Аналоговое устройство для реше-ния дифференциальных уравнений

 

бам>котю.;в 1V1 с 4

Союз Советских

Социалистических

Республик

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИ ИТВЛЬСТВУ (61) Дополнительное к авт. свид-ву (22) Заявлено 200379 (21) 2740069/18-24

1111798895 (я)м. к„.

G G 7/44 с присоединением заявки Но (23) Приоритет

Государственный комитет

СССР по делам изобретений и открытий

Опубликовано 23,01.81. Бюллетень No 3 (53) УДК 881.333 (088.8) Дата опубликования описания 230181

Ю.И. Дзибалов, A.È. Копотилов, М. Г. Литвиненко, A.Т. Лукьянов, A.Т. -Любушкин и В.И. Щербак (72) Авторы изобретения (71) Заявитель

Казахский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. С.М. Кирова (54) АНАЛОГОВОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

10 l>x > + д и vol

8< B x+ (1) 15

Un к+1 ()п,к где U

Un. x,k ht

Дх с>.

Изобретение относится к аналого-. вой вычислительной технике и может применяться для решения уравнений математической физики.

Известны устройства для решения дифференциальных уравнений математической физики, использующие конечно-разностную аппроксимацию исходных уравнений, в частности по схеме.

Например, одномерное уравнение теплопроводности при 0 «с х с 6 и с 0 решается как система конечно-разностных уравнений, в которых неизвестное U,k+4 выражается через 0, k, Un>k, Un+i.,< 20 с>с dt

„<(>>ë 1 i " < a — 2>>n )>(2) температура; 25 соответствует Unk — шаг по координате, коэффициент теплопроводности шаг по времени; 30 номер шага по координате; номер шага по времени, 0,1 ... М, О,N - граничные точки.

Исходя из законов Кирхгофа и Ома выбирается решающий элемент, моделирующий уравнение (2). Значения вход- ных и выходных потенциалов Vn< К

V, Vn+ 1, и V 1,+4 решающего элемента, пропорционаЛьны величинам температур U„< 1,, 01 1, 0„+ 1 и 0,„1с 1 в соответствующих точках исследуемой области. Последовательно подавая на входы решающего элемента потенциалы " и-1о %о и Чп+ о, соответсти о н>о

> вующие зйачениям начального распределения температуры в трех соседних точках, получают. значения потенциалов V, эквивалентные распределеn<1 нию температуры на временном шаге

1 с . Используя вновь полученное распределение U„,, как начальное, получают последующее распределение температуры на временном шаге 2ьс, и эти операции повторяют необходимое число раз. Конечно-разностная аппроксимация. уравнения (1) по явной схеме (2) позволяет. использовать простой решающий элемент, но решение

798895 исходной задачи требует значительных затрат:, времени.

В схеме статического, электроинтег ратора (1) для повышения скорости счета вводятся блоки регулируемого запаздывания (БРЗ), число которых равно числу шагов пространственного, разбиения исследуемой области.

На вход первого БРЗ подаются потенциалы, моделирующие постоянные во времени граничные условия и начальные значения температуры. С вводом нового значения происходит сдвиг всей информации по цепи БРЗ до ее заполнения. Выходы конечных БРЗ под ключены к решающему элементу. На выходе решающего элемента получается потенциал, соответствующий, температуре в следующий момент времени 1 дс в первом узле, который вновь подается на вход цепи БРЗ. Таким образом, после ввода граничных условий и начального распределения в цепь БРЗ автоматически последовательно заносятся потенциалы, соответствующие распределению температуры на следующем временном шаге. Вновь занесенное. в цепь БРЗ распределение потенциалов используется как начальное для получения решения на следующем шаге по времени 2ht. Цикл повторяется необходимое ;число .раз 1) .

