Способ генерации и частотной модуляции высокочастотных сигналов и устройство его реализации

Настоящее изобретение относится к области радиосвязи и может быть использовано для создания устройств генерации высокочастотных сигналов на заданном количестве частот, что позволяет формировать сложные сигналы и создавать эффективные компактные средства радиосвязи с заданным количеством радиоканалов. Способ генерации и частотной модуляции высокочастотного сигнала отличается тем, что цепь прямой передачи выполняют из трехполюсного нелинейного элемента, в качестве цепи обратной связи используют внешнюю обратную связь в виде произвольного четырехполюсника, соединенного с трехполюсным нелинейным элементом, к управляющему и общему электродам трехполюсного нелинейного элемента подключают второй двухполюсник с комплексным сопротивлением. Технический результат изобретения заключается в повышении диапазона генерируемых колебаний и использовании реактивного базиса с сосредоточенными параметрами. 2 н.п. ф-лы, 3 ил.

 

Изобретения относятся к областям радиосвязи, радиолокации, радионавигации и радиоэлектронной борьбы и могут быть использованы для создания компактных устройств генерации и частотной модуляции с увеличенным линейным участком частотной модуляционной характеристики.

Известен способ генерации и частотной модуляции высокочастотного сигнала, основанный на преобразовании энергии источника постоянного напряжения в энергию высокочастотного сигнала, организации внутренней обратной связи в первом нелинейном элементе путем использования в качестве него двухполюсного нелинейного элемента с отрицательным дифференциальным сопротивлением, выполнении условий возбуждения в виде баланса амплитуд и баланса фаз, определяющих соответственно амплитуду и частоту генерируемого высокочастотного сигнала, и условий согласования первого нелинейного элемента с нагрузкой, изменении частоты генерируемого высокочастотного сигнала путем изменения баланса фаз за счет изменения параметра второго нелинейного элемента, включенного в избирательную нагрузку, по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего (первичного, информационного) сигнала [Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М: «Дрофа», 2006, с.414-417, 434-437].

Известно устройство генерации и частотной модуляции высокочастотного сигнала, состоящее из источника постоянного напряжения, устанавливающего рабочую точку на середине падающего участка вольтамперной характеристики двухполюсного нелинейного элемента с отрицательным дифференциальным сопротивлением, реактивного четырехполюсника, нагрузки в виде параллельного колебательного контура с включенным варикапом, подключенным к источнику управляющего сигнала, при этом параметры контура, двухполюсного нелинейного элемента и варикапа выбраны из условия обеспечения заданных амплитуды и диапазона изменения частоты генерируемого высокочастотного сигнала по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего (первичного, информационного) сигнала [Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М: «Дрофа», 2006, с.414-417, 434-437].

Принцип действия этого устройства состоит в следующем. При включении источника постоянного напряжения (тока) в силу скачкообразного изменения амплитуды во всей цепи возникают колебания, спектр которых занимает весь частотный радиодиапазон. Амплитуды этих колебаний быстро затухают. Однако, благодаря наличию внутренней обратной связи в двухполюсном нелинейном элементе на участке с падающей вольтамперной характеристикой возникает отрицательное дифференциальное сопротивление, которое в силу согласования с помощью реактивного четырехполюсника компенсирует потери в контуре. Благодаря этому, колебание с частотой, равной резонансной частоте колебательного контура, усиливается до момента увеличения амплитуды этого колебания до уровня, при котором амплитуда выходит за пределы падающего участка вольтамперной характеристики. Наступает стационарный режим. В этом режиме изменение емкости варикапа под действием управляющего сигнала приводит к изменению частоты генерируемого сигнала по закону изменения амплитуды низкочастотного сигнала.

Недостатком способа и устройства является наличие двух нелинейных элементов, один из которых работает в качестве усилителя и ограничителя, а второй используется для изменения частоты генерируемого высокочастотного сигнала.

Наиболее близким по технической сущности и достигаемому результату (прототипом) является способ генерации и частотной модуляции высокочастотного сигнала, основанный на преобразовании энергии источника постоянного напряжения в энергию высокочастотного сигнала, построении цепи прямой передачи между выходным электродом трехполюсного нелинейного элемента и нагрузкой, организации внешней положительной обратной связи между нагрузкой и управляющим электродом трехполюсного нелинейного элемента, выполнении условий возбуждения в виде баланса амплитуд и баланса фаз, определяющих соответственно амплитуду и частоту генерируемого высокочастотного сигнала, и условий согласования трехполюсного нелинейного элемента с нагрузкой, изменении частоты генерируемого высокочастотного сигнала путем изменения баланса фаз за счет изменения параметра двухполюсного нелинейного элемента, включенного в избирательную нагрузку, по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего (первичного, информационного) сигнала [Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы - М: «Дрофа», 2006, с.434-437].

Наиболее близким по технической сущности и достигаемому результату (прототипом) является устройство генерации и частотной модуляции высокочастотного сигнала, состоящее из источника постоянного напряжения, устанавливающего рабочую точку на середине квазилинейного участка проходной вольтамперной характеристики транзистора, цепи прямой передачи в виде первого четырехполюсника для согласования выходного электрода транзистора и нагрузки, нагрузки в виде параллельного колебательного контура, в который включен варикап, подключенный к источнику управляющего сигнала, RC- цепи внешней положительной обратной связи (в общем виде - второго четырехполюсника для согласования управляющего электрода транзистора и нагрузки) между нагрузкой и управляющим электродом транзистора, при этом параметры контура, цепи прямой передачи, цепи обратной связи, транзистора и варикапа выбраны из условия обеспечения заданных амплитуды и диапазона изменения частоты генерируемого высокочастотного сигнала по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего (первичного, информационного) сигнала [Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М: «Дрофа», 2006, с.434-437].

Принцип действия этого устройства состоит в следующем. При включении источника постоянного напряжения (тока) в силу скачкообразного изменения амплитуды во всей цепи возникают колебания, спектр которых занимает весь частотный радио диапазон. Амплитуды этих колебаний быстро затухают. Однако, благодаря наличию цепи внешней положительной обратной связи, колебание с частотой, равной резонансной частоте колебательного контура, поступает на управляющий электрод транзистора, который в силу согласования с помощью двух четырехполюсников начинает работать в режиме усиления до момента увеличения амплитуды этого колебания до уровня, при котором наступает режим насыщения (ограничения амплитуды). Наступает стационарный режим. В этом режиме изменение емкости варикапа под действием управляющего сигнала приводит к изменению частоты генерируемого сигнала по закону изменения амплитуды низкочастотного сигнала.

