горизонтальной плоскостям до остановки. Опыты повторяют 10 20 раз для уменьшения случайной погрешности. После обработки результатов получаем следующие экспериментальные данные:
N1 a 22,6; t 1,504 c; S₁ 100 мм; S₂ 133 мм; n 8;
N2 a 22,6; t 1,276 c; S₁ 100 мм; S₂ 111,6 мм; n 8;
N3 a 15,1; t 2,052 c; S₁ 100 мм; S₂ 205,7 мм; n 12;
N4 a 15,1; t 1,788 c; S₁ 100 мм; S₂ 166,6 мм; n 12.

Разбивают процесс движения уравнений (3) и (4), определяют упругий параметр модели по формуле (5), предполагая с целью упрощения рабочую поверхность абсолютно жесткой, а сечение модели A, нормальное к направлению деформации, неизменным по высоте. Тогда имеем при h 2r, A 2rb (где b - длина образца, фиг. 11):
N1 K152·10⁸ Н/м; N2 K 188·10⁸ H/м;
N3 K 136·10⁸ H/м; N4 K 190·10⁸ H/м.

Рассчитывают вязкий параметр модели путем перебора значений по заданному плану до совпадения пути движения модели с экспериментальным значением. В нашем случае получаем:
N1 C 2063 H·c/м; N2 C 4420 H·c/м;
N3 C 790 H·c/м; N4 C 4340 H·c/м.

И в последнюю очередь подбирают значение момента инерции, обеспечивающее совпадение продолжительности процесса качения тела и модели (с точностью до 0,001 с):
N1 J_o 13,4 кг/мм²; N2 J_o 37,1 кг/мм²;
N3 J_o 6,51 кг/мм²; N4 J_o 35,4 кг/мм².

Полученные данные подтверждают работоспособность и достаточно высокую точность способа.

Таким образом положительный эффект заявляемого способа определения момента инерции тела произвольной формы при качении заключается в возможности более точного определения значения момента инерции тела при качении по сравнению с известными способами при одновременном упрощении способа как с точки зрения экспериментального оборудования, так и расчетной части способа, которая при использовании ЭВМ решается достаточно просто с помощью разработанных программ. При этом в процессе реализации способа полностью формируется модель качения тела, что обеспечивает исследование процесса наиболее эффективным аналитическим методом на ЭВМ с помощью модели, адекватность которой реальному процессу по основным параметрам проверена экспериментально в ходе реализации способа.

Формула изобретения

Способ определения момента инерции тела при качении, заключающийся в том, что телу сообщают вращательное движение, измеряют параметры движения тела по рабочей поверхности, на основе которых рассчитывают момент инерции тела, отличающийся тем, что тело устанавливают на рабочую поверхность в виде горизонтальной плоскости, состоящей из двух частей, одна из которых выполнена с изменяемым углом наклона, вращательное движение телу сообщают плавным увеличением угла наклона части плоскости до значения α, при котором тело начинает двигаться качением по наклонной плоскости под действием собственного веса, измеряют путь и время движения тела качением по наклонной и горизонтальной плоскостям до остановки, заменяют тело расчетной моделью с заданными параметрами в виде упруговязкого призматического многогранника с количеством гарней n=180/α, поперечным сечением которого является правильный многоугольник, определяют предварительное значение момента инерции расчетной модели, представляют процесс движения расчетной модели в виде математической модели, описывающей это движение как совокупность последовательно чередующихся этапов движения на этапе перекатывания расчетной модели через опорное ребро и упругих деформаций на этапе ударного взаимодействия, когда грань расчетной модели ложится на поверхность, при определенном предварительном значении момента инерции расчетной модели рассчитывают путь движения расчетной модели, подбирая при этом значение параметра, определяющего вязкие свойства расчетной модели, при котором значение пути расчетной модели совпадает с измеренным значением пути тела, при выбранном параметре, определяющем вязкие свойства расчетной модели, рассчитывают время движения расчетной модели качением, подбирая при этом ее момент инерции, а за искомый момент инерции тела принимают значение момента инерции расчетной модели, при котором время движения расчетной модели совпадает с измеренным временем движения тела.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2, Рисунок 3, Рисунок 4, Рисунок 5, Рисунок 6, Рисунок 7, Рисунок 8, Рисунок 9, Рисунок 10, Рисунок 11