Способ определения приведенного момента инерции механизма
Владельцы патента RU 2460050:
Учреждение Российской академии наук Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН (RU)
Изобретение относится к измерительной технике. Способ заключается в изменении инерционных свойств механизма путем присоединения дополнительного маховика с известным моментом инерции и измерении угловой скорости звена приведения. При этом дополнительно измеряют угол поворота звена приведения и определяют изменение углового ускорения звена приведения, вызванное присоединением пробной массы. Приведенный момент инерции определяют как функцию угла поворота звена приведения из решения численным методом дифференциального уравнения. Технический результат заключается в повышении точности измерения. 2 ил.
Изобретение относится к измерению физических величин и может быть использовано в машиностроении, где применяются механизмы с переменным приведенным моментом инерции звеньев. Это металлорежущие и деревообрабатывающие станки, робототехника, горное и нефтедобывающее оборудование.
Технический результат изобретения - определение приведенного к заданной оси переменного момента инерции механизма как функции угла поворота звена приведения.
Известен способ определения момента инерции механизма, где исходным источником информации является время (Патент №2019797, БИ №17 за 1994 год).
Недостаток способа в том, что он применяется только для механизмов с постоянным моментом инерции.
Наиболее близкий по технической сущности способ определения приведенного момента инерции механизма заключается в изменении инерционных свойств механизма путем присоединения дополнительного маховика с известным моментом инерции и измерении угловой скорости звена приведения (Патент №2025679, БИ №24 за 1994 год).
Недостаток способа в том, что он не позволяет определить приведенный переменный момент инерции механизма как функцию угла поворота звена приведения. Дело в том, что приведенный переменный момент инерции является периодической функцией угла поворота φ звена приведения [1]. Закон сохранения момента количества движения в форме
J(φ)ω1=J(φ)ω2+J2ω2,
может быть применен только при равенстве в выражениях J(φ)ω1 и J(φ)ω2 моментов инерции J(φ) в обоих случаях. Но для этого необходимо контролировать угловую координату φ и только при одном и том же значении φ=φ0 можно говорить о применении закона сохранения количества движения.
Однако в описании способа контроль φ вообще не предполагается. Более того, ω1 и ω2 - это тоже переменные функции угловой координаты φ, например, из-за переменного момента инерции, имеющие в своем составе колебательную компоненту [1]
ω1=ω1(φ), ω2=ω2(φ)
В выражениях J(φ)ω2(φ)и J2ω2(φ) угловые скорости в каждом из этих выражений могут совпасть между собой при некотором φ1 случайно. Но это φ1 должно быть равно еще и φ0, чтобы можно было применять указанный выше закон.
Следовательно, согласование условий измерения необходимо проводить одновременно по скорости ω2(φ) и углу поворота φ звена приведения. Только в этом случае верно равенство для моментов количества движения. Таким образом, предлагаемый способ реализуем, если J(φ) величина постоянная и не зависит от φ. В этом случае угловые скорости не зависят от φ (от влияния переменного момента инерции) и можно говорить о монотонном режиме движения механизма и монотонно убывающем характере изменения скоростей ω1 и ω2, на чем и построен предложенный выше способ.
Заявленный технический результат достигается тем, что дополнительно измеряют в дискретной форме угол φi поворота звена приведения (i=0, 1, 2, …N, i - порядковый номер отверстия на диске фотоэлектрического датчика), а также измеряют изменение углового ускорения Δε(φi) звена приведения, например кривошипа, вызванное присоединением пробного груза, а величину приведенного момента инерции J(φ) определяют как функцию угла поворота звена приведения из решения численным методом дифференциального уравнения
с начальным условием
где угол φ0 выбирается таким, при котором измеренные угловые скорости ω1(φ0) и ω2(φ0) максимально совпадут между собой, т.е.
.
Величина J0 - момент инерции пробного груза, закрепляемого на кривошипе; ω1(φi) и ω2(φi) - измеряемые одновременно с φi угловые скорости.
Для измерения углов, скоростей и ускорений применяется прецизионный фотоэлектрический способ, описанный в работе [2]. Значения угловых скоростей ω1(φi) и ω2(φi), как функций угла φi, получаются данным методом сразу в дискретной форме в виде таблицы соответствия, что удобно для операций численного дифференцирования и интегрирования.
Соотношение между двумя последующими значениями φ1 и φi+1 равно φi+1=φi+Δφ, а 
- угол между двумя соседними отверстиями на диске 2 фотоэлектрического датчика (Фиг.1); N=200-500 - количество отверстий на диске 2, модулирующих световой поток.
Заявленный способ состоит в следующем.
Исследуемый механизм, например металлорежущий строгальный станок, показанный на фиг.1, работает на холостом ходу в установившемся режиме. Угловая скорость ω1 кривошипа 1 - звена приведения, меняется около среднего значения. Колебания скорости имеют установившийся характер.
Дифференциальное уравнение движения механизма, учитывающее зависимость приведенного момента инерции механизма J(φ) от угла поворота кривошипа φ имеет вид [1]
Поскольку ω1=ω1(φ(t)) - сложная функция от t, то 
Окончательно, уравнение принимает вид
Функция J(φ) периодическая по φ (например, с периодом 2π). В течение периода изменения J(φ) измеряется угловая скорость кривошипа ω1=ωi как функция угла φi в виде дискретных значений, которые заносятся в память ЭВМ. Здесь же находятся производные 
известным численным методом [3].
В итоге, измеренные и рассчитанные значения в памяти образуют таблицу соответствия: 
в которой N строк.
Таким образом, в уравнении (3) известны функции 
и 
.
По завершении периода изменения функции J(φ), измерения заканчиваются и механизм останавливается.