Недостатки этих способа и устройства состоят в необходимости использования двух нелинейных элементов (одного для усиления и ограничения амплитуды, второго для изменения частоты) и малом линейном участке модуляционной характеристики в силу малости линейного участка вольт-фарадной характеристики варикапа. Кроме того, не указывается, каким образом необходимо выбирать значения параметров обоих четырехполюсников, при которых наступает режим возбуждения и стационарный режим. Особенно остро возникает этот вопрос при проектировании устройств генерации и частотной модуляции в диапазонах ВЧ и УВЧ, на которых обязательно нужно учитывать реактивные составляющие параметров нелинейных элементов. В настоящее время классическая теория радиотехнических цепей это не учитывает. Кроме того, частотную модуляцию можно обеспечить без четырехполюсника, что приводит к уменьшению числа реактивных элементов, то есть к уменьшению массы и габаритов.

Техническим результатом изобретения является генерация и частотная модуляция высокочастотного сигнала с увеличенным линейным участком частотной модуляционной характеристики при использовании одного нелинейного элемента, что позволяет создавать эффективные компактные устройства генерации и частотной модуляции, а также повышение диапазона генерируемых колебаний при использовании реактивного базиса с сосредоточенными параметрами. Использование различных видов обратной связи расширяет возможности физической реализуемости указанного результата.

1. Указанный результат достигается тем, что в известном способе генерации и частотной модуляции высокочастотного сигнала, основанном на преобразовании энергии источника постоянного напряжения в энергию высокочастотного сигнала, взаимодействии высокочастотного сигнала с цепью прямой передачи, трехполюсным нелинейным элементом, цепью обратной связи и нагрузкой, выполнении условий возбуждения в виде баланса амплитуд и баланса фаз, определяющих соответственно амплитуду и частоту генерируемого высокочастотного сигнала, и условий согласования трехполюсного нелинейного элемента с нагрузкой, изменении частоты генерируемого высокочастотного сигнала по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего сигнала путем соответствующего изменения баланса фаз, дополнительно цепь прямой передачи выполняют из трехполюсного нелинейного элемента, в качестве цепи обратной связи используют внешнюю обратную связь в виде произвольного четырехполюсника, последовательно соединенного с трехполюсным нелинейным элементом, изменяют частоту генерируемого высокочастотного сигнала и реализуют условия согласования за счет изменения амплитуды управляющего сигнала на трехполюсном нелинейном элементе, подключенном выходным и общим электродами к нагрузке, выполненной в виде первого двухполюсника с комплексным сопротивлением, к управляющему и общему электродам трехполюсного нелинейного элемента подключают второй двухполюсник с комплексным сопротивлением, имитирующим сопротивление источника сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления, условия возбуждения в виде баланса амплитуд и баланса фаз и условия согласования выполняют за счет выбора зависимостей мнимых составляющих сопротивлений первого x_n и второго x₀ двухполюсников от частоты из условия обеспечения стационарного режима генерации в виде равенства нулю знаменателя коэффициента передачи в режиме усиления последовательно на всем заданном диапазоне изменения частоты генерируемых высокочастотных сигналов по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего сигнала в соответствии со следующими математическими выражениями:

$$x_0=\frac{A{x}_{н}+B}{C{x}_{н}+D};$$ $$x_{н}=\frac{-Y\pm \sqrt{Y^2-4XZ}}{2X},$$

где A=x₁₁; B=A₁-r_нr₁₁+r₀(r₂₂-r_н); C=-1; D=x₂₂; X=-r₁₁-r₀; Y=2x₂₂r₀+r₁₁x₂₂-x₁₁r₂₂+B₁;

$$Z=-r_0\left[{\left(r_{22}-r_{н}\right)}^2+x_{22}^2\right]+r_{н}{r}_{11}\left(r_{22}-r_{н}\right)+r_{н}\left(x_{11}{x}_{22}+A_1\right)-r_{22}{A}_1-x_{22}{B}_1$$ ; A₁=r₁₁r₂₂-x₁₁x₂₂-r₁₂r₂₁+x₁₂x₂₁;

B₁=x₁₁r₂₂+r₁₁x₂₂-x₁₂r₂₁-r₁₂x₂₁; r₀, x₀ - заданные зависимости действительной составляющей и оптимальные зависимости мнимой составляющей сопротивления источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления от частоты в заданной полосе частот; r_н, x_н - заданные зависимости действительной составляющей и оптимальные зависимости мнимой составляющей сопротивления нагрузки от частоты в заданной полосе частот; r₁₁, x₁₁, r₁₂, x₁₂, r₂₁, x₂₁, r₂₂, x₂₂ -заданные зависимости действительных и мнимых составляющих суммарных элементов матрицы сопротивлений трехполюсного нелинейного элемента и матрицы сопротивлений цепи внешней обратной связи от частоты в заданной полосе частот при соответствующем изменении амплитуды низкочастотного управляющего сигнала.

2. Указанный результат достигается тем, что в устройстве генерации и частотной модуляции высокочастотных сигналов, состоящем из источника постоянного напряжения и низкочастотного управляющего сигнала, трехполюсного нелинейного элемента, цепи прямой передачи, цепи обратной связи и нагрузки, дополнительно цепь прямой передачи выполнена из трехполюсного нелинейного элемента, в качестве цепи обратной связи использована внешняя обратная связь в виде произвольного четырехполюсника, последовательно соединенного с трехполюсным нелинейным элементом, трехполюсный нелинейный элемент выходным и общим электродами подключен к нагрузке, выполненной в виде первого двухполюсника с комплексным сопротивлением, к управляющему и общему электродам трехполюсного нелинейного элемента подключен второй двухполюсник с комплексным сопротивлением, которое имитирует сопротивление источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления, мнимая составляющая сопротивления нагрузки и мнимая составляющая сопротивления источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления реализованы из двух последовательно соединенных параллельных контуров с параметрами L_1k, C_1k, L_2k, C_2k, причем значения параметров определены из условия обеспечения стационарного режима генерации на четырех частотах заданной полосы частот и соответствующих четырех значениях амплитуды низкочастотного управляющего сигнала с помощью следующих математических выражений:

$$L_{1k}=\frac{e_1{x}_{k2}+h_1{x}_{k1}}{{\omega }_1{\omega }_2\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)\left(A-B\right)};$$ $$L_{2k}=\frac{e_2{x}_{k2}+h_2{x}_{k1}}{{\omega }_1{\omega }_2\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)\left(A-B\right)};$$ $$C_{1k}=\frac{A}{L_{1k}};$$ $$C_{2k}=\frac{B}{L_{2k}}$$ ,

