Цифровое устройство для вычисления элементарных функций

 

О П И С А Н И Е I 3027I6

Союз Сыветскик

Социалистических

Республик

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Зависимое от авт. свидетельства №

Заявлено 25.Х11.1969 (№ 1389144/18-24) с присоединением заявки ¹

Приоритет

Опубликовано 28.IV.1971. Бюллетень ¹ 15

Дата опубликования описания 06.X.1971

МПК G 061 7/38

Комитет по делам изобретений и открытий при Совете тйинистрое

СССР

УДК 681.325,59(088.8) Авторы изобретения

В. Н. Чинков, В. В. Смеляков, Л. Л, Балашов, М. Я. Минц, М. В. Лапайка, Е. Л. Рябченко и В. Г. Мандрич

Заявитель

ЦИФРОВОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Изобретение относится к области автоматики, вычислительной и электроизмерительной техники.

Известны устройства для вычисления элементарных функций, реализующие принцип аппроксимации и построенные на нелинейных элементах. Однако у этих устройств ограниченные функциональные возможности, поскольку они пригодны для вычисления отдельных функций и не являются универсальными.

К тому же при высокой сложности они не точ ны.

Целью изобретения является построение устройства для вычисления элементарных функций, заданных в число-импульсной форме, с высокой точностью. Для этого в нем выход устройства соединен со входом делителя частоты, управляющие входы которого соединены с выходами коммутатора коэффициентов деления, выход делителя частоты подключен ко входу реверсивного счетчика, выходы которого соединены со входами дешифратора, выходы дешифратора соединены со входами первой и второй собирательных схем и соответствующими входами коммутатора коэффициентов деления, выходы первой и второй собирательных схем соединены соответственно со входами установки «1» и установки «О» триггера, выходы которого подключены к управляющим входам реверсивного счетчика.

В устройстве реализуется метод линейной аппроксимации кривых элементарных функций в дискретной форме. Количество линейных участков и их угловые коэффициенты Кт определяются максимальной погрешностью аппроксимации вычисляемой функции у=1(х).

Оптимальные участки аппроксимации при заданной погрешности аппроксимации определяются из следующих соображений.

10 Пусть необходимо определить аргумент .к функции у=((х), заданной в число-импульсной форме, при максимальной погрешности аппроксимации (Ьх,)ma,. Для первого участка аппроксимации (в общем случае при у=ус, когда

15 x=0) можно записать:

y>=k x —, уо или у=ус-,-/т1v, где у, и х — приближенные значения функции и аргумента, соответствующие

20 первому линейному участку;

k> — угловой коэффициент этого участка.

Учитывая, что х= =x — Лл, получим

У вЂ” УО

/г, 25

Лх,=х — х.

Погрешность аппроксимации максимальна при flax,) у=0, откуда определяем у, а заЗО тем (Лх(,)тпд . (1) 302716

F — (ус д)

g: Vi

Верхняя граница первого участка аппроксимации х> определяется из выражения:

kixi =f(xi). (2) или

На втором участке аппроксимации (х (х(х,) у2 = g (Х1) + уО 1 Й2 (X —.Х1) У Уо У(i) х — хl т

) а а погрешность аппроксимации

Лх, = j(x) — х, -У У У(), (3)

Значение функции у, при которой погрешность аппроксимации максимальна, определяется аналогично (1) .

Верхнюю границу второго участка аппроксимации можно найти из выражения:

А (х — х ) = (х ) †/(х,) †/(0). (4) Аналогично находятся угловые коэффициенты и границы остальных участков аппроксимации.

Совершенно также определяются участки аппроксимации, если необходимо выполнить обратную задачу: по заданному аргументу вычислить соответствующее ему значение функции. В этом случае задаются максимальной погрешностью аппроксимации (Луа) п .;-. В остальном выбор участков аппроксимации аналогичен предыдущему.

Таким образом, при числовом задании функции g=f(x) или аргумента x=F(g), этот числовой эквивалент удобно сравнивать с эталонной мерой Луд, или Лхд,, которая соответствует при линейном приближении определенному значению аргумента Лх или функции Лу„.

Наиболее удобным оказалось воспроизведение эталонной меры с помощью делителя частоты (ДЧ) . Величина коэффициента деления q, ДЧ на каждом из участков определяется допустимой погрешностью дискретности Лу или Лх., и выбирается из условия:

У(х,) — У(х; r)

Ч ЛУ Лх ЙЛх с или (У F)Л вЂ” 1

q — — Лх — Лу = — Лу . (6) У(У

Изменение коэффициента деления @ в узлах аппроксимации должно производиться автоматически. Вычисленное значение аргумента определяется выражением: где n — количество участков аппроксимации; или функции

25 зо

На чертеже изображена блок-схема устройства, где введены следующие обозначения:

1 — реверсивный счетчик, 2 — дешифратор, 8 — делитель частоты с переменным коэффициентом деления, 4 — коммутатор коэффициентов деления, 5 и б — собирательные схемы, 7 — триггер знака, задающий режим работы счетч и к а.