Получение более точного решения дифференциального уравнения требует большего количества шагов разбиения по пространственной координате. Реализация этой воэможности в устройстве требует равного увеличения числа

БРЗ в цепи, т.е. ее удлинения. Цепь из большего числа БРЗ дает на выходе большую нелинейную систематичесКую ошибку, что приводит к обратному результату — снижению точности и.ограничивает воэможности увеличения точности решения, так как умень. шение нелинейной систематической ошибки каждого БРЗ требует. больших аппаратурных затрат и не может реа:лизоваться одним усилителем — корректором, включенным на выходе решающего элемента. Кроме того, для решения используются потенциалы, хра;нящиеся в БРЗ, это требует дополнительно специальных устройств для вво

:да начальных и граничных условий, вывода и контроля решения. Устройство непригодно для решения нелинейных задач или задач типа Стефана.

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому является устройство, включающее потенциометр из плоской электропроводной среды, резистивный решающий элемент и нуль. орган. Решение уравнения (1) на уст ройстве для моделирования дифференциальных уравнений в частных производных осуществляется следующим образом..В соответствии с выбранной конечно-разностной аппроксимацией

S5 бО

4$ уравнения (1) задается вид резистивного решающего элемента. На плоский потенциометр наносится (И+1)-а линия с шагом, соответствующим rr,x, и маркируется от 0 до N. Перпендикулярно этим. линиям на электропроводную среду накладываются шины, соеди. ненные с клеммами источника напряжения. На отмеченные линии графически наносятся точки, т.е. потенциалы, которые соответствуют граничным условиям и начальному распределению температуры. Каждая точка на потенциометре эквивалентна "запоминанию" отмеченного потенциала. Таким абразом,.плоский потенциометр выполняет роль долговременной аналоговой памяти, что позволяет исключить систематические ошибки перезаписи, которые возникали при использовании цепи БРЗ. Из нужных точек кривой начального распределения с потенциометра из плоской электропроводной среды потенциалы подаются на входы резистивного решающего элемента.

Выход решающего .элемента, на котором образуется потенциал, соответствующий очередному решению, соединен через нуль-орган с поисковым щупом.

Перемещая поисковый щуп по соответствующей линии, находят точку с потенциалом Н,< которая "запоминается" графической отметкой. Перемещая прижимные контакты по точкам начальной кривой, получают распределение потенциалов на первом временном шаге. На следующем этапе вновь полученное распределение используется в качестве исходного и отыскивается распределение на втором временном шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не находится решение уравнения для всех заданных моментов времени. Эти решения по окончанию счета представлены в виде графиков, построенных по отметкам на электропроводной среде.

Установка прижимных контактов в соответствующие точки.осуществляется оператором со случайной ошибкой, которая имеет тенденцию взаимно уничтожаться, в отличие от систематической ошибки в известном устройстве (2)

Однако последовательность проведения счета требует для нахождения каждого последующего потенциала делать перестановки прижимных контактов..Так как количество шагов по вре менному аргументу. достигает сотен, а по пространственному аргументу десятков, то эта операция занимает много времени и делает продолжительным процесс счета. К систематической погрешности приводит шунтирующее действие потенциометра по оТНо шению к резисторам решающего элемента, так как они непосредственно подключены к точкам плоской злектропроводной среды.

798895

Цель изобретения — увеличение бы родействия и повышения точности решения.

Поставленная цель достигается тем, что в устройство для решения дифференциальных уравнений, содержащее потенциометр, выполненный в виде электропроводной среды, решающий элемент, выход которого соединен с входом нуль-органа, и поисковы щуп, вводится цепочка из последовательно соединенных блоков регулируемого запаздывания, число которых рав но числу известных членов в выбранной конечно-разностной аппроксимации уравнения, ключ и развязывающий усилитель, причем вход развязыва щего усилителя подключен к замыкающему контакту ключа, выход развязывающего усилителя подключен к входу первого блока регулируемого запаздывания цепочки, выходы всех блоков .регулируемого запаздывания цепочки соединены с входом решающего элемента, выход нуль-органа подключен к размыкающему контакту ключа, подвижный контакт которого соединен с поисковым щупом.