где $$B=\frac{-y\pm \sqrt{y^2-4xz}}{2x};$$ $$A=\frac{a_{1}B+b_1}{c_{1}B+d_1}=\frac{a_{2}B+b_2}{c_{2}B+d_2};$$

x=a₂c₁-a₁c₂; y=a₂d₁+b₂c₁-a₁d₂-b₁c₂; z=b₂d₁-b₁d₂;

$$e_1={\omega }_1\left(1-{\omega }_2^{2}B\right)\left(1+A^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-A\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ; $$h_1=-{\omega }_2\left(1-{\omega }_1^{2}B\right)\left(1+A^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-A\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ;

$$e_2={\omega }_1\left(1-{\omega }_2^{2}A\right)\left(1+B^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-B\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ; $$h_2=-{\omega }_2\left(1-{\omega }_1^{2}A\right)\left(1+B^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-B\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ;

$$a_1={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4^2{x}_{k4}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{\omega }_2^2{\omega }_4{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_4^2\right)+{\omega }_1^2{\omega }_2{\omega }_4{x}_{k1}\left({\omega }_4^2-{\omega }_2^2\right)$$ ;

$$b_1={\omega }_1{\omega }_2{x}_{k4}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_1{\omega }_4{x}_{k2}\left({\omega }_4^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2{\omega }_4{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_4^2\right)$$ ;

$$c_1=\left[{\omega }_4^3{x}_{k4}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2^3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_4^2\right)+{\omega }_1^3{x}_{k1}\left({\omega }_4^2-{\omega }_2^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4$$ ;

$$d_1=\left[{\omega }_4{x}_{k4}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_2{x}_{k2}\left({\omega }_4^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_4^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4$$ ;

$$a_2={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3^2{x}_{k3}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{\omega }_2^2{\omega }_3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_3^2\right)+{\omega }_1^2{\omega }_2{\omega }_3{x}_{k1}\left({\omega }_3^2-{\omega }_2^2\right)$$ ;

$$b_2={\omega }_1{\omega }_2{x}_{k3}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_1{\omega }_3{x}_{k2}\left({\omega }_3^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2{\omega }_3{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_3^2\right)$$ ;

$$c_2=\left[{\omega }_3^3{x}_{k3}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2^3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_3^2\right)+{\omega }_1^3{x}_{k1}\left({\omega }_3^2-{\omega }_2^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3$$ ;

$$d_2=\left[{\omega }_3{x}_{k3}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_2{x}_{k2}\left({\omega }_3^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_3^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3$$ .

$$x_{0m}=\frac{A{x}_{нm}+B}{C{x}_{нm}+D};$$ $$x_{нm}=\frac{-Y\pm \sqrt{Y^2-4XZ}}{2X},$$

где A=x_11m; B=A₁-r_нmr₁₁+r_0m(r_22m-r_нm); C=-1; D=x_22m; X=-r_11m-r_0m;

Y=2x_22mr_0m+r_11mx_22m-x_11mr_22m+B₁; $$Z=-r_{0m}\left[{\left(r_{22m}-r_{нm}\right)}^2+x_{22m}^2\right]+r_{нm}{r}_{11m}\left(r_{22m}-r_{нm}\right)+r_{нm}\left(x_{11m}{x}_{22m}+A_1\right)-r_{22m}{A}_1-x_{22m}{B}_1$$ ;

A₁=r_11mr_22m-x_11mx_22m-r_12mr_21m+x_12mx_21m; B₁=x_11mr_22m+r_11mx_22m-x_12mr_21m-r_12mx_21m; x_0m; x_нm - оптимальные значения мнимых составляющих сопротивлений источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления и нагрузки на заданных четырех частотах ω=2πf_m; m=1, 2, 3, 4 - номер частоты; r_0m -заданные значения действительной составляющей сопротивления источника входного высокочастотного сигнала генератора в режиме усиления на четырех частотах; r_nm - заданные значения действительной составляющей сопротивления нагрузки на четырех частотах; r_11m, x_11m, r_12m, x_12m, r_21m, x_21m, r_22m, x_22m - заданные значения действительных и мнимых составляющих суммарных элементов матрицы сопротивлений трехполюсного нелинейного элемента и матрицы сопротивлений цепи внешней обратной связи на заданных четырех частотах и соответствующих четырех значениях амплитуды низкочастотного управляющего сигнала; k=0, н - индекс, характеризующий мнимые составляющие сопротивления нагрузки и источника сигнала в режиме усиления.

На фиг.1 показана схема устройства генерации и частотной модуляции высокочастотных сигналов (прототип), реализующего способ-прототип.

На фиг.2 показана структурная схема предлагаемого устройства по п.2., реализующая предлагаемый способ генерации и частотной модуляции по п.1 в режиме усиления.

На фиг.3 приведена схема реактивного двухполюсника, реализующего мнимую составляющую комплексного сопротивления источника сигнала генератора в режиме усиления и нагрузки.