Рассмотрим работу устройства при вычислении аргумента х по значению функции

g=f(x). В исходном состоянии коэффициент деления делителя устанавливается с помощью коммутатора 4 равным qi Число импульсов Л, соответствующее заданному значению функции у, поступает на вход делителя. Каждый выходной импульс делителя соответствует определенной величине аргумента Лх,, определяемой коэффициентом k, по формуле (5).

Выходные импульсы делителя записываются в реверсивный счетчик с учетом знака углового коэффициента, который задается триггером.

При достижении первого узла аппроксимация

xi счетчиком через дешифратор выдается сигнал на переключение коммутатора, т. е. на перестройку коэффициента деления делителя с величины q, на величину qq. В дальнейшем работа устройства повторяется. Задание режимов работы счетчика триггером производится с помощью собирательных схем, которые подключены к выходам или дешифратора, соответствующим положительным и отрицательным значениям угловых коэффициентов.

При окончании процесса вычислений в счетчике будет зафиксировано искомое значение аргумента х из формулы (7).

Работа устройства аналогична при вычислении функции у при заданном значении аргумента х. При этом для каждой элементарной функции производится выбор участков аппроксимации, исходя из максимальной погрешности аппроксимации.

Н аиболее удобно выбор угловых коэффициентов проводить графоаналитическим методом и проверять достоверность этого выбора по формулам для максимальных погрешностей аппроксимации на каждом участке.

В соответствии с полученными угловыми коэффициентами k; и требуемой дискретностью вычислений Axq или Луд по формулам (5) или (6) рассчитываются коэффициентыделения q, делителя. Эти коэффициенты задаются коммутатором по определенной программе, задаваемой дешифратором.

Рассмотрим в качестве примера вычисление функции

@=arctg у.

Для первого участка аппроксимации у — — 4у или у — kió погрешность аппроксимации будет

302716

Лу, = arctgу — —.

У

/ад ответственно.

10 тогда

15 (Уд<у у) у2 у (уl ) + 2 (у уд)

25 или

„+ v — у(у) йз

Номера участков (11 alma

1 2

6 7

1ч

28

24

39

28

36

42

43 45

Максимальное значение погрешность принимает при

Уы k,— 1, Верхняя граница у> первого участка аппроксимации определяется из выражения:

Йдуд — — — fg Уд

На втором участке аппроксимации а погрешность аппроксимации

Ьу, = arctgó — у, 1д

Аналогично предыдущему находятся угловые коэффициенты и границы второго и следующих участков аппроксимации.

Расчетные величины (в град.) оптимальны.: участков аппроксимации для четырех значений (Лу,)да„приведены в таблице. (Расчеты проведены графоаналитическим методом) Из таблицы видно, что погрешность аппроксимации может быть мала при небольшом количестве участков. Так, погрешность аппроксим ации 1ЛУ,)„ (30 можно обеспечить тр емя участками аппроксимации. Угловые коэффициенты для этих участков будут иметь зна30

50 чения: 0,0185, 0,0243 —, 0,0317 со1 1 1 град. град. град.

При дискретности вычисления Луд=30 из формулы (5), учитывая Ахи=у =301, определяем коэффициенты деления, которые будут иметь значения 0,0093, 0,0122

1 1 и град. 0,5 град.

0,0159 . При дискретности входных им0,5 град. пульсов 0,0001 эти коэффициенты будут

1 нмп.

93,122 и 159

0,5 град.

Поэтому коммутатором в делителе первым устанавливается коэффициент деления g> — — 93. иногда после каждых 93 входных импульсов появляется импульс на выходе делителя, который соответствует 30 . При достижении счетчиком значения ув появляется управляющий потенциал на одном из выходов дешифратора, который изменяет коэффициент деления коммутатора и делает его равным д7а=122.

Дальше работа устройства повторяется.

Предмет изобретения

Цифровое устройство для вычисления элементарных функций, заданных в числовой форме, содержащее реверсивный счетчик, дешифратор, триггер, делитель частоты, коммутатор коэффициентов деления и собирательные схемы, отличающееся тем, что, с целью расширения функциональных возможностей и повышения точности в нем выход устройства соединен со входом делителя частоты, управляющие входы которого соединены с выходами коммутатора коэффициентов деления, выход делителя частоты подключен ко входу реверсивного счетчика, выходы которого соединены со входами дешпфратора, выходы дешифратора соединены со входами первой и второй собирательных схем и соответствующими Входами коммутатора коэффициентов деления, выходы первой и второй собирательных схем соединены соответственно со входами установки «1» и установки «О» триггера, выходы которого подключены к управляющим входам реверсивного счетчика.

302716

Составитель И, Долгушева

Техред Л. Л. Евдонов Корректор Л. А. Царькова

Редактор E. Гончар

Типография, пр. Сапунова, 2

Заказ 2510/18 Изд. № 1042 Тираж 473 Подписное

ЦНИИПИ Комитета по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР

Москва, Я-35, Раушская наб., д. 4/5