Устройство для моделирования систем линейных уравнений и неравенств

 

ОП КСАН И Еl »633333

Сова Советских

Социалистических

ИЗОБР ЕТЕ Н И 5l

К АВТОРСКОМУ СЕИДЕ ТЕЛЬ СТ8У

Республик (61) Дополнительное к азт. сзид-ву— (22) Заявлено 24.02.75 (21) 2327300 18-24 с присоединением заявки М— (23) Приоритет— (43) Опубликовано 30,06.78. Бюллетень ¹ 24 (45) Дата опубликования описания 06.06.78 (511М,.—,.-" G 06 б 3 00

Государственный комитет

Совета Министров СССР ло делам иэовретеннй и открытий (53) Д1х 681.333 (088.8) (72) Автор изобретения

О. Я. Серов (71) Заявитель Туркменский научно-исследовательский геологоразведочный институт (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Изобретен,е относится,к аналоговой вычислительной технике, а именно,к механическим устройствам с ручным управлением, и предназначено для .моделирования и решенич задач линейного программирования общего вида малой размерности и систем линейнь х уравнений.

Известны устройства для решения систем линейных уравнений, содержащие систему ",одвижных и неподвижных блоков с огибающими их нитями по числу заданных уравнений, пары блоков с бесконечными нитями по числу, переменных и пантографы на подви.кных блоках, соответствующих переменнь;м каждого из уравнений (1 1.

Недостаток известных устройств заключается .з их з громоздкости.

Наиболее близкое к изобретению технич:ское решение — прибор,для вычерчивания многофокусных кривых — линейных функ:тий п,переменных расстояний, содержащий направляющие элементы по числу неизвестных, распределительный элемент, выполненный в виде цилиндра с наружными, кольцевыми канавками, раздвижные стержни, шарнирно закре