Устройство-прототип (Фиг.1), реализующее способ-прототип, содержит цепь прямой передачи в виде трехполюсного нелинейного элемента VT-1, подключенного к источнику постоянного напряжения-2, первого согласующе-фильтрующего устройства СФУ-3 (первого реактивного четырехполюсника или первого согласующего четырехполюсника) и нагрузки в виде колебательного контура на элементах L-4, R-5, С(t)-6. Первое СФУ-3 включено между выходным электродом трехполюсного нелинейного элемента и нагрузкой. Управляемая емкость С(t), реализуемая варикапом - 6, подключена к источнику низкочастотного управляющего (информационного) сигнала - 7. Между нагрузкой и управляющим электродом трехполюсного нелинейного элемента включено второе СФУ-9 (второй реактивный четырехполюсник или второй согласующий четырехполюсник) с подключенными к ее входу первым двухполюсником - 8 и к выходу вторым двухпоюсником - 10 с комплексными сопротивлениями в поперечные цепи. Все это вместе образует цепь внешней обратной связи. Первый двухполюсник - 8 подключен к нагрузке. Второй двухполюсник - 10 подключен к управляющему электроду трехполюсного нелинейного элемента.

Принцип действия устройства генерации и модуляции высокочастотных сигналов (прототипа), реализующего способ-прототип, состоит в следующем.

При включении источника постоянного Напряжения - 2 в силу скачкообразного изменения амплитуды во всей цепи возникают колебания, спектр которых занимает весь частотный радио диапазон. Амплитуды этих колебаний быстро затухают. Однако, благодаря наличию внешней обратной связи, согласования с помощью первого реактивного четырехполюсника - 3 выходного электрода трехполюсного нелинейного элемента и нагрузки (цепи прямой передачи), согласования с помощью цепи обратной связи (первого двухполюсника - 8 с комплексным сопротивлением, второго реактивного четырехполюсника - 9 и второго двухполюсника - 10 с комплексным сопротивлением) нагрузки и управляющего электрода трехполюсного нелинейного элемента компенсируются потери в контуре L-4, R-5, C(t)-6. Благодаря этому обратная связь становится положительной и реализуются условия баланса фаз и амплитуд - условия возбуждения электромагнитных колебаний. В результате колебание с частотой, равной резонансной частоте колебательного контура, подается на управляющий электрод трехполюсного нелинейного элемента, который на начальном этапе работает в режиме усиления. Амплитуда этого колебания усиливается до момента ее увеличения до уровня, при котором наступает режим ограничения трехполюсного нелинейного элемента. Наступает стационарный режим генерации. В этом режиме изменение емкости варикапа С(t)-6 под действием управляющего сигнала источника - 7 приводит к изменению частоты генерируемого сигнала по закону изменения амплитуды этого сигнала.

Недостатки способа-прототипа и устройства его реализации описаны выше.

Предлагаемое устройство по п.2 (фиг.2), реализующее предлагаемый способ по п.1, содержит трехполюсный нелинейный элемент - 1 с известными элементами матрицы сопротивлений Z $$z_{11m}^{VT}=r_{11m}^{VT}+j{x}_{11m}^{VT}$$ , $$z_{12m}^{VT}=r_{12m}^{VT}+j{x}_{12m}^{VT}$$ , $$z_{21m}^{VT}=r_{21m}^{VT}+j{x}_{21m}^{VT}$$ , $$z_{22m}^{VT}=r_{22m}^{VT}+j{x}_{22m}^{VT}$$ на заданных частотах генерируемых сигналов, подключенный к источнику постоянного напряжения и низкочастотного управляющего сигнала -13 и каскадно включенный по высокой частоте между источником входного высокочастотного сигнала в режиме усиления с сопротивлением z₀=r_0m+jx_0m-12 на заданных частотах, имитирующим сопротивление источника высокочастотных колебаний, возникающих при включении источника постоянного напряжения - 13 в момент скачкообразного изменения амплитуды его напряжения в режиме генерации, и нагрузкой - 11 с сопротивлениями z_нm=r_нm+jx_нm на заданных частотах. Кроме того, трехполюсный нелинейный элемент - 1 по последовательной схеме (входы соединены последовательно и выходы - последовательно) соединен с цепью внешней обратной связи в виде произвольного четырехполюсника - 14 с известными элементами матрицы сопротивлений $$z_{11m}^{OC}=r_{11m}^{OC}+j{x}_{11m}^{OC}$$ , $$z_{12m}^{OC}=r_{12m}^{OC}+j{x}_{12m}^{OC}$$ , $$z_{21m}^{OC}=r_{21m}^{OC}+j{x}_{21m}^{OC}$$ , $$z_{22m}^{OC}=r_{22m}^{OC}+j{x}_{22m}^{OC}$$ , Синтез генератора (выбор значений мнимых составляющих сопротивлений источника входного высокочастотного сигнала генератора в режиме усиления и нагрузки на четырех заданных частотах (m=1, 2, 3, 4 - номер частоты), схем формирования этих двухполюсников (фиг.3) осуществлен по критерию обеспечения баланса амплитуд и баланса фаз путем реализации равенства нулю знаменателя коэффициента передачи устройства генерации в режиме усиления последовательно на заданных частотах генерируемых сигналов при соответствующих четырех значениях амплитуды низкочастотного управляющего сигнала. В режиме генерации источник входного высокочастотного сигнала отключается и вместо него устанавливается короткозамыкающая перемычка.

Предлагаемое устройство функционирует следующим образом.

При включении источника постоянного напряжения - 13 в силу скачкообразного изменения амплитуды во всей цепи возникают колебания, спектр которых занимает весь частотный радиодиапазон. Амплитуды этих колебаний быстро затухают. Однако, благодаря наличию четырехполюсника - 14 в цепи возникает внешняя обратная связь, которая в силу указанного выбора значений мнимых составляющих сопротивлений источника входного высокочастотного сигнала генератора в режиме усиления - 12 и нагрузки - 11 становится положительной и обеспечивает выполнение условий баланса амплитуд и баланса фаз, что равносильно возникновению отрицательного сопротивления, которое компенсирует потери во всей цепи одновременно на четырех заданных частотах. Амплитуды колебаний с заданными частотами усиливаются до определенных уровней и затем ограничиваются. Благодаря этому, колебания с заданными четырьмя частотами усиливаются до момента увеличения амплитуд этих колебаний до уровня, при котором амплитуда выходит за пределы квазилинейного участка проходной вольтамперной характеристики. Наступает стационарный режим. При разумном выборе положений четырех частот относительно друг друга изменение элементов матрицы сопротивлений нелинейного элемента под действием управляющего сигнала в этом режиме приводит к изменению частоты генерируемого сигнала по закону изменения амплитуды управляющего сигнала в большей полосе частот и большем диапазоне изменения амплитуды низкочастотного сигнала, то есть увеличивает квазилинейный участок частотной модуляционной характеристики.

