Устройство для решения краевых задач

 

Изобретение относится к вычислительной технике, преимущественно может быть использовано для построения аналоговых и гибридных вычислительных машин, предназначенных для решения краевых задач, описываемых уравнением в частных производных параболического типа. Цель изобретения - повышение быстродействия и упрощение устройства. Для достижения этой цели устройство содержит сумматор, три делителя напряжения,три переключателя и нуль-орган, в результате чего значения искомой функции на точках сканирующей плоскости находятся за одну итерацию путем вычисления величины старших производных в уравнениях параболического типа в частных производных, что позволило исключить внутренние итерации на точках сканирующей плоскости, обеспечить непрерывность интегрироваия на сканирующей плоскости.4 ил. fe

СОЮЗ СОВЕТСКИХ

СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ

РЕСПУБЛИК (я)э G 06 G 7/48

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ

ПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И ОТКРЫТИЯМ

ПРИ ГКНТ СССР

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ (21) 4647969/24 (22) 07.02.89 (46) 30.01.91. Бюл. йв 4 (71) Математический институт с вычислительным центром AH ТаджССР (72) Н.P. Рабеджанов и М.Х. Гафуров (53) 681.333(088.8) (56) Козлов Э.С. Автоматизация процессов решения краевых задач. M.: Энергия, 1974, с. 15 — 18.

Авторское свидетельство СССР

I4 1106303, кл. G 06 G 7/48, 1983. (54) УСТРОЙСТВ9 ДЛЯ РЕШЕНИЯ KPAEBbIX ЗАДАЧ (57) Изобретение относится к вычислительной технике, преимущественно может быть использовано для построения аналоговых и

Изобретение относится к вычислительной технике и преимущественно может быть использовано для построения аналоговых и гибридных вычислительных машин и цифровых дифференциальных анализаторов, предназначенных для решения краевых задач описываемых уравнением в частных производных, Целью изобретения является повышение быстродействия и упрощение устройства.

На фиг.1 приведена блок-схема устройства для решения краевых задач; на фиг.2— блок синхронизации; на фиг.3 — блок вариаций; на фиг.4 — область интегрирования и поверхность решения.

Устройство содержит первый интегратор 1, второй интегратор 2, первый делитель

3 напряжения, второй делитель 4 напряже„, Ы,, 1624489 А1 гибридных вычислительных машин, предназначенных для решения краевых задач, описываемых уразнением в частных производных параболического типа. Цель изобретения — повышение быстродейс-,вия и упрощение устройства. Для достижения этой цели устройство содержит сумматор, три делителя напряжения,три переключателя и нуль-орган, в результате чего значения искомой функции на точках сканирующей плоскости находятся эа одну итерацию путем вычисления величины старших производных в уравнениях параболического типа в частных производных, что позволило исключить внутренние итерации на точках сканирующей плоскости, обеспечить непрерывность интегрироваия на сканирующей плоскости. 4 ил. ния, третий делитель 5 напряжения, четвертый делитель 6, второй блок 7 памяти, первый блок 8 памяти, сумматор 9, блок 10 сравнения, блок 11 задания кодовых вариаций, блок 12 синхронизации, первый блок 13 задания краевых условий, второй 14 задания краевых условий, третий переключатель

15, первый переключатель 16, второй переключатель 17 и нуль-орган 18.

Блок 12 синхронизации (фиг.2) вырабатывает сигналы управления, синхронизирующие работу отдельных блоков устройства, осуществляет "Пуск" и "Останов" устройства, состоит иэ кнопочных переключателей

19 и 20, генератора 21 тактовых импульсов, одновибраторо.-, 22, 23 и 24, счетчиков 25 и

26, дешифратора 27, переключателей 28—

30, источника 31 постоянного напряжения, входа 32, выходов 33 — 38.

