Способ определения спектральной плотности мощности электрического сигнала по автокорреляционной функции этого сигнала

Изобретение относится к области радиоэлектроники, а именно - к способам определения спектральной плотности мощности электрических сигналов. Определяют дискретные значения автокорреляционной функции анализируемого сигнала и по ним определяют дискретные значения спектральной плотности мощности. Причем диапазон контролируемых частот, включающий спектр анализируемого сигнала, разбивают на малые элементы разрешения, размер которых определяется требуемой точностью спектрального анализа. Нумеруют их и для каждого элемента разрешения формируют весовую функцию, зависящую от времени, номера и размера элемента разрешения. Определяют дискретные значения автокорреляционной функции анализируемого сигнала при временных сдвигах, удобных для их определения. Составляют векторно-матричное уравнение измерений $$\overrightarrow{r}=w^T\overrightarrow{f}+\overrightarrow{n}$$ , где вектор $$\overrightarrow{r}$$ включает дискретные значения автокорреляционной функции W - весовая матрица, определяемая значениями весовых функций в моменты дискретизации автокорреляционной функции, $$\overrightarrow{f}$$ - спектральный вектор, включающий в качестве компонент значения спектральной плотности мощности в каждом элементе разрешения, $$\overrightarrow{n}$$ - вектор ошибок определения дискретных значений автокорреляционной функции. По уравнению измерений находят оценку спектрального вектора, компоненты которого представляют собой оценки дискретизированных по элементам разрешения составляющих спектральной плотности мощности анализируемого сигнала. Технический результат заключается в повышении точности спектрального анализа, устранение искажений спектра в связи с эффектом просачивания мощности в соседние частотные области и сокращение времени спектрального анализа.

 

Изобретение относится к области радиоэлектроники, а именно - к способам определения спектральной плотности мощности электрических сигналов.

Часто задача спектрального анализа заключается в определении спектральной плотности мощности электрического сигнала. Одним из подходов к решению этой задачи является определение спектральной плотности мощности анализируемого сигнала по его автокорреляционной функции. Согласно теореме Винера - Хинчина, автокорреляционная функция стационарного случайного сигнала связана с его спектральной плотностью мощности преобразованием Фурье

$$\varphi (\omega )=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\rho }_{xx}(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau ,\left(\text{1}\right)$$

где φ(ω) - спектральная плотность мощности, ω - круговая частота, $${\rho }_{xx}(\tau )=\overline{x(t)x(t+\tau )}$$ - автокорреляционная функция стационарного сигнала x(t), τ - временной сдвиг, надчеркивание обозначает усреднение, j - комплексная единица.

Проведя дискретизацию по переменной интегрирования τ, получим оценку Блэкмана и Тьюки [1 - прототип], которая позволяет определить спектральную плотность мощности по дискретным значениям автокорреляционной функции, взятым с шагом дискретизации T, согласно выражению

$$\varphi (\omega )=\sum _{m=-M}^M{\rho }_{xx}(mT)e^{-j\omega mT},\left(\text{2}\right)$$

Способ-прототип заключается в определении М дискретных значений автокорреляционной функции ρ_xx(mT), m=1, 2, …, М и определении по ним согласно (2) дискретных значений спектральной плотности мощности для заданных значений ω, которые обычно выбираются с фиксированным шагом дискретизации Ω, обеспечивающим реализацию дискретного преобразования Фурье.

Недостатки прототипа следующие.

1. При переходе от интеграла (1) к дискретному преобразованию Фурье (2) должно выполняться условие теоремы Котельникова $$T\le \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2_{F_{\max }}$}\right.$$ , где F_max - максимальная частота в спектре автокорреляционной функции. Таким образом, величина шага дискретизации автокорреляционной функции оказывается ограниченной сверху, что приводит к высоким требованиям к быстродействию аналого-цифровых преобразователей (АЦП), используемых для формирования выборки значений автокорреляционной функции при высокочастотном характере последней. С одной стороны, это требует дорогостоящих быстродействующих АЦП, а с другой - ограничивает возможности оцифровки сигналов с высокочастотным характером автокорреляционной функции.

2. Точность спектрального анализа ограничена характерной для дискретного преобразования Фурье величиной, которая, согласно [2], определяется выражением $$\Omega =\frac{2\pi }{МТ}$$ , т.е. зависит от временного интервала МТ, на котором дискретизируется МТ автокорреляционная функция.