Докажем возможность реализации указанных свойств.

Введем обозначения заданных зависимостей сопротивления источника сигнала в режиме усиления z₀=r₀+jx₀ и нагрузки z_н=r_н+jx_н от частоты. Исходными также являются зависимости элементов матрицы сопротивлений трехполюсного нелинейного элемента $$z_{11}^{VT}=r_{11}^{VT}+j{x}_{11}^{VT}$$ , $$z_{12}^{VT}=r_{12}^{VT}+j{x}_{12}^{VT}$$ , $$z_{21}^{VT}=r_{21}^{VT}+j{x}_{21}^{VT}$$ , $$z_{22}^{VT}=r_{22}^{VT}+j{x}_{22}^{VT}$$ и цепи обратной связи $$z_{11}^{OC}=r_{11}^{OC}+j{x}_{11}^{OC},$$ $$z_{12}^{OC}=r_{12}^{OC}+j{x}_{12}^{OC},$$ $$z_{21}^{OC}=r_{21}^{OC}+j{x}_{21}^{OC},$$ $$z_{22}^{OC}=r_{22}^{OC}+j{x}_{22}^{OC},$$ от частоты. Кроме того, элементы матрицы сопротивлений трехполюсного нелинейного элемента зависят от амплитуды постоянного напряжения и амплитуды низкочастотного управляющего сигнала. Для простоты аргументы (частота и амплитуда) опущены. При последовательном соединении четырехполюсников элементы их матриц сопротивлений складываются. Суммарные зависимости элементов матриц сопротивлений цепи прямой передачи в виде нелинейного элемента и цепи обратной связи от частоты: z₁₁=r₁₁+jx₁₁, z₁₂=r₁₂+jx₁₂, z₂₁=r₂₁+jx₂₁, z₂₂=r₂₂+jx₂₂. Общая матрица сопротивлений нелинейного элемента (VT) и четырехполюсника цепи обратной связи (ОС) и соответствующая ей классическая матрица передачи всего устройства с учетом условий нормировки:

$$Z=\left|\begin{array}{cc}{z}_{11}& z_{12}\\ z_{21}& z_{22}\end{array}\right|;A=\left|\begin{array}{cc}\frac{z_{11}}{z_{22}}\sqrt{\frac{z_{н}}{z_0}}& \frac{-\left|z\right|}{z_{21}}\frac{1}{\sqrt{z_0{z}_{н}}}\\ \frac{1}{z_{21}}\sqrt{z_0{z}_{н}}& \frac{-z_{22}}{z_{21}}\sqrt{\frac{z_0}{z_{н}}}\end{array}\right|,\left(\text{1}\right)$$

где |z|=z₁₁z₂₂-z₁₂z₂₁.

Используя известную связь элементов матрицы рассеяния с элементами классической матрицы передачи [Фельдштейн А.Л., Явич Л.Р. Синтез четырехполюсников и восьмиполюсников на СВЧ. М.: Связь, 1971. с.34-36] и матрицу передачи из (1), получим выражение для коэффициента передачи генератора в режиме усиления:

$$S_{21}=\frac{2z_{21}\sqrt{z_0{z}_{н}}}{\left(z_0+z_{11}\right)z_{н}-z_0{z}_{22}-\left|z\right|}.\left(\text{2}\right)$$

Преобразуем знаменатель коэффициента передачи и запишем его в виде, соответствующем условию возникновения стационарного режима генерации $$1-\frac{z_{н}{z}_{11}-\left|z\right|}{\left(z_{22}-z_{н}\right)z_0}=0$$ , или условию баланса амплитуд и баланса фаз 1-KB=0 (Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы - М: «Дрофа»., - 2006, с.383-401) для цепи с внешней положительной обратной связью. Для данного вида генератора и частотного модулятора $$K=\frac{z_{н}{z}_{21}}{\left(z_{22}-z_{н}\right)z_0}$$ - коэффициент передачи цепи прямой передачи; $$B=\frac{z_{н}{z}_{11}-\left|z\right|}{\left(z_{22}-z_{н}\right)z_0}$$ - коэффициент усиления цепи обратной связи.

Возможны и другие варианты представления величин К и В. Это различие для изобретения не имеет принципиального значения. В любом случае условия баланса амплитуд и баланса фаз соответствуют равенству нулю знаменателя коэффициента передачи.

Приравняем знаменатель коэффициента передачи нулю и разделим между собой действительную и мнимую части. Получим систему двух алгебраических уравнений:

$$r_{н}\left(r_{11}+r_0\right)-r_{22}{r}_0-A_1+x_0\left(x_{22}-x_{н}\right)-x_{н}{x}_{11}=0;x_{н}\left(r_{11}+r_0\right)+r_{н}\left(x_{11}+x_0\right)-r_{22}{x}_0-r_0{x}_{22}-B_1=0\left(\text{3}\right)$$

Решение системы уравнений (3) имеет вид:

$$X_0=\frac{A{X}_{н}+B}{C{X}_{н}+D};X_{н}=\frac{-Y\mp \sqrt{Y^2-4XZ}}{2X},\left(\text{4}\right)$$

где A=x₁₁; B=A₁-r_нr₁₁+r₀(r₂₂-r_н); C=-1; D=x₂₂; X=-r₁₁-r₀; Y=2x₂₂r₀+r₁₁x₂₂-x₁₁r₂₂+B₁;

$$Z=-r_0\left[{\left(r_{22}-r_{н}\right)}^2+x_{22}^2\right]+r_{н}{r}_{11}\left(r_{22}-r_{н}\right)+r_{н}\left(x_{11}{x}_{22}+A_1\right)-r_{22}{A}_1-x_{22}{B}_1$$ ;

A₁=r₁₁r₂₂-x₁₁x₂₂-r₁₂r₂₁+x₁₂x₂₁.