1624489

Блок 11 задония кодовых вариаций (фиг.3) состоит из интегратора 39 и переключателя 40., Работа устройства для решения краевых задач уравнений в частных производных параболического типа применительно к решению следующей краевой задачи уравнения теплопроводности: — -а — =o

su гни (1)

Bt с начальным условием U (х,О)=Д и граничными условиями U (О, т)= О, U (I,t)= 1 при

0 <х

Задание краевых условий U (1л)=1 производится блоком 14 задания краевь:х условий через переключатель 17, как начальное условие интегратора 2;

U (О т)= О -блоком 13 зацания краевых условий; начальное условие U (х,O)=0 задается блоком 8 памяти; недостающее краевое условие U (x ) = - задается бло аu (,с1 дх ком 11 через переключатель 16, как начальное условие интегратора 1; блок 10 сравнения производит сравнение искомого решения на границе 0 т с заданным краевым условием U (О 1)= О и через переключатель 15 вырабатывает сигналы управления работой блоком 11 задания кодовых вариаций и через нуль-орган 18 — сигнал управления блоком 12 синхронизации; блок

12 синхронизации вырабатывает сигналы управления, синхронизирующие работу устройства; блок 11 задания кодовых вариаций изменяет выходное напряжение в зависимости от полярности управля.ощего на выходе перключателя 15; сумматор 9 вычисляет значение старшей г1роизг одной аг =; делитель 3 напряжения

2 Фо àu дт задает величину коэффициента уравнения

2, переключатели 16, 17 подают началь0 ные условия интегратора 1, 2 в начале процесса интегрирования на границе 1,1.

Область интегрирования рассматриваемой краевой задачи и поверхность решения представлена на фиг,4. Решение ищут последовательно на сканирующих плоскостях

СП1, СПг,...., СП . Нэ нулевой сканирующей плоскости СПо решение задано в виде начального условия U (x,o)=0, Рассмотрим процесс получения решения на первой сканирующей плоскости СП1 последовательно на точках с координатами

Х1, t1, Х2, t1.. „Хсс Ц.

Исходя из уравнения (1) для значений компонент искомой функции. для первой точки первой сканирующей плоскости СП1 (фиг.4) компоненты равны:

Л1

U (t)11 =U (t)1о+ f u1 (t)1odt; о

u(x)11= u (x)O1 +

Лх Лх Лх

+ f U1(x)o1dx+ / dx f U11(x)o1dx, 10 о о где Л t и Л х — интервалы интегрирования по независимым переменным t и х.

Обозначим через

15 1

А = U (t )1о = агu1 (х )o1 и, считая А постоянным г: интервале интегрирования, имеем, 0 (t )11 = u (t ) ю + А1оЛ t;

20 u(x)11=U(x)01+u (х)о1Лх +

1 Дх2

+ Ao1 —. а2 2

Из условия равенства компонентов искомой функции на поверхности области интегрирования u(t)11 = U(x)11,будем иметь

И (1)1о+ АЛ = LJ(x Ъ1 +

+U (х)о1ЛХ+ ", А

30 Решая относительно А, имеем — LI (с )ссс+ U (к с + Ll x 1Aх

At

1 ДХ2 а2

35 Когда значения шага интегрирования

Лх и Л1 по независимым переменным произвольны, уравнение (2) имеет вид

А --В1 U(t)1o+ B2U(x)01+ B3U (x)o1, (3)

1 где В1 = Вг = —-40 h,x

Лt — —202 (2) Лх

Вз =—

Лхг

Л1 — — — аг

Для произвольнои точки области интегрирования уравнение (3) имеет следующий вид;

Ац = B1U (1) O — 1)+Вгик (х)(ь1>(+

+ В3 U (õ)(; — 1)(.

50

Кэк видно из уравнения (4), нет необходимости в интегрировании по независимой переменной t, так как оно получено иэ усло55 вия равенства U(x)iI = U(t)lI. Кроме того, для получения значения искомой функции на последующих точках области интегрирования интегрированием вычисленного значения старшей производной необходимо иметь зиачени:= функции на точках предыду1624489 щей сканирующей плоскости, которые в уравнении (4) соответствуют значениям

U(t) O — t) и значениям функции 0(х) а — )1 и ее производной U (х) (i — ц1 íà (i — 1)-й точке J-й сканирующей плоскости. Так как для точек нулевой сканирующей плоскости J - 0 значения функции иэ краевых условий задачи