3. Для неискаженного восстановления спектра анализируемого сигнала необходимо получить выборочные значения на всем протяжении автокорреляционной функции. В противном случае спектральная плотность будет искажаться в сторону увеличения ее протяженности по оси частот. Этот эффект [3] называется просачиванием мощности в соседние частотные области. Как известно, чем меньшую полосу частот занимает спектр сигнала, тем протяженнее во времени его автокорреляционная функция, поэтому, если истинный спектр сигнала сосредоточен в узкой полосе частот, то для неискаженного определения спектральной плотности требуется оцифровывать автокорреляционную функцию на достаточно большой ее длительности. Это само по себе является сложным в реализации, хотя бы уже потому, что априори приходится делать анализ протяженности автокорреляционной функции во времени, а кроме того, требуется достаточно большое время спектрального анализа в связи с необходимостью оцифровывать всю эту функцию с шагом дискретизации, отвечающим условию теоремы Котельникова.

Технической задачей данного изобретения является создание способа определения спектральной плотности мощности электрического сигнала по автокорреляционной функции этого сигнала, который позволяет снизить стоимости спектрального анализа, расширить класс анализируемых сигналов на сигналы с высокочастотной автокорреляционной функцией, повысить точность спектрального анализа, устранить искажения спектра в связи с эффектом просачивания мощности в соседние частотные области, сократить время спектрального анализа.

Поставленная задача достигается тем, что в способе определения спектральной плотности мощности электрического сигнала по автокорреляционной функции этого сигнала, который заключается в определении дискретных значений автокорреляционной функции анализируемого сигнала и определении по ним дискретных значений спектральной плотности мощности, согласно изобретению, диапазон контролируемых частот, включающий спектр анализируемого сигнала, разбивают на малые элементы разрешения, размер которых Ω определяется требуемой точностью спектрального анализа, нумеруют эти элементы разрешения, формируют для каждого элемента разрешения весовую функцию $$w_k(t)=\frac{\Omega }{2\pi }{e}^{jk\Omega t}$$ , где t - время, k - номер элемента разрешения, j - комплексная единица, определяют М дискретных значений автокорреляционной функции анализируемого сигнала ρ_xx(τ_i), i=1, 2, …, М при временных сдвигах τ_i, удобных для определения этих дискретных значений, составляют векторно-матричное уравнение измерений $$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=W^T\stackrel{\rightharpoonup }{f}+\overrightarrow{n}$$ , где $$\overrightarrow{r}={\left[{\rho }_{xx}({\tau }_1){\rho }_{xx}({\tau }_2)\dots {\rho }_{xx}({\tau }_M)\right]}^T$$ - вектор дискретных значений автокорреляционной функции, индекс Т обозначает транспонирование,

$$w=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1({\tau }_1)& w_1({\tau }_2)& \dots & w_1({\tau }_M)\\ w_2({\tau }_1)& w_2({\tau }_2)& \dots & w_2({\tau }_M)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ w_K({\tau }_1)& w_K({\tau }_2)& \dots & w_K({\tau }_M)\end{array}\right]$$ - весовая матрица, K - число элементов разрешения в диапазоне контролируемых частот, $$\overrightarrow{f}={\left[{\varphi }_1{\varphi }_2\dots {\varphi }_K\right]}^T$$ - спектральный вектор, φ_i - значение спектральной плотности мощности на i-м элементе разрешения, $$\overrightarrow{n}$$ - вектор ошибок определения дискретных значений автокорреляционной функции, по уравнению измерений находят оценку спектрального вектора, компоненты которой представляют собой оценки дискретизированных по элементам разрешения составляющих спектральной плотности мощности анализируемого сигнала.

Поставленная задача решается за счет того, что вместо определения спектральной плотности мощности из прямого преобразования Фурье (1), согласно заявляемому способу, эта спектральная плотность определяется из обратного преобразования Фурье $${\rho }_{xx}(\tau )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\varphi (\omega )e^{j\omega \tau }d\omega$$ , в котором она является подынтегральной функцией. Соответственно, при дискретизации обратного преобразования Фурье малым должен быть шаг дискретизации Ω переменной интегрирования, а временная переменная τ может при этом принимать любые значения. Таким образом, дискретные значения автокорреляционной функции могут определяться с любым удобным шагом дискретизации по временной переменной, а точность спектрального анализа при этом будет задаваться малым шагом дискретизации по оси частот Ω.

Обоснование способа.

