Апланатическая градиентная линза

Изобретение относится к градиентной оптике и может быть использовано в волоконной оптике и оптическом приборостроении. Апланатическая градиентная линза ограничена первой и второй преломляющими поверхностями вращения, имеет по оптической оси z толщину с, кратную удвоенному номинальному фокусному расстоянию, и выполнена из материала с радиальным распределением показателя преломления n(у). Линза имеет форму преломляющих поверхностей, определяемую уравнением образующей z(y) вида где z'(y) - первая производная от z(y); S_F - передний отрезок. Распределение показателя преломления для материала линзы имеет вид где n₀ - значение показателя преломления на оси; а - постоянная. Образующие первой и второй поверхностей определяются следующими уравнениями y₁ ²(z)=(n²(y)-1)z²+2s_F(n(y)-1)z, y₂ ²(z)=(n²(y)-1)(z-c)²+2s_F(n(y)-1)(z-c). Технический результат - повышение качества изображения и упрощение процесса изготовления. 4 ил., 1 приложение с 3 ил.

 

1. ОБЛАСТЬ ТЕХНИКИ, К КОТОРОЙ ОТНОСИТСЯ ИЗОБРЕТЕНИЕ

Предлагаемое изобретение относится к градиентной оптике и может быть использовано в волоконной оптике и оптическом приборостроении для создания объективов, конденсоров, эндоскопов, устройств согласования волоконно-оптических линий связи с источниками излучения и фотоприемниками и т.д.

2. УРОВЕНЬ ТЕХНИКИ

Известна апланатическая градиентная линза, ограниченная первой и второй преломляющими поверхностями вращения, имеющая толщину по оптической оси z, кратную удвоенному номинальному фокусному расстоянию линзы, выполненная из материала с радиальным распределением показателя преломления n(у), в которой образующая каждой преломляющей поверхности z(y) удовлетворяет уравнению [1]

где у - координата, перпендикулярная оптической оси линзы;

z'(y) - первая производная от z(у);

s_F - расстояние от предметной точки на оптической оси до вершины преломляющей поверхности линзы (передний отрезок).

В известной линзе задний отрезок s'_F (расстояние от мнимого изображения предметной точки на оптической оси до вершины второй преломляющей поверхности линзы) равен по величине переднему отрезку s_F.

Примечание. В [1] непосредственно в формуле изобретения приведено математическое выражение вида

содержащее явную и досадную опечатку, не исправленную в свое время в силу ряда причин. Правильным является уравнение вида (1), приведенное в тексте описания изобретения.

Как указано в [1], перед изготовлением линзы форма поверхности может быть рассчитана для конкретного распределения показателя преломления (ПП) n(у) с любой наперед заданной точностью путем решения уравнения (1) одним из известных численных методов, например методом Рунге-Кутта. Получив этим методом координаты точек искомой образующей z(y), можно затем аппроксимировать образующую подходящей функцией, например параболой высшего порядка, с помощью метода наименьших квадратов или иным известным методом.

Аппроксимированная образующая затем может быть использована для формообразования преломляющих поверхностей. Соответственно, чем точней аппроксимация, тем ближе изготовляемая поверхность к расчетной и тем выше качество изображения, формируемое изготовленной линзой.

Однако указанный способ определения образующей сложен, требует значительного объема расчетных работ, высокой квалификации разработчика и имеет принципиально неустранимую суммарную погрешность, обусловленную как погрешностью численного интегрирования, так и погрешностью метода аппроксимации, причем при неизвестности точного аналитического выражения для образующей оценку погрешности получить весьма затруднительно. Наличие такой суммарной погрешности неизбежно ухудшает качество изображения после изготовления линзы и является недостатком известной линзы.

Использование искомой образующей в виде зависимости z(у) весьма неудобно, что также является недостатком известной линзы, в практике проще и легче оперировать зависимостью y(z).

Кроме того, несмотря на заявленную в [1] общность решения задачи, существует принципиальное ограничение на вид распределения ПП n(у), не упомянутое в [1] и сужающее выбор n(у) (это ограничение будет рассмотрено ниже).

3. РАСКРЫТИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

Задача, на решение которой направлено изобретение, - повышение качества изображения и упрощение процесса изготовления апланатической градиентной линзы.

Решение поставленной задачи достигается путем определения аналитических выражений для образующих первой и второй преломляющих поверхностей и выбора единственно возможного распределения ПП для материала линзы.