Реализация оптимальных аппроксимирующих функций (4) может быть осуществлена различными способами, например, с помощью метода интерполяции путем отыскания значений параметров выбранных реактивных двухполюсников, при которых их сопротивления на заданных частотах совпадают с оптимальными. Пусть мнимая составляющая x_н сопротивления нагрузки и мнимая составляющая x₀ сопротивления источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления сформирован из двух последовательно соединенных параллельных контуров L_1k, C_1k, L_2k, C_2k (k=0, н - (фиг.3)). Для N=4 составим две системы четырех уравнений:

$$\frac{{\omega }_m{L}_{1k}}{1-{\omega }_m^2{L}_{1k}{C}_{1k}}+\frac{{\omega }_m{L}_{2k}}{1-{\omega }_m^2{L}_{2k}{C}_{2k}}=x_{km},n=\mathrm{1,2,3,4};k=\mathrm{0,}н;{\omega }_m=2\pi f_m.\left(\text{5}\right)$$

Решение:

$$L_{1k}=\frac{e_1{x}_{k2}+h_1{x}_{k1}}{{\omega }_1{\omega }_2\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)\left(A-B\right)};L_{2k}=\frac{e_2{x}_{k2}+h_2{x}_{k1}}{{\omega }_1{\omega }_2\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)\left(A-B\right)};C_{1k}=\frac{A}{L_{1k}};C_{2k}=\frac{B}{L_{2k}},\left(\text{6}\right)$$

где $$B=\frac{-y\pm \sqrt{y^2-4xz}}{2x}$$ ; $$A=\frac{a_{1}B+b_1}{c_{1}B+d_1}=\frac{a_{2}B+b_2}{c_{2}B+d_2}$$ ;

x=a₂c₁-a₁c₂; y=a₂d₁+b₂c₁-a₁d₂-b₁c₂; z=b₂d₁-b₁d₂;

$$e_1={\omega }_1\left(1-{\omega }_2^{2}B\right)\left(1+A^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-A\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ; $$h_1=-{\omega }_2\left(1-{\omega }_1^{2}B\right)\left(1+A^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-A\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ;

$$e_2={\omega }_1\left(1-{\omega }_2^{2}A\right)\left(1+B^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-B\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ; $$h_2=-{\omega }_2\left(1-{\omega }_1^{2}A\right)\left(1+B^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-B\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ;

$$a_1={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4^2{x}_{k4}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{\omega }_2^2{\omega }_4{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_4^2\right)+{\omega }_1^2{\omega }_2{\omega }_4{x}_{k1}\left({\omega }_4^2-{\omega }_2^2\right)$$ ;

$$b_1={\omega }_1{\omega }_2{x}_{k4}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_1{\omega }_4{x}_{k2}\left({\omega }_4^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2{\omega }_4{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_4^2\right)$$ ;

$$c_1=\left[{\omega }_4^3{x}_{k4}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2^3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_4^2\right)+{\omega }_1^3{x}_{k1}\left({\omega }_4^2-{\omega }_2^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4$$ ;

$$d_1=\left[{\omega }_4{x}_{k4}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_2{x}_{k2}\left({\omega }_4^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_4^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4$$ ;

$$a_2={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3^2{x}_{k3}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{\omega }_2^2{\omega }_3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_3^2\right)+{\omega }_1^2{\omega }_2{\omega }_3{x}_{k1}\left({\omega }_3^2-{\omega }_2^2\right)$$ ;

$$b_2={\omega }_1{\omega }_2{x}_{k3}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_1{\omega }_3{x}_{k2}\left({\omega }_3^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2{\omega }_3{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_3^2\right)$$ ;

$$c_2=\left[{\omega }_3^3{x}_{k3}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2^3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_3^2\right)+{\omega }_1^3{x}_{k1}\left({\omega }_3^2-{\omega }_2^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3$$ ;

$$d_2=\left[{\omega }_3{x}_{k3}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_2{x}_{k2}\left({\omega }_3^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_3^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3$$ .

Реализация оптимальных аппроксимаций частотных характеристик (4) с помощью (6) обеспечивает увеличение диапазона изменения частоты генерируемого сигнала, поскольку реализует условие баланса амплитуд и баланса фаз на четырех частотах заданной модуляционной характеристики или заданного диапазона изменения частоты при соответствующих четырех значениях амплитуды управляющего сигнала. Это позволяет при разумном выборе положений заданных частот относительно друг друга ω₁-ω₂, ω₁-ω₃, ω₁-ω₄, ω₂-ω₃, ω₂-ω₄, ω₃-ω₄ расширить линейный участок модуляционной характеристики.

Предлагаемые технические решения имеют изобретательский уровень, поскольку из опубликованных научных данных и известных технических решений явным образом не следует, что заявленная последовательность операций (включение трехполюсного нелинейного элемента между введенным сопротивлением источника высокочастотного сигнала генератора в режиме усиления и нагрузкой, а также по последовательной схеме с цепью внешней обратной связи в виде произвольного четырехполюсника (фиг.2), выбор частотных характеристик мнимой составляющей сопротивления источника высокочастотного сигнала генератора в режиме усиления и мнимой составляющей сопротивления нагрузки, формирование их схем в указанном виде (фиг.3), выбор значений их параметров из условия обеспечения стационарного режима генерации на четырех частотах и соответствующих четырех значениях амплитуды низкочастотного управляющего сигнала на нелинейном трехполюсном элементе), приводит к изменению частоты генерируемого сигнала по закону изменения амплитуды управляющего сигнала в большей полосе частот и большем диапазоне изменения амплитуды низкочастотного сигнала, то есть увеличивает квазилинейный участок частотной модуляционной характеристики.

Предлагаемые технические решения практически применимы, так как для их реализации могут быть использованы серийно выпускаемые промышленностью трехполюсные нелинейные элементы (транзисторы или лампы), реактивные элементы, сформированные в заявленные схемы реактивных двухполюсников (фиг.3). Значения параметров индуктивностей и емкостей этих схем могут быть однозначно определены с помощью математических выражений, приведенных в формуле изобретения.

Технико-экономическая эффективность предложенного устройства заключается в последовательном обеспечении генерации высокочастотного сигнала на четырех заданных частотах и соответствующих четырех значениях амплитуды управляющего сигнала за счет выбора схемы и значений параметров реактивных элементов по критерию обеспечения условий баланса фаз и амплитуд на этих частотах при изменяемом состоянии трехполюсного нелинейного элемента, что в динамике приводит к изменению частоты генерируемого сигнала по закону изменения амплитуды управляющего сигнала в большей полосе частот и большем диапазоне изменения амплитуды низкочастотного сигнала, то есть увеличивает квазилинейный участок частотной модуляционной характеристики при минимальном количестве элементов схемы.