Число блоков регулируемого запаздывания цепочки меньше количества разбиений по пространственной коорди нате и не зависит от него. Тем самым не ограничивается точность решения.

Например, из уравнения (2) видно, что число ячеек памяти равно трем для запоминания значений U

U„ и 0 „

Из вида конечно-разностной аппроксимации следует, что часть .известных членов для нахождения решения в соседних точках разбиения совпадает. Воэможность сохранения в цепочке блоков регулируемого запаздывания потенциалов, записанных ранее и необходимых для очередного решения, позволяет вводить минимальное количество новых потенциалов. Напряжения из соответствующих точек электропроводной среды подаются на входы решающего элемента с выходов блоков регулируемого запаздывания, чем обеспечивается гальваническая развязка плоского потенциометра и решающего элемента.

Цепочка блоков регулируемого запаздывания позволяет использовать многовходовой решающий элемент, требующий многократного перемещения и установки прижимных контактов, как одновходовой, и применить поисковый щуп для поиска решения и для записи потенциалов в цепочку блоков регулируемого запаздывания. При проведении решения на входы решающего. элемента задаются потенциалы из блоков регулируемого запаздывания. В режиме ввода осуществляется последовательная перезапись потенциалов по цепочке блоков регулируемого запаздыст- вания (в первый блок записывается новый потенциал, старый потенциал переписывается во второй н т.д., а потенциал, который хранится в последнем, стирается.

В Результате, после ввода на выходе решающего элемента появляется напряжение, соответствующее очередному решению, которое отыскивается и с помощью нуль-органа и поискового щупа. Найденная точка на плоской

10 электропроводной среде отмечается графической отметкой.

Сочетание плоской электропроводной среды, как долговременной памяти, и цепочки блоков регулируемого запазю- цывания, выполняющей роль оперативl ной памяти, позволяет избавиться от накопления систематической ошибки, увеличить точность решения и скорость

1 роцесса.счета.

Щ На чертеже приведена принципиальная схема устройства.

Устройство включает цепочку блоков 1 регулируемого запаздывания..

Все блоки регулируемого запаздывания однотипны и состоят из потенциометрических конденсаторов С,, ..., С,,, ключей к„,, к и операционных усилителей (ОУ).

Выходы блоков регулируемого запаздывания подключены ко входам решающего элемента 2. Выход решающего элемента 2 подключен ко входу нульоргана 3, выход которого подключен к поисковому щупу 4 через размыкающие контакты ключа 5. Развязывающий усилитель 6 служит для гальванической развязки цепочки блоков регулируемого запаздывания и электропроводной среды 7.

Для решения дифференциального урав40 нения на потенциометр из плоской электропроводной среды 7 наносятся граничные условия и начальное распределение. Затем в блоки 1 вводятся потенциалы начального распределения, 45 соответствующие известным членам в выбранной конечно-разностной аппроксимации. Причем вначале вводятся потенциалы с координатой л-1, затем с координатой л и в конце с коордиО натой л+1. Для ввода поисковый щуп

4 устанавливается в точку начального распределения, которой отмечен необходимый потенциал и замыкаются контакты ключа 5. При этом поисковый щуп 4 отключается от нуль-органа 3 и .подключается. к развязывающему усилителю б. Затем замыкаются контакты ключа 5. Выход ОУ, соединенного с емкостью С „, отключается от решающего элемента 2 и подключается к

49 емкости C . На емкость Сп, записывается потенциал емкости C . По окончанию записи контакт ключа к,„ возвращается в первоначальное состояние. Далее замыкается ключ к „и

g5 через его контакты и Оу потенциал

798895

1Î

20

50 с емкости С„, записывается на емкость С < и т.д. до замыкания:-контактов ключа К, . При этом на емкость С через развязывающий усилитель б и контакты ключа 5 записывается потенциал точки, в которую установлен поисковый щуп 4, после чего ключи К и 5 возвращаются в исходное состояние. Остальные необходимые потенциалы. записываются аналогично.