Для этого в апланатической градиентной линзе, ограниченной первой и второй преломляющими поверхностями вращения, имеющей по оптической оси z толщину с, кратную удвоенному номинальному фокусному расстоянию, выполненной из материала с радиальным распределением показателя преломления n(у), имеющей форму преломляющих поверхностей, определяемую уравнением образующей z(y) вида

где z'(у) - первая производная от z(y)',

s_F - передний отрезок;

распределение показателя преломления для материала линзы имеет вид

где n₀ - значение показателя преломления на оси;

а - постоянная;

образующая первой поверхности определяется уравнением

а образующая второй поверхности определяется уравнением

Для подтверждения правильности предложенных соотношений в заявляемой апланатической градиентной линзе рассмотрим сначала ход лучей в ней при преломлении на ее первой поверхности (фиг.1).

Линза толщиной с, выполненная из материала с зависящим от у распределением ПП n(у), известным для заданной длины волны, и ограниченная первой и второй преломляющими поверхностями вращения с образующими y₁(z) и y₂(z), расположена в однородной среде (примем ПП однородной среды n₁=1 (воздух)). Отметим, что образующие y₁(z) и y₂(z) могут быть представлены также как z₁(y) и z₂(y) соответственно. Вершина первой поверхности расположена в начале координат. Ось z представляет собой оптическую ось линзы. Принимая, что линза обладает осевой симметрией, рассмотрение проводится в меридиональной плоскости.

Луч падающего на первую поверхность пучка, выходящего из точки М на оптической оси, имеет направляющий коэффициент u_к1, преломляется в точке А с координатами z_П1, y_П1 и после преломления получает направление, параллельное оптической оси. Угол падения луча на первую поверхность обозначим как ε₁, угол преломления - как , а нормаль к первой поверхности в точке А - как N₁.

Направляющий коэффициент u_н1 нормали N₁ к первой поверхности в точке А можно выразить в виде

где - первая производная от y₁(z).

Значение u_К1 определяется из выражения

Угол падения луча можно определить по формуле [2]

Соответственно, используя известное соотношение [2], можно вычислить

Тогда

По закону преломления

где n(y_П1) - ПП в точке преломления А.

Тогда (с учетом того, что n₁=1) угол преломления выразится в виде

Подставив (4) в (5), получим

Пользуясь известным соотношением [2]

можно определить

Угол преломления может быть также выражен следующим образом

где u_B1 - направляющий коэффициент преломленного на первой поверхности луча.

Учитывая, что в рассматриваемом случае после преломления направление луча должно быть параллельно оптической оси, принимаем u_В1=0. Тогда

Приравняв (7) и (8), переходя к координатам и принимая n(y_П1)=n(y), можно получить выражение

из которого после несложных преобразований можно получить уравнение для u_Н1

Нетрудно показать, что, подставив в полученное уравнение значение u_К1 из (2), его можно преобразовать к виду

Учитывая, что первая поверхность выпуклая, и выбирая в (9) знак "плюс", получим приведенное в [1] уравнение (1)

К сожалению, точное аналитическое решение для дифференциального уравнения (1) не известно и в [1] не указано, что ограничивает возможности изготовления линзы из-за необходимости аппроксимировать образующую подходящими кривыми.

Тем не менее найти в аналитическом виде вид образующей функции для первой поверхности можно. Для этого последовательно осуществим простые преобразования и запишем уравнение (1) следующим образом

Нетрудно видеть, что правая часть полученного уравнения - полная производная

Соответственно, далее это уравнение можно записать в виде

и окончательно получить пригодное для интегрирования выражение

Отметим, что в левой части полученного выражения величина n(у) не зависит от z и ее можно вынести за пределы интегрирования. Переходя к координатам, можно записать

Проинтегрировав это выражение, получим общее решение в виде

где c₁ - постоянная интегрирования. Разрешив (10) относительно y₁(z), получим

Для образующей y₁(z) должно выполняться начальное условие

с учетом которого постоянная интегрирования

а образующая может быть представлена как

Разрешить неопределенность в отношении знака в уравнении (12) и проверить правильность полученного уравнения можно, если учесть, что при n(y)=n₀=const должен получиться классический случай идеально фокусирующей линзы с первой поверхностью, имеющей форму гиперболы (вторая поверхность линзы должна при этом быть плоской), причем образующая первой поверхности определяется уравнением [3]