U(x,0)- О, которые в формуле (4) соответствуют значениям U(t)i O — >), также заодно значение функции на нулевой первой сканирующей плоскости J - 1 из краевых условий задачи

U(l, t)-1, которое соответствует значению

0(х) (— 1)1 в формуле (4) U(x)oi то вычислительный процесс можно начинать с первой точки первой сканирующей плоскости

U(x)t t- U(t) t t, значение которой можно найти последовательным интегрированием значений старшей производной

А aU „»Фо

"= а1 = ах

= В1U (t)to В20 (х )о1 ВзО (х)oi на интеграторах 1, 2, задавая произвольно значение производной U (x)o, величину которой можно корректировать по результату вычисления на последней точке первой сканирующей плоскости и сравнения ее с граничным условием О(0 т)=0.

Устройство работает следующим образом.

При нажатии кнопочногопереключателя

20 управляющий сигнал с выхода 33 блока

12 синхронизации поступает на первые управляющие входы переключателей 16 и 17 и производит установку начальных условий на интеграторах 1, 2; этот же сигнал поступает на первый управляющий вход блока 8 памяти и производит установку в нуль первую группу ячеек памяти, так как U(x,О). При нажатии кнопочного переключателя 19 первый управляющий сигнал с выхода 34 блока

12 синхронизации в виде импульса малой скважности второго одновибратора 23 поступает на управляющие. входы блока 7 памяти, на второй управляемый вход блока 8 памяти. Образуется алгебраическая сумма по формуле (4), которая сохраняе1ся на выходе бло".а 7 памяти. В кснце действия управляющего сигнала с выхода 34 блока 12 синхронизации срабатывает третий одновибратор 24, который зацает шаг интегрирования Ьх и на выходе.устройств, которым является выход интегратора 2, no>,ó÷àåì значение искомой функции нэ первой точке первой сканирующей споскости СП1 х1 t1, В результате действия второго управляющего сигнала выходов 34, 35 блока 12 синхронизации получим значение исус: ой функции на второй точке первой сканер,ющей пло5

55 скости СП хг t> и, продолжая, идем до (и — 1)-й точки первой сканирующей плоскости СП1 Xf — 1 ti. Обеспечивается непрерывность получения значения искомой функции на выходе устройства. Управляющий сигнал с выхода 36 блока 12 синхронизации в виде кода независимой х поступает на третий управляющий вход блока 8 памяти и обеспечивает выдачу соответствующего значения начальных условий на сумматоре

9 и запись значения искомой функции с выхода интегратора 2 и одну иэ ячеек вторых п ячеек блока 8 памяти.

После получения значения искомой функции на (и-1)-й точке сканирующей плоскости СП1 по очередному управляющему сигналу с выходов 34, 35 блока 12 синхронизации производится интегрирование на интеграторах 1, 2. В конце интервала интегрирования будем иметь значение искомой функции на и-й точке первойсканирующей плоскости с координатой Xn t>, соответствующей граничной точке.

С выхода 37 блока 12 синхронизации управляющий сигнал поступает на управляемый вход переключателя 15 и производит подключения сигнала сравнения выходного напряжения на инте раторе 2 с краевым условием в блоке 13 задания краевых условий

U(0л)- О.

Если AUi О, где Л О = (U (х )> — U (О, t ) ), управляющий сигнал ALl с выхода блока 10 сравнения через переключатель 15 поступает на управляющий вход переключателя 40 блока 11 задан я кодовых вариаций и вызывает изменение на его выходе в соответсвии со знаком управляющего сигнала, что приводит к изменению краевого условия О (x)o>, выбранного произвольно. Управляющий сигнал с выхода 37 блока синхронизации поступает на вторые входы переключателей

16 и 17, выходное напряжение блока 11 задания кодовых вариаций и блока 14 задания краевых условий через переключатели 16 и

17 заносятся на вход начальных условий интеграторов 1, 2. Очередные упрзвляющие сигналы с выходов 34, 35 блока 12 синхронизации вызывают повторение процесса решения на первой сканирующей плоскости