К звену приведения, в данном случае - кривошипу, жестко крепится маховик - инертная масса с известным моментом инерции J0 и уравновешенная относительно оси вращения кривошипа. Уравновешивание необходимо для сохранения неизменными гравитационных сил веса звеньев исследуемого механизма, которые также приводятся к оси кривошипа в виде момента М(φi) и которые влияют на неравномерность угловой скорости ω1(φi). Момент М(φi) входит в состав правой части уравнения (3).
Станок включается в работу на холостом ходу в установившемся режиме. Средняя скорость кривошипа максимально должна совпадать со средней скоростью в первом эксперименте, т.е. ω1cp=ω2ср. Этим обеспечивается постоянство характеристики двигателя в окрестности ωср.
Необходимо отметить, что установка маховика изменила только инерционные свойства механизма на постоянную величину J0. Все остальные силовые факторы остались без изменения.
Дифференциальное уравнение для этого механизма имеет вид
Установившиеся колебания скорости ω2(φ) около среднего значения стали меньше по амплитуде и частоте.
В правой части (5) стоит характеристика двигателя, а также приведенный момент сил веса звеньев механизма.
Движение механизма в окрестности скорости ω2сp=ω1cp позволяет рассматривать правую часть в уравнении (5) совпадающей с правой частью уравнения (3). Тогда с учетом равенства: 
, получим
После преобразований получаем дифференциальное уравнение первого порядка
Приводим выражение (7) к стандартному виду, удобному для численного интегрирования
Уравнение (8) решается любым известным численным методом, например, по формуле Эйлера:
где Δφ - шаг численного интегрирования, равный углу между двумя соседними отверстиями на диске фотоэлектрического датчика.
Для решения (8) или (9) необходимо задать начальные условия, т.е. при некотором φ0 необходимо знать начальное значение момента инерции J(φ0). Для определения J(φ0) рассмотрим следующую производную: 
, где ε(φ) - угловое ускорение кривошипа, т.е. 
(см.формулу 2). Величина производной может быть найдена при любом конкретном значении φ0 из следующих значений для приращений Δε и ΔJ:
Но ΔJ - это приращение (увеличение) инерционных свойств механизма на дополнительный известный момент инерции J0, т.е. ΔJ=J0.
Величина Δε - это изменение углового ускорения кривошипа, вызванное изменением инерционных масс, которое определяется как разность угловых ускорений: ε1(φ0) - измеренное ускорение кривошипа до установки маховика,; ε2(φ0) - после установки
Значения ε1(φ) и ε2(φ) выбираются для одного и того же положения кривошипа φ0. Этим обеспечивается совпадение приведенных моментов от сил веса звеньев механизма. Кроме того, φ0 выбирается так, чтобы угловые скорости φ1(φ0) и ω2(φ0) максимально совпадали между собой. В итоге:
С другой стороны, частная производная 
- равна отношению производных: 
Частная производная углового ускорения ε(φ) по φ равна
Функции 
и 
- находятся численным методом и производная 
может быть найдена для любого φ, в том числе для заданного φ0.
Из (13) находим 
Определив 
, одновременно находится из (8) функция F(φ0, J(φ0)
Равенство (16) рассматриваем как уравнение относительно J(φ0), поскольку значения всех остальных функций для φ=φ0 известны 
Это значение J(φ0) совместно с дифференциальным уравнением (8) однозначно определяют функцию изменения приведенного к оси кривошипа момента инерции J(φ).
В качестве примера, алгоритм последовательного вычисления величины J(φ) методом Эйлера следующий.
1. Определяется по экспериментальным данным для ω1(φi) и ω2(φi) в таблице (4) угол φ0, при котором |ω1(φ0)-ω2(φ0)|→min.
2. Для этого φ0 определяем 
по данным таблицы (4), (где использовались формулы (2), (11) и (14)). Номер итерации i полагается равным нулю (i=0).
3. По формуле (17) определяется J(φ0).
4. Это значение подставляется в правую часть итерационной формулы (9) вместо J(φi), где все остальные переменные уже известны (определены для φ0) как результаты измерения или расчетов и хранятся в таблице (4). По формуле (9) определяется величина J(φ1). Получено первое значение приведенного момента инерции.
5. Найденное значение J(φ1) подставляется в правую часть выражения (9), а все остальные значения переменных в правой части берутся из таблицы (4) экспериментальных данных теперь для φ=φ1 Вычисляется значение J(φ2) и т.д.
На Фиг.2 приведена рассчитанная таким образом функция переменного момента инерции механизма, показанного на Фиг.1. В данном случае N=240. Для наглядности на график выведены значения J(φ) для 24 равноотстоящих положений кривошипа и, следовательно, цена одного деления по оси φ составляет 360°/24=15°.
Источники информации
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1988, 639 с.
2. Киселев М.И., Козлов А.П., Морозов А.Н., Назолин А.А., Пронякин В.И., Соловьев А.В. Измерение периода вращения валопровода турбоагрегата фотоэлектрическим методом // Измерит. Техника. 1996. №12. С.28-29.
3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Гостехиздат, 1959.
Способ определения приведенного момента инерции механизма, заключающийся в изменении инерционных свойств механизма путем присоединения дополнительного маховика с известным моментом инерции J0 и измерении угловой скорости звена приведения, отличающийся тем, что дополнительно измеряют угол поворота φ звена приведения и определяют изменение углового ускорения Δε звена приведения, вызванное присоединением пробной массы, а приведенный момент инерции определяют как функцию угла поворота звена приведения из решения численным методом дифференциального уравнения
с начальным условием
где ω1 и ω2 - измеренные угловые скорости,
Δε - изменение углового ускорения кривошипа,
а угол φ0 выбирается таким, при котором измеренные угловые скорости ω1(φ0) и ω2(φ0) максимально совпадают между собой, т.е.