Сравнивая (12) и (13), можно придти к выводу о необходимости выбора в (12) знака "плюс". Таким образом с учетом (11), при наличии радиального градиента ПП уравнение образующей первой поверхности должно иметь вид

Полученное уравнение (14) определяет в аналитическом виде образующую, близкую к кривой второго порядка - гиперболе, но при этом усложненную наличием зависимости n(y), что позволяет ее условно считать гиперболой высшего порядка. В общем случае, из (14) можно, при заданном распределении n(у) и в соответствии с условиями фиг.1, выразить аналитически зависимость z₁(у)=ƒ(y) в виде

Заметим также, что уравнение (1) можно разрешить относительно y'(z), записав следующим образом

Соответственно, принимая за независимую координату z, получим

Перепишем это уравнение в виде

Правая часть здесь - также полная производная, а левая - не зависит от z

Получить пригодное для интегрирования выражение можно в следующем виде

Интегрирование дает

а общее решение совпадает с (10), и его можно найти аналогично описанному выше.

Для образования апланатической линзы необходимо, чтобы на выходе ее пучок оставался гомоцентрическим, в рассматриваемом случае - расходящимся.

Покажем, что, если форма второй поверхности линзы будет точно совпадать с формой первой поверхности, то после преломления на второй поверхности пучок на выходе линзы останется гомоцентрическим. Заметим, что для этого уравнение второй поверхности в выбранной системе координат должно иметь вид

где - задний отрезок.

Рассмотрим преломление лучей на второй поверхности линзы (фиг.2).

После распространения в материале линзы вдоль оптической оси луч попадает на вторую поверхность в точку В с координатами z_П2, у_П2, где вновь преломляется. При этом угол падения луча ε₂, угол преломления - , направляющий коэффициент для луча в точке В должен быть равен u_К2=0, а направляющий коэффициент u_Н2 нормали N₂ ко второй поверхности в точке В 1

После преломления в точке В луч с направляющим коэффициентом u_в2 распространяется в однородной среде с ПП n₁=1, при этом мнимое продолжение луча пересекает оптическую ось в точке М' на расстоянии s'_F' от вершины второй поверхности.

Направляющий коэффициент выходного луча

Угол падения луча на вторую поверхность

Учитывая, что в точке преломления должно выполняться условие u_K2=0, получим

Соответственно, по известной формуле (3) можно вычислить

Тогда

По закону преломления

откуда

Тогда, подставляя (17), угол преломления выразим в виде

По известной формуле (6) определим

Тогда угол преломления можно с учетом (18) выразить в виде

Угол преломления может быть также определен следующим образом

Переходя к координатам, приравняв (19) и (20), возведя обе части уравнения в квадрат и перенеся их в левую часть, получим

Раскроем выражение в квадратных скобках

Сгруппируем второе и третье слагаемые

Учтем, что выражение в фигурных скобках преобразуется к виду

Тогда уравнение (21) можно записать в следующем виде

Далее будем рассматривать только выражение в квадратных скобках, поскольку левый сомножитель, очевидно, не имеет действительных решений. Получим выражение

из которого нетрудно, после простых преобразований, выразить u_н2

Подставив в это уравнение u_B2 из (16) и переходя к

координатам, нетрудно получить уравнение, совпадающее по структуре с (9)

В полученном уравнении так же, как и в дифференциальном уравнении (1) для первой поверхности, должен быть выбран знак "плюс", в результате оно приобретет вид

Это уравнение совпадает по структуре с (1), а отличия связаны с учетом смещения вершины по оптической оси в выбранной системе координат. Если же совместить начало координат с вершиной второй поверхности, то получим в точности уравнение (1).

Для интегрирования уравнения (22) можно применить описанную выше последовательность действий. Действительно, перепишем уравнение (22) в следующем виде

Здесь также правая часть полученного уравнения - полная производная

Далее это уравнение можно записать в виде

и окончательно получить пригодное для интегрирования выражение

Отметим, что снова в левой части величина n(у) не зависит от z и ее можно вынести за пределы интегрирования. Переходя к координатам, получим выражение

Проинтегрировав это выражение, получим

где с₂ - постоянная интегрирования.