СП до достижения равенства напряжения на выходе интегратора 2 краевому условию

U (Xut), задаваемого bnoxoM 13 на п-й точке сканирующей плоскости СПi, с координатой

Xu tt. При достижении равенства управляющий сигнал с выхода 37 блока 12 синхронизации вызывает выработку сигнала h U = О на выходе блока 10 сравнения, который через переключатель 15 и нуль-орган 18 поступает на вход 32 блока

1624489

12 синхронизации и, в свою очередь, вызывает выработку сигнала с выхода 38. который поступает на четвертый управляемый вход блока 8 памяти и вызывает перезапись с вторых п ячеек соответствующих значений напряжения на сканирующей плоскости

СП1 на первые и ячейки, соответствующие значениям напряжения на нулевой сканирующей плоскости СПо, Следующие управляющие сигналы на выходах 34, 35 блока 12 синхронизации вызывают управление процессом решения на второй сканирующей плоскости СП, так как блок 8 памяти последовательно будет выдавать напряжение, соответствующее первой сканирующей плоскости СП, полученное в процессе решения.

По истечении интервала интегрирования Ь (t < k вырабатывается m сигналов

Ь О, = 0 на выходе нуль-органа 18, который на выходе переполнения счетчика,25 в блоке 12 синхронизации вызывает выработку сигнала "Останов" устройства, что приводит к прекращению выработки сигналов управления блоком синхронизации.

Коэффициент управления задачи (1) задается делителем напряжения 3. В случае переменного коэффициента управления этой задачи или его нелинейности в блоксхему решающих элементов вводятся нелинейные блоки, и схема набора осуществляется, как в АВМ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Формула изобретения

Устройство для решения краевых задач, содержащее первый и второй интеграторы, первый и второй блоки памяти, блок синхронизации, блок сравнения, блок задания кодовых вариаций, первый и второй блоки задания краевых условий и первый делитель напряжения, выход которого подключен к информационному входу первого интегратора, выход которого подключен к информационному входу второго интегратора, выход которого подключен к информационному входу первого блока памяти и первому входу блока сравнения, первый выход блока синхронизации подключен к входу сброса

50 первого блока памяти, второй выход блока синхронизации соединен с входами записи соответственно первого и второго блоков памяти, третий выход блока синхронизации подключен к входам установки начальных условиИ соответственно первого и второго интеграторов, четвертый выход блока синхронизации соединен с входом считывания первого блока памяти, пятый выход блока синхронизации подключен к входу перезаписи первого блока памяти, о т л и ч а ющ е е с я тем, что, с целью повышения быстродействия и упрощения устройства, оно содержит сумматор, второй, третий и четвертый делители напряжения, первый, второй и третий переключатели и нуль-орган, выхрд которого подключен к входу перезапуска блока синхронизации, первый выход которого подключен к первым управляющим входам первого и второго переключателей, шестой выход блока синхронизации соединен с вторыми управляющими входами первого и второго переключателей и с управляющим входом третьего переключателя, выход которого подключен к входу нуль-органа и входу опроса блока задания кодовых вариаций, выход которого соединен с информационным входом первого переключателя, выход которого подключен к входу задания начальных условий первого интегратора, выход которого через второй делитель напряжения подключен к первому входу сумматора. выход которого соединен с информационным входом второго блока памяти, выход которого подключен к входу первого делителя напряжения, выход первого блока задания краевых условий подключен к второму входу блока сравнения, выход которого подключен к информационному входу третьего переключателя, выход второго блока задания краевых условий соединен с информационным входом второго переключателя, выход которого соединен с входом задания начальных условий второго интегратора, выход которого через третий делитель напряжения подключен к второму входу сумматора, выход первого блока памяти через четвертый делитель напряжения соединен с третьим входом сумматора.

1Г) 24489 иг.

1624489

+

Фиг.д

Фиг.4

Составитель Н. Королев

Редактор М.Келемеш Техред М.Моргентал Корректор А,Долинич

Заказ 192 Тираж Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета по изобретениям и открытиям при ГКНТ СССР

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., 4/5

Производственно-издательский комбинат "Патент", г. Ужгород, ул. Гагарина, i01