Прибор для демонстрации движения центра инерции системы материальных точек

Изобретение относится к лекционным демонстрационным приборам для изучения физики раздела механики. Основой прибора для демонстрации теоремы о движении центра инерции системы материальных точек (тел) служит двуосная тележка. На основной тележке располагаются две (или одна) другие тележки, взаимодействующие с основной через растянутые пружины. Если тележки после их относительного смещения не удерживать, то все тележки будут совершать колебательные движения около неподвижного центра инерции системы. Если тележкам после их относительного смещения одновременно сообщить скорость, то при колебательном движении двух или трех тележек центр инерции системы будет прямолинейно и равномерно перемещаться вдоль поверхности демонстрационного стола. Технический результат заключается в обеспечении углубленного понимания и наглядности. 8 ил.

 

Изобретение относится к лекционным демонстрационным приборам, обеспечивающим углубленное понимание и наглядность при изучении раздела механики в курсе общей физики университетов. Центр инерции С системы материальных точек (тел) m₁, m₂, …, m_N определяется соотношением:

Здесь r_i - радиус-вектор, определяющий положение частицы m_i, m - масса системы. В системе координат Декарта проекция r_C на координатную ось ОХ равна:

Теорема о движении центра инерции системы материальных точек - прямое следствие закона сохранения импульса р, который является фундаментальным законом природы: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Из (1) и (3), учитывая, что V_i=dr_i/dt, следует:

Из (4) формулируется теорема: VC=const. Центр инерции замкнутой системы материальных точек (тел) или покоится (V_C=0) или движется прямолинейно и равномерно.

Прибор для демонстрации этой теоремы состоит из двух или трех двуосных тележек (фиг. 1). Основная тележка 2 массой m₁, длиной 0,6-0,8 м устанавливается на поверхности демонстрационного стола 1. На тележке m₁ распологается тележка 3 массой m₂, прикрепленная через две растянутые пружины к концевым опорам тележки m₁. Пружины с коэффициентом упругости к растянуты по длине в 2-3 раза и их деформация равна х₀. Важным условием успешной демонстрации прибора является уменьшение силы трения в осях вращения. Например, возможно использование шарикоподшипников, закрепленных на корпусе тележек. Чтобы кинетическая энергия вращения колес тележек была значительно меньше энергии их поступательного движения, колеса тележек желательно изготавливать из пластмассы.

При относительном смещении тележек на обе тележки действуют в противоположных направлениях одинаковые результирующие силы. При проведении демонстрации пружины всегда должны находиться в растянутом состоянии, что возможно только при Δх<х₀. Если правая пружина растянута на Δх, то сила ее действия на тележки равна F_пр=к(х₀+Δх), а сила действия левой менее растянутой пружины F_л=к(х₀-Δх). На обе тележки действует результирующая сила:

F_рез=F_пр-F_л=к(х₀+Δх)-к(х₀-Δх)=2кΔх=к_резΔx.

Получаем, что

Определим потенциальную энергию пружин системы. Энергия пружин при начальной их деформации х₀ равна W₀₁=W₀₂=W₀=кх₀²/2.

Изменение энергии правой пружины: ΔW_пр=к(x₀+Δx)²/2-кх₀²/2.

Изменение энергии левой пружины: ΔW_л=к(х₀-Δх)²/2-кх₀²/2.

Для изменения механической энергии системы ΔW=ΔW_пр+ΔW_л, выполняя алгебраические преобразования, получаем:

или ΔW=2кΔх²/2=к_резΔх²/2, т.е. имеем такое же к_рез=2к, как и в формуле (5). Формулу (6) можно получить и через работу сил, растягивающих пружины.

При проведении демонстрации силы тяжести, действующие на тележки, перпендикулярны поверхности стола и оси ОХ, поэтому относительно оси ОХ систему тележек (тел) можно считать условно замкнутой.

1А. Рассмотрим вариант, когда массы тележек одинаковы m₁=m₂=m. Из формулы (2) следует: центры инерции тележек будут находиться на одинаковом расстоянии от центра инерции системы x_C (фиг. 2). Если не удерживать тележки при растяжении правой пружины на Δх, то они будут совершать гармонические колебания около неподвижного центра инерции x_C. В соответствии с законом сохранения импульса p=Σm_iV_i=m₁V₁+m₂V₂=0, откуда V₁=-V₂. Скорости тележек равны и противоположно направлены, что и наблюдается при этой демонстрации и соответствует закону сохранения импульса для двух тел одинаковой массы. Амплитуды колебаний обеих тележек равны: A₁=A₂=A=Δx/2.

По закону сохранения механической энергии: (V_1m=V_2m=V_m)

ΔW=кΔx²=mV_m²/2+mV_m²/2=mV_m²; кΔx²=mV_m².

Максимальная скорость тележек равна:

Максимальная скорость связана с амплитудой А и частотой колебаний ω известным соотношением: V_m=A⋅ω.

Преобразуя формулу (7) в виде имеем для частоты колебаний и периода

Демонстрация наблюдается наиболее успешно при относительно небольших частотах колебаний, что достигается увеличением m и уменьшением к.

Графики координат и скоростей тележек показам на фиг. 3а и фиг. 3б.

1Б. Если при растянутой правой пружине обеим тележкам одновременно сообщить незначительную скорость V_* вдоль оси ОХ, то, совершая колебания, тележки медленно движутся вдоль оси ОХ. В момент максимальной деформации пружин их скорости равны скорости движения центра инерции V_C=V_*. При демонстрации эти моменты можно отмечать фишками на демонстрационном столе. Этот вариант движения системы тележек (тел) показан на фиг. 3в.