Запишем автокорреляционную функцию сигнала как обратное преобразование Фурье спектральной плотности мощности

$${\rho }_{xx}(\tau )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\varphi (\omega )e^{j\omega \tau }d\omega ,\left(\text{3}\right)$$

где ω - круговая частота, τ - временной сдвиг.

Будем полагать, что спектр анализируемого сигнала лежит в диапазоне контролируемых частот (-ω_∂, ω_∂). Это позволяет переписать (3) в виде

$${\rho }_{xx}(\tau )=\frac{1}{2\pi }\underset{-{\omega }_{\partial }}{\overset{{\omega }_{\partial }}{\int }}\varphi (\omega )e^{j\omega \tau }d\omega$$ .

Разобьем диапазон контролируемых частот, включающий спектр анализируемого сигнала, на малые элементы разрешения, размер которых Ω определяется требуемой точностью спектрального анализа, пронумеруем эти элементы разрешения и перепишем полученный интеграл в виде интегральной суммы

$${\rho }_{xx}(\tau )=\sum _{k=1}^K\frac{1}{2\pi }\varphi (k\Omega )e^{jk\Omega \tau }\Omega ,\left(\text{4}\right)$$

где k - номер элемента разрешения, К - число элементов разрешения в диапазоне контролируемых частот.

Для каждого элемента разрешения сформируем весовую функцию

$$w_k(t)\frac{\Omega }{2\pi }{e}^{j\Omega t},\left(\text{5}\right)$$

где t - время, k - номер элемента разрешения.

C учетом весовых функций (5) запишем (4) в форме

$${\rho }_{xx}(\tau )=\sum _{k=1}^K{w}_k(\tau ){\varphi }_k={\overrightarrow{w}}^T(\tau )\overrightarrow{f},\left(\text{6}\right)$$

где τ - временной сдвиг, $$\overrightarrow{w}(\tau )={\left[w_1(\tau )w_2(\tau )\dots w_K(\tau )\right]}^T$$ весовой вектор, К - число элементов разрешения в диапазоне контролируемых частот, $$\overrightarrow{f}={\left[{\varphi }_1{\varphi }_2\dots {\varphi }_K\right]}^T$$ - спектральный вектор, представляющий собой дискретизированную по элементам разрешения искомую спектральную плотность, φ_i=φ(iΩ) - значение спектральной плотности мощности на i-м элементе разрешения.

Для заданного значения τ автокорреляционную функцию полагаем известной: она может быть определена, например, усреднением произведения измеренных значений анализируемого сигнала х(t) и x(t+τ) при постоянном заданном временном сдвиге τ. Весовой вектор $$\overrightarrow{w}(\tau )$$ также известен: его компоненты определяются согласно (5) при подстановке вместо t заданного τ. Спектральный вектор $$\overrightarrow{f}$$ неизвестен. Найдя этот вектор, мы, тем самым, найдем спектральную плотность мощности с точностью элемента разрешения.

Чтобы оценить спектральный вектор $$\overrightarrow{f}$$ , сделаем следующее. Определим М дискретных значений автокорреляционной функции анализируемого сигнала ρ_xx(τi), i=1, 2, …, М при временных сдвигах τ_i, удобных для определения этих дискретных значений, и запишем уравнение (6) для всех полученных значений:

$$\begin{array}{l}{\rho }_{xx}({\tau }_1)={\overrightarrow{w}}^T({\tau }_1)\overrightarrow{f},\\ {\rho }_{xx}({\tau }_2)={\overrightarrow{w}}^T({\tau }_2)\overrightarrow{f},\left(\text{7}\right)\\ \dots \dots \\ {\rho }_{xx}({\tau }_M)={\overrightarrow{w}}^T({\tau }_M)\overrightarrow{f}.\end{array}$$

Для автоматизированной цифровой обработки значения τ_i удобно выбирать с постоянным шагом дискретизации, на который, в отличие от прототипа, не накладывается условие теоремы Котельникова, т.е. шаг дискретизации автокорреляционной функции может быть выбран достаточно большим. В общем случае, постоянный шаг дискретизации не обязателен.

Перепишем (7) в векторно-матричной форме

$$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=w^T\stackrel{\rightharpoonup }{f},\left(\text{8}\right)$$

где $$\overrightarrow{r}={\left[{\rho }_{xx}({\tau }_1){\rho }_{xx}({\tau }_2)\dots {\rho }_{xx}({\tau }_M)\right]}^T$$ вектор дискретных значений автокорреляционной функции (вектор корреляций), который известен,

$$w=\left[\overrightarrow{w}({\tau }_1)\overrightarrow{w}({\tau }_2)\dots \overrightarrow{w}({\tau }_M)\right]=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1({\tau }_1)& w_1({\tau }_2)& \dots & w_1({\tau }_M)\\ w_2({\tau }_1)& w_2({\tau }_2)& \dots & w_2({\tau }_M)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ w_K({\tau }_1)& w_K({\tau }_2)& \dots & w_K({\tau }_M)\end{array}\right]$$ - весовая матрица, которая тоже известна.

С учетом ошибок определения значений компонент вектора корреляций перепишем (8) в виде уравнения измерений

$$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=w^T\stackrel{\rightharpoonup }{f}=\stackrel{\rightharpoonup }{n},\left(\text{9}\right)$$ $$$$

где $$\overrightarrow{n}$$ - вектор ошибок определения дискретных значений автокорреляционной функции.

По уравнению измерений (9) найдем оценку спектрального вектора $$\overrightarrow{f}$$ . Для этого применим один из методов оценивания, например линейное винеровское оценивание. Для этого, согласно [4], представим искомую оценку в виде

$$\stackrel{⌢}{\overrightarrow{f}}=H\overrightarrow{r}\left(\text{10}\right)$$

и найдем матрицу Н из условия минимума среднеквадратической ошибки оценивания

$$\eta =\overline{{\left(\overrightarrow{f}-\stackrel{⌢}{\overrightarrow{f}}\right)}^T\left(\overrightarrow{f}-\stackrel{⌢}{\overrightarrow{f}}\right)}$$ .

Полагая статистически независимыми ошибки $$\overrightarrow{n}$$ и оцениваемую величину $$\overrightarrow{f}$$ , получим

$$H=R_{ff}w{(w^T{R}_{ff}w+R_{nn})}^{-1},\left(\text{11}\right)$$

где $$R_{ff}=\overline{\stackrel{\rightharpoonup }{f}{\overrightarrow{f}}^T}$$ - автокорреляционная матрица спектральной плотности, $$R_{nn}=\overline{n{n}^T}$$ - автокорреляционная матрица ошибок.

Подставив полученную матрицу (11) в (10), найдем оценку спектрального вектора

$$\stackrel{⌢}{\overrightarrow{f}}=R_{ff}w{(w^T{R}_{ff}w+R_{nn})}^{-1}\overrightarrow{r}.\left(\text{12}\right)$$

Если ошибками определения автокорреляционной функции можно пренебречь, то определить оценку спектрального вектора можно методом псевдообращения [5]:

$$\stackrel{⌢}{\overrightarrow{f}}{(w^T)}^{+}\overrightarrow{r},\left(\text{13}\right)$$

где индекс + обозначает псевдообратную матрицу.

Компоненты оценки спектрального вектора $$\stackrel{⌢}{\overrightarrow{f}}$$ , найденные согласно (12) или (13), представляют собой оценки дискретизированных по элементам разрешения составляющих спектральной плотности мощности анализируемого сигнала. Таким образом, спектральная плотность мощности определена с точностью элемента разрешения Ω, размер которого выбирался априори. При этом на выборку дискретных значений автокорреляционной функции никаких ограничений не накладывалось: она может дискретизироваться с любым удобным шагом дискретизации, может быть дискретизирована не вся, а лишь ее участок.

Преимущества предлагаемого способа по сравнению с прототипом следующие.

1. Снижение стоимости спектрального анализа. Это обусловлено снижением стоимости АЦП, применяемых для оцифровки выборочных значений автокорреляционной функции в результате того, что в заявляемом способе выборка автокорреляционной функции формируется при дискретных значениях временной переменной τ, удобных для определения выборки, а не с шагом дискретизации, обусловленным теоремой Котельникова, как в прототипе. Выбрав шаг дискретизации по временной переменной автокорреляционной функции достаточно большим, можно использовать менее быстродействующие и, соответственно, более дешевые АЦП.

2. Расширение класса анализируемых сигналов на сигналы с высокочастотным характером автокорреляционной функции. Это преимущество также обусловлено тем, что оцифровка автокорреляционной функции в заявляемом способе производится с произвольным шагом дискретизации по временной переменной τ, который может быть выбран достаточно большим даже при высокочастотной автокорреляционной функции, так, чтобы имеющийся АЦП "успевал" оцифровывать ее дискретные значения.

3. Повышение точности спектрального анализа. Это преимущество обусловлено тем, что точность в заявляемом способе обусловлена априори выбранным размером элемента разрешения Ω, который, теоретически, может быть выбран сколь угодно малым.

В отличие от прототипа, в заявляемом способе отсутствует ограничение по точности $$\Omega =\frac{2\pi }{МТ}$$ , свойственное дискретному преобразованию Фурье, на котором основан МТ прототип.

4. Устранение искажения спектра в связи с эффектом просачивания мощности в соседние частотные области. Это обусловлено тем, что каждое измеренное значение автокорреляционной функции, согласно системе уравнений (7), включает полный набор компонент искомого спектрального вектора, поэтому неискаженная оценка этого вектора возможна из указанной системы уравнений при достаточном числе замеров автокорреляционной функции независимо от интервала временной переменной, на котором эти замеры получены.

5. Сокращение времени спектрального анализа. Это преимущество обусловлено возможностью использовать дискретные значения автокорреляционной функции, полученные с произвольным шагом дискретизации на произвольном участке функции. Нужно лишь получить их необходимое количесство. В прототипе же требуется с достаточно малым шагом дискретизации (в соответствии с теоремой Котельникова) оцифровать автокорреляционную функцию на всем ее протяжении или, по крайней мере, на достаточно большом ее участке. В противном случае возникает искажение спектра. Кроме того, выражение (13), полученное в заявляемом способе, позволяет определять спектральную плотность при длине выборки автокорреляционной функции М, меньшем числа элементов разрешения по оси частот К, что также ведет к сокращению времени спектрального анализа.

Источники информации

1. Кей С.М., Марпл С.Л. Современные методы спектрального анализа: Обзор. // ТИИЭР, Том 69, №11, 1981 г., с.9-10 (прототип).

2. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ. - М.: «Сов. радио», 1973, с.191.

3. Кей С.М., Марпл С.Л. Современные методы спектрального анализа: Обзор. // ТИИЭР, Том 69, №11, 1981 г., с.11.

4. Самойленко В.И., Пузырев В.А., Грубрин И.В. Техническая кибернетика. - М.: Изд-во МАИ, 1994, с.130-132.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988, с.35.

Способ определения спектральной плотности мощности электрического сигнала по автокорреляционной функции этого сигнала, заключающийся в том, что определяют дискретные значения автокорреляционной функции анализируемого сигнала и по ним определяют дискретные значения спектральной плотности мощности, отличающийся тем, что диапазон контролируемых частот, включающий спектр анализируемого сигнала, разбивают на малые элементы разрешения, размер которых Ω определяется требуемой точностью спектрального анализа, нумеруют эти элементы разрешения, формируют для каждого элемента разрешения весовую функцию $$w_k(t)=\frac{\Omega }{2\pi }{e}^{jk\Omega t}$$ , где t - время, k - номер элемента разрешения, j - комплексная единица, определяют М дискретных значений автокорреляционной функции анализируемого сигнала ρ_xx(τ_i), i=1, 2, …, М при временных сдвигах τ_i, удобных для определения этих дискретных значений, составляют векторно-матричное уравнение измерений $$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=W^T\stackrel{\rightharpoonup }{f}+\overrightarrow{n}$$ , где $$\overrightarrow{r}={\left[{\rho }_{xx}({\tau }_1){\rho }_{xx}({\tau }_2)\dots {\rho }_{xx}({\tau }_M)\right]}^T$$ - вектор дискретных значений автокорреляционной функции, индекс Т обозначает транспонирование, $$W=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1({\tau }_1)& w_1({\tau }_2)& \dots & w_1({\tau }_M)\\ w_2({\tau }_1)& w_2({\tau }_2)& \dots & w_2({\tau }_M)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ w_K({\tau }_1)& w_K({\tau }_2)& \dots & w_K({\tau }_M)\end{array}\right]$$ - весовая матрица, К - число элементов разрешения в диапазоне контролируемых частот, $$\overrightarrow{f}={\left[{\varphi }_1{\varphi }_2\dots {\varphi }_K\right]}^T$$ - спектральный вектор, φ_i - значение спектральной плотности мощности на i-м элементе разрешения, $$\stackrel{\rightharpoonup }{n}$$ - вектор ошибок определения дискретных значений автокорреляционной функции, по уравнению измерений находят оценку спектрального вектора, компоненты которой представляют собой оценки дискретизированных по элементам разрешения составляющих спектральной плотности мощности анализируемого сигнала.