1. Способ генерации и частотной модуляции высокочастотного сигнала, основанный на преобразовании энергии источника постоянного напряжения в энергию высокочастотного сигнала, взаимодействии высокочастотного сигнала с цепью прямой передачи, трехполюсным нелинейным элементом, цепью обратной связи и нагрузкой, выполнении условий возбуждения в виде баланса амплитуд и баланса фаз, определяющих соответственно амплитуду и частоту генерируемого высокочастотного сигнала, и условий согласования трехполюсного нелинейного элемента с нагрузкой, изменении частоты генерируемого высокочастотного сигнала по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего сигнала путем соответствующего изменения баланса фаз, отличающийся тем, что цепь прямой передачи выполняют из трехполюсного нелинейного элемента, в качестве цепи обратной связи используют внешнюю обратную связь в виде произвольного четырехполюсника, последовательно соединенного с трехполюсным нелинейным элементом, изменяют частоту генерируемого высокочастотного сигнала и реализуют условия согласования за счет изменения амплитуды управляющего сигнала на трехполюсном нелинейном элементе, подключенном выходным и общим электродами к нагрузке, выполненной в виде первого двухполюсника с комплексным сопротивлением, к управляющему и общему электродам трехполюсного нелинейного элемента подключают второй двухполюсник с комплексным сопротивлением, имитирующим сопротивление источника сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления, условия возбуждения в виде баланса амплитуд и баланса фаз и условия согласования выполняют за счет выбора зависимостей мнимых составляющих сопротивлений первого x_n и второго x₀ двухполюсников от частоты из условия обеспечения стационарного режима генерации в виде равенства нулю знаменателя коэффициента передачи в режиме усиления последовательно на всем заданном диапазоне изменения частоты генерируемых высокочастотных сигналов по закону изменения амплитуды низкочастотного управляющего сигнала в соответствии со следующими математическими выражениями
$${\text{x}}_{\text{0}}=\frac{{\text{Ax}}_{\text{н}}+\text{B}}{{\text{Cx}}_{\text{н}}+\text{D}};$$ $${\text{x}}_{\text{н}}=\frac{-\text{Y}\pm \sqrt{{\text{Y}}^{\text{2}}-\text{4XZ}}}{\text{2X}},$$
где A=x₁₁; B=A₁-r_нr₁₁+r₀(r₂₂-r_н); C=-1; D=x₂₂; X=-r₁₁-r₀; Y=2x₂₂r₀+r₁₁x₂₂-x₁₁r₂₂+B₁; $$\text{Z}=-{\text{r}}_{\text{0}}\left[{\left({\text{r}}_{\text{22}}-{\text{r}}_{\text{н}}\right)}^{\text{2}}+{\text{x}}_{\text{22}}^{\text{2}}\right]+{\text{r}}_{\text{н}}{\text{r}}_{\text{11}}\left({\text{r}}_{\text{22}}-{\text{r}}_{\text{н}}\right)+{\text{r}}_{\text{н}}\left({\text{x}}_{\text{11}}{\text{x}}_{\text{22}}+{\text{A}}_{\text{1}}\right)-{\text{r}}_{\text{22}}{\text{A}}_{\text{1}}-{\text{x}}_{\text{22}}{\text{B}}_1$$ ; A₁=r₁₁r₂₂-x₁₁x₂₂-r₁₂r₂₁+x₁₂x₂₁; B₁=x₁₁r₂₂+r₁₁x₂₂-x₁₂r₂₁-r₁₂x₂₁; r₀, x₀ - заданные зависимости действительной составляющей и оптимальные зависимости мнимой составляющей сопротивления источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления от частоты в заданной полосе частот; r_н, х_н - заданные зависимости действительной составляющей и оптимальные зависимости мнимой составляющей сопротивления нагрузки от частоты в заданной полосе частот; x₁₁, r₁₂, x₁₂, r₂₁, x₂₁, r₂₂, x₂₂ - заданные зависимости действительных и мнимых составляющих суммарных элементов матрицы сопротивлений трехполюсного нелинейного элемента и матрицы сопротивлений цепи внешней обратной связи от частоты в заданной полосе частот при соответствующем изменении амплитуды низкочастотного управляющего сигнала.

2. Устройство генерации и частотной модуляции высокочастотных сигналов, состоящее из источника постоянного напряжения и низкочастотного управляющего сигнала, трехполюсного нелинейного элемента, цепи прямой передачи, цепи обратной связи и нагрузки, отличающееся тем, что цепь прямой передачи выполнена из трехполюсного нелинейного элемента, в качестве цепи обратной связи использована внешняя обратная связь в виде произвольного четырехполюсника, последовательно соединенного с трехполюсным нелинейным элементом, трехполюсный нелинейный элемент выходным и общим электродами подключен к нагрузке, выполненной в виде первого двухполюсника с комплексным сопротивлением, к управляющему и общему электродам трехполюсного нелинейного элемента подключен второй двухполюсник с комплексным сопротивлением, которое имитирует сопротивление источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления, мнимая составляющая сопротивления нагрузки и мнимая составляющая сопротивления источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления реализованы из двух последовательно соединенных параллельных контуров с параметрами L_1k, C_1k, L_2k, C_2k, причем значения параметров определены из условия обеспечения стационарного режима генерации на четырех частотах заданной полосы частот и соответствующих четырех значениях амплитуды низкочастотного управляющего сигнала с помощью следующих математических выражений
$${\text{L}}_{\text{1k}}=\frac{{\text{e}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{k2}}+{\text{h}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{k1}}}{{\text{ω}}_{\text{1}}{\text{ω}}_{\text{2}}\left({\text{ω}}_{\text{1}}^{\text{2}}-{\text{ω}}_{\text{2}}^{\text{2}}\right)\left(\text{B}-\text{A}\right)}$$ ; $${\text{L}}_{\text{2k}}=\frac{{\text{e}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{k2}}+{\text{h}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{k1}}}{{\text{ω}}_{\text{1}}{\text{ω}}_{\text{2}}\left({\text{ω}}_{\text{1}}^{\text{2}}-{\text{ω}}_{\text{2}}^{\text{2}}\right)\left(\text{B}-\text{A}\right)}$$ ; $${\text{C}}_{\text{1k}}=\frac{\text{A}}{{\text{L}}_{\text{1k}}}$$ ; $${\text{C}}_{\text{2k}}=\frac{\text{B}}{{\text{L}}_{\text{2k}}}$$ ,
где $$\text{B}=\frac{-\text{y}\pm \sqrt{{\text{y}}^{\text{2}}-\text{4xz}}}{\text{2x}}$$ ; $$\text{A}=\frac{{\text{a}}_{\text{1}}\text{B}+{\text{b}}_{\text{1}}}{{\text{c}}_{\text{1}}\text{B}+{\text{d}}_{\text{1}}}=\frac{{\text{a}}_{\text{2}}\text{B}+{\text{b}}_{\text{2}}}{{\text{c}}_{\text{2}}\text{B}+{\text{d}}_{\text{2}}}$$ ;
x=a₂c₁-a₁c₂; y=a₂d₁+b₂c₁-a₁d₂-b₁c₂; z=b₂d₁-b₁d₂;
$$e_1={\omega }_1\left(1-{\omega }_2^{2}B\right)\left(1+A^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-A\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ; $$h_1=-{\omega }_2\left(1-{\omega }_1^{2}B\right)\left(1+A^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-A\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ;
$$e_2={\omega }_1\left(1-{\omega }_2^{2}A\right)\left(1+B^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-B\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ; $$h_2=-{\omega }_2\left(1-{\omega }_1^{2}A\right)\left(1+B^2{\omega }_1^2{\omega }_2^2-B\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2\right)\right)$$ ;
$$a_1={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4^2{x}_{k4}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{\omega }_2^2{\omega }_4{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_4^2\right)+{\omega }_1^2{\omega }_2{\omega }_4{x}_{k1}\left({\omega }_4^2-{\omega }_2^2\right)$$ ;
$$b_1={\omega }_1{\omega }_2{x}_{k4}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_1{\omega }_4{x}_{k2}\left({\omega }_4^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2{\omega }_4{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_4^2\right)$$ ;
$$c_1=\left[{\omega }_4^3{x}_{k4}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2^3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_4^2\right)+{\omega }_1^3{x}_{k1}\left({\omega }_4^2-{\omega }_2^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4$$ ;
$$d_1=\left[{\omega }_4{x}_{k4}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_2{x}_{k2}\left({\omega }_4^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_4^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_4$$ ;
$$a_2={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3^2{x}_{k3}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{\omega }_2^2{\omega }_3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_3^2\right)+{\omega }_1^2{\omega }_2{\omega }_3{x}_{k1}\left({\omega }_3^2-{\omega }_2^2\right)$$ ;
$$b_2={\omega }_1{\omega }_2{x}_{k3}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_1{\omega }_3{x}_{k2}\left({\omega }_3^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2{\omega }_3{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_3^2\right)$$ ;
$$c_2=\left[{\omega }_3^3{x}_{k3}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_2^3{x}_{k2}\left({\omega }_1^2-{\omega }_3^2\right)+{\omega }_1^3{x}_{k1}\left({\omega }_3^2-{\omega }_2^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3$$ ;
$$d_2=\left[{\omega }_3{x}_{k3}\left({\omega }_1^2-{\omega }_2^2\right)+{\omega }_2{x}_{k2}\left({\omega }_3^2-{\omega }_1^2\right)+{\omega }_1{x}_{k1}\left({\omega }_2^2-{\omega }_3^2\right)\right]{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3,$$
$$x_{0m}=\frac{A{x}_{нm}+B}{C{x}_{нm}+D}$$ ^; $$x_{нm}=\frac{-Y\pm \sqrt{Y^2-4XZ}}{2X}$$ ^,
где A=x_11m; B=A₁-r_нmr₁₁+r_0m(r_22m-r_нm); C=-1; D=x_22m; X=-r_11m-r_0m; Y=2x_22mr_0m+r_11mx_22m-x_11mr_22m+B₁; $$\text{Z}=-{\text{r}}_{\text{0m}}\left[{\left({\text{r}}_{\text{22m}}-{\text{r}}_{\text{нm}}\right)}^{\text{2}}+{\text{x}}_{\text{22m}}^{\text{2}}\right]+{\text{r}}_{\text{нm}}{\text{r}}_{\text{11m}}\left({\text{r}}_{\text{22m}}-{\text{r}}_{\text{нm}}\right)+{\text{r}}_{\text{нm}}\left({\text{x}}_{\text{11m}}{\text{x}}_{\text{22m}}+{\text{A}}_{\text{1}}\right)-{\text{r}}_{\text{22m}}{\text{A}}_{\text{1}}-{\text{x}}_{\text{22m}}{\text{B}}_{\text{1}}$$ ; A₁=r_11mr_22m-x_11mx_22m-r_12mr_21m+x_12mx_21m; B₁=x_11mr_22m+r_11mx_22m-x_12mr_21m-r_12mx_21m; x_0m; x_нm - оптимальные значения мнимых составляющих сопротивлений источника входного высокочастотного сигнала генератора и частотного модулятора в режиме усиления и нагрузки на заданных четырех частотах ω_m=2πf_m; m=1, 2, 3, 4 - номер частоты; r_0m - заданные значения действительной составляющей сопротивления источника входного высокочастотного сигнала генератора в режиме усиления на четырех частотах; r_nm - заданные значения действительной составляющей сопротивления нагрузки на четырех частотах; r_11m, x_11m, r_12m, x_12m, r_21m, x_21m, r_22m, x_22m - заданные значения действительных и мнимых составляющих суммарных элементов матрицы сопротивлений трехполюсного нелинейного элемента и матрицы сопротивлений цепи внешней обратной связи на заданных четырех частотах и соответствующих четырех значениях амплитуды низкочастотного управляющего сигнала; k=0, н - индекс, характеризующий мнимые составляющие сопротивления нагрузки и источника сигнала в режиме усиления.