1В. Если обеим тележкам одновременно сообщить скорость, равную максимальной их скорости V=V_C=V_m, то при демонстрации будет наблюдаться интересный эффект, показанный на фиг. 3г. В интервалах времени Δt₁ тележка m₁ движется с очень малой скоростью, а тележка m₂ с наибольшей скоростью V₂=2V_C. И наоборот, в интервалах времени Δt₂ тележка движется с очень малой скоростью, а тележка m₁ с наибольшей скоростью V₁=2V_C. Тележки как бы передают скорость наибольшего движения друг другу.

2А. Рассмотрим вариант с разными массами тележек. Пусть m₁=2m₂ (фиг. 4). Совместим начало координат с центром инерции х_С=0. Тогда , и используя соотношение (2) для центра инерции, имеем x₁=Δx/3, x₂=2Δх/3. Если не удерживать тележки при растяжении Δх, то они будут совершать гармонические колебания в противоположных направлениях около неподвижного центра инерции x_C. Их амплитуды будут равны: A₁=Δx/3 и А₂=2Δх/3. В соответствии с законом сохранения импульса: р=Σm_iV_i=m₁V₁+m₂V₂=0, откуда m₁V₁=-m₂V₂ и при m₁=2m₂ получим 2V₁=-V₂. Максимальные скорости тележек V_1m и V_2m можно определить, используя закон сохранения энергии:

ΔW=кΔx²=m₁V_1m²/2+m₂V_2m²/2. Учитывая, что m₁=2m₂ и 2V₁=V₂,

получаем: и

Частота колебаний тележек

Колебания тележек около общего неподвижного центра инерции х_С с разными амплитудами и разными скоростями показаны на графиках фиг. 5а и фиг. 5б, что и наблюдается при демонстрации.

2Б. Если обеим тележкам одновременно при деформированной на Δх правой пружине сообщить скорость, равную V_2m, то при демонстрации будет наблюдаться эффект, похожий на вариант 1В. В интервалах времени Δt (фиг. 5в) тележка m₁ движется с очень малой скоростью, а тележка m₂ с наибольшей скоростью V₂≈V_1m+V_2m.

Возможны различные варианты интересных демонстраций, если на основной тележке массой m₁ расположить на растянутых пружинах две тележки с массами m₂ и m₃ (фиг. 6).

3А. Растянем пружины тележек 2 и 3 (при m₂=m₃) на одинаковые расстояния Δх в противоположных направлениях: Δх₂=-Δх₃. Если не удерживать тележки в этом положении, то они будут совершать гармонические колебания с амплитудами А₂=А₃=Δх=Δх₂=Δх₃ около общего центра инерции х_С. При этом незакрепленная тележка 1 будет практически неподвижна: x₁≈x_C=const и V₁≈0.

3Б. Если растяжения пружин 2 и 3 различны , то на тележку 1 действуют со стороны пружин разные результирующие силы F_2peз=к_рез⋅Δx₂ и F_3pез=-к_рез⋅Δх₃. При этом варианте все три тележки, не удерживаемые внешними силами, будут совершать колебательные движения около общего центра инерции x_C, но вся система перемещаться не будет: V_C=0=const!

3В. Рассмотрим вариант, при котором (после одинаковых и противоположных растяжений пружин тележек 2 и 3 Δх₂=-Δх₃) всем тележкам одновременно сообщается одинаковая скорость V_* вдоль оси ОХ. Тележки 2 и 3 будут совершать колебательные движения около центра инерции х_С, а сам центр инерции и тележка 1 будут двигаться равномерно вдоль оси ОХ со скоростью V₁=V_*=V_C=const. Вариант 3В, как и варианты 3А и 3Б, наглядно демонстрирует теорему о движении центра инерции замкнутой системы материальных точек (тел).

3Г. Возможны и другие варианты использования системы трех тележек. Например, при соотношении масс тележек 2m₁=m₂=m₃ можно демонстрировать варианты 1А и 1В.

Дополнительные методические возможности использования прибора:

1. Колебания под действием упругой силы. Обычно для этой демонстрации используют пружинный маятник - тело, подвешенное на пружине. Возвращающая сила пружинного маятника равна сумме силы упругости и силы тяготения F_воз=F_рез=F_упр+F_тяг=кх+mg. При закрепленной неподвижно тележке 1 тележка 2 после деформации пружин на Δх будет совершать гармонические колебания под действием только лишь упругой возвращающий силы F_воз=F_рез=-2кΔх=-к_резΔх. Частота колебаний , период . Изменяя массу тележки m₂, можно также показать зависимость периода колебаний от массы тела. При этой демонстрации желательно использовать экран с изображением оси ОХ (см. фиг. 7).

2. Механический резонанс. Если под действием внешней периодической силы тележка 1 совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ, то тележка 2 будет совершать вынужденные колебания под действием упругих сил пружин. При частоте вынужденных колебаний тележки 1, близкой к частоте свободных незатухающих колебаний тележки 2 , установившаяся амплитуда колебаний тележки 2 А₂ будет значительно больше A₁. Если A₁=2-3 мм, то амплитуда колебаний тележки 2 может составить A₂≈100-150 мм. Для этой демонстрации желательно использовать тележку 2 небольшой массы m₂.

Основной чертеж предлагаемого прибора показан на фиг. 8.

Прибор для демонстрации теоремы о движении центра инерции системы материальных точек (тел), состоящий из основной тележки, на которой расположены одна или две тележки, взаимодействующие с основной тележкой через растянутые пружины, что позволяет демонстрировать колебательные движения двух или трех тележек как при неподвижном центре инерции системы тел, так и при равномерном и прямолинейном движении центра инерции.