По окончании ввода потенциалы сохраняются в емкостях С, ..., С„, и подаются на соответствующие входы решающего элемента 2. Из условий моделирования на выходе решающего элемента 2 получается искомый потенциал.

С помощью нуль-органа 3 поисковым щупом.4 на потенциометре из плоской электропроводной среды б на линии с коордийатной и находится и отмечает1 ся эквипотенциальная точка. Потенциал в этой точке соответствует температуре Uä . Для нахождения следую1 щей точки, соответствующей температуре 0,, необходимо в цепочку и+, блоков 1 регулируемого запаздывания записать известные потенциалы только

tc координатой n+2, так как после записи этих потенциалов, потенциалы с координатами и и и+1 сохраняются, сдвигаясь по цепочке, и подаются на соответствующие входы решающего элемента 2. На входе решающего элемента 2 получается потенциал, соответствующий температуре 0„+,1. На электропроводной среде отмечается соответствующая точка. Таким образом находятся все внутренние точки. Для нахождения граничных. точек перестраивается решающий элемент в соответствии с условием моделирования rpa ничных условий, а в -цепочку блоков регулируемого запаздывания записываются необходимые потенциалы. Отмеченные точки соединяют отрезками прямых и получают кривую распределения температуры на первом временном шаге 1 h t. Используя это распределение, как начальное, находится распре деление на,временном шаге 2 Е . Таким образом находится распределение температуры для заданных моментов времени.

Решение нелинейных уравнений реализуется теми же элементами, перестраивается только решающий элемент.

Применение цепочки блоков регулируемого запаздывания в сочетании с электропроводной средой позволяет получить ряд преимуществ. Увеличивается скорость счета, так как в цепочке сохраняется часть информации, необходимой для следующего решения и устраняются перестановки прижимных контактов.

Данное устройство при минимальной регулярной ошибке и независимости числа блоков регулируемого запаздывания от числа разбиений по пространственной координате, позволяет повысить точность вычислений. Кроме того, данное устройство не нуждается в дополнительной аппаратуре для корректировки смещения нуля операционных усилителей. Эту. функцию выполняет нуль-орган.

Ввод и выход информаций осуществляется в виде графиков без промежуточных операций.

Формула изобретения

Аналоговое устройство для решения дифференциальных уравнений, содержащее потенциометр, выполненный -в виде электропроводной среды, решающий элемент, выход которого соединен с входом нуль-органа, и поисковый щуп, о т л и ч а ю щ е е с я тем, что, с целью повышения точности и быстродействия, оно содержит цепочку из последовательно соединенных блоков регулируемого запаздывания, число которых равно числу известных членов в выбранной конечно-разностйой аппроксимации уравнения, ключ и развязывающий усилитель, причем вход развязывающего усилителя подключен к замыкающему контакту ключа, выход развязывающего усилителя подключен к входу первого блока. регулируемого запаздывания цепочки, выходы всех блоков регулируемого запаздывания цепочки соединены с входом решающего элемента, выход нуль-органа подключен к замыкающему контакту ключа, подвижный контакт которого соединен с поисковым щупом.

Источники информации, принятые во внимание при экспертизе

1. Авторское свидетельство СССР

9 154733, кл. 6 О6 6 7/18„ 1962.

2. Авторское свидетельство СССР

9 363992, кл. G 06 G 7/44, 1971 (прототип).

798895

Составитель Л. Терехов

Техред М.Голинка Корректор В. Синицкая

Редактор В. Еремеева

Филиал ППП "Патент", г. Ужгород, ул. Проектная, 4

Заказ 10060/70 Тираж 75 б Вод: ис н ое

ВНИИПИ ГосУдарственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5