Разрешив (23) относительно у₂(z), получим

Для y₂(z) должно выполняться начальное условие

с учетом которого постоянная интегрирования

а образующая может быть представлена в виде

Выбирая в полученном уравнении знак "плюс", поскольку образующая рассматривается при z>с, получаем вид образующей, совпадающий с предсказанным выше видом уравнения (15). Учитывая, что передний и задний отрезки равны по величине, уравнение для второй поверхности можно записать в виде

Сравнивая (14) и (24), можно видеть, что образующая y₂(z) по форме повторяет y₁(z), но сдвинута по оси z на толщину линзы с.

Из (24) также можно выразить z₂(y)=ƒ(y) в виде

Важным условием достижения апланатической коррекции в предлагаемой линзе является постоянное значение длины периодичности линзы для любой начальной высоты луча. Тогда все лучи, преломленные на первой поверхности и распространяющиеся внутри материала с радиальным градиентом ПП вдоль оптической оси, будут формировать волновой фронт, точно повторяющий по форме первую поверхность, через расстояния, кратные половине длины периодичности (или удвоенному номинальному фокусному расстоянию). Это условие было в [1] указано как выполняющееся для любого распределения n(y) по умолчанию. Однако, к сожалению, условие постоянства значения длины периодичности для разных высот входа луча в градиентную среду выполняется не для всех распределений n(y).

Единственным распределением ПП, обеспечивающим это свойство градиентной среды, является так называемое идеально фокусирующее или гиперсекансное распределение ПП вида [4, 5]

В связи с этим выбор среды для возможной реализации предлагаемой апланатической линзы оказывается, к сожалению, единственным, - только распределение ПП (25).

Длина периодичности L для гиперсекансного распределения ПП равна

соответственно, половина длины периодичности

Номинальное фокусное расстояние линзы с гиперсекансным распределением ПП

удвоенное номинальное фокусное расстояние будет равно половине длины периодичности

Как известно, две сопряженные точки в пространстве предметов и изображений называются апланатическими, если в изображении отсутствует сферическая аберрация и выполняется условие синусов (или закон синусов Аббе) [7]. Отсутствие сферической аберрации для точки М' было доказано выше. Покажем теперь, что для пары сопряженных точек М и М' выполняется закон синусов Аббе.

Закон синусов Аббе в общем случае имеет вид

n sinσ=βn'sinσ'

или

где n - показатель преломления среды, в которой расположен предмет;

n' - показатель преломления среды, в которой формируется изображение;

σ - угол между оптической осью и лучом, выходящим из осевой точки предмета;

σ' - угол между оптической осью и лучом, выходящим из оптической системы и проходящим через осевую точку изображения;

β - линейное увеличение оптической системы.

Для предложенной линзы уравнение примет вид (фиг.1, 2)

Поскольку в рассматриваемом случае y_П1=y_П2, s_F=s^' _F' и образующие 1-й и 2-й поверхностей одинаковы, то стрелки прогиба поверхностей тоже равны, соответственно

z_П1=(z_П2-c)

В результате линейное увеличение линзы постоянно и равно β=1. В рассматриваемой линзе для пары сопряженных точек М и M' на оси отсутствует сферическая аберрация и выполняется закон синусов Аббе для любого луча. Точки М и М' являются парой апланатических точек, а саму линзу можно назвать апланатической.

Таким образом, знание аналитического вида уравнения (14) для первой преломляющей поверхности и уравнения (24) для второй преломляющей поверхности в совокупности с единственно возможным видом распределения n(у) в соответствии с (25) позволит в процессе изготовления линзы обойтись без этапов численного интегрирования и последующей аппроксимации, что упрощает процесс изготовления, повышает точность формообразования преломляющих поверхностей, облегчает контроль формы поверхностей и, в конечном итоге, повышает качество изображения, формируемое линзой.

4. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ЧЕРТЕЖЕЙ

На фиг.1 показаны схема преломления луча на первой поверхности апланатической градиентной линзы в меридиональной плоскости и условные обозначения для расчета хода луча.

На фиг.2 показаны схема преломления луча на второй поверхности апланатической градиентной линзы в меридиональной плоскости и условные обозначения для расчета хода луча.

На фиг.3 показаны оптическая схема апланатической градиентной линзы в меридиональной плоскости и ход лучей в ней.

На фиг.4 показаны возможная оптическая схема эндоскопа с использованием апланатической градиентной линзы, в меридиональной плоскости, и ход лучей в ней.

Двойными стрелками на фиг.1-4 показан ход лучей.

5. ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

Для реализации предложенной апланатической градиентной линзы из материала с гиперсекансным распределением ПП n(y) вида (25) и известными значениями n₀ и а вначале, исходя из параметров распределения n{y}, зависящей от него толщины линзы с (кратной удвоенному номинальному фокусному расстоянию, согласно (26)) и переднего отрезка s_F=s^' _F', определяется в соответствии с (14) форма образующей y₁(z).

Затем берется заготовка для линзы необходимого диаметра из материала с известным распределением ПП n(y) и обрезается до рассчитанной толщины, кратной удвоенному номинальному фокусному расстоянию (с определенным технологическим припуском). Формообразование первой и второй преломляющих поверхностей на торцах заготовки производится по одной из известных оптических технологий, например, путем последовательной шлифовки и полировки или путем применения абразивной технологии с последующей ионной ретушью поверхностей [6], до достижения формы поверхностей согласно (14) и (24).

Поскольку стрелка прогиба требуемых поверхностей с образующими (14) и (24) больше, чем у обычных гиперболических поверхностей с образующими вида (13), то можно рекомендовать двухэтапный процесс формообразования преломляющих поверхностей - на первом этапе формируются обычные гиперболические поверхности, а на втором этапе их форма доводится до требуемой с помощью дополнительной полировки или ретуши.

В Приложении приведены последовательность и результаты численных расчетов хода лучей в линзе толщиной L и , подтверждающие апланатические свойства предлагаемой линзы.

Используется предлагаемая градиентная линза обычным образом. В точку М перед первой поверхностью 2 линзы 1 (фиг.3) помещается точечный источник излучения. После преломления на первой поверхности и прохождения внутри линзы гомоцентрический пучок излучения, преломляясь на второй поверхности 3 линзы, выходит из нее, оставаясь гомоцентрическим (с центром в точке М').

Использование предложенной апланатической линзы возможно, например, в качестве градана в эндоскопах (фиг.4). В этом случае исследуемый объект 4 помещается в передний фокус апланатической линзы 5. Мнимое изображение объекта через окуляр 7 (с использованием компенсатора аберраций 6) попадает в глаз наблюдателя 8. В результате в эндоскопе можно обойтись без обычно применяемого входного объектива.

Другой возможностью использования линзы является применение ее как апланатического элемента в составе сложной оптической системы, например эндоскопа, объектива, конденсора и т.п.

6. ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

1. Апланатическая градиентная линза - авторское свидетельство СССР №1569764, опубл. 07.06.1990 г., бюлл. №21.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 1-е изд. - М.: Наука, 1972, 870 с.

3. Вычислительная оптика. Справочник/ Под ред. М.М.Русинова - М.: Машиностроение, 1984, 423 с.

4. Ильин В.Г. и др. Физические основы градиентной оптики/ Учебное пособие - Л., Ленингр. политех. институт, 1990, 55 с.

5. Микаэлян А.Л. Применение слоистой среды для фокусирования волн - Доклады Академии Наук СССР, 1951, т. 81, №4, стр.569-571.

6. Государственный оптический институт им. С. И. Вавилова. Официальный сайт в сети Интернет. Информация по адресу http://soi.srv.pu.ru/r_1251/developments/technology/ap_ktf.htm

7. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. и др. Теория оптических систем. Учебник для вузов - М.: Машиностроение, 1981.

Апланатическая градиентная линза, ограниченная первой и второй преломляющими поверхностями вращения, имеющая по оптической оси z толщину с, кратную удвоенному номинальному фокусному расстоянию, выполненная из материала с радиальным распределением показателя преломления n(у), имеющая форму преломляющих поверхностей, определяемую уравнением образующей z(y) вида

где z'(y) - первая производная от z(y);

s_F - передний отрезок,

отличающаяся тем, что распределение показателя преломления для материала линзы имеет вид

где n₀ - значение показателя преломления на оси;

а - постоянная;

образующая первой поверхности определяется уравнением

y₁ ²(z)=(n²(y)-1)z²+2s_F(n(y)-1)z,

а образующая второй поверхности определяется уравнением

y² ₂(z)=(n²(y)-1)(z-c)²+2s_F(n(y)-1)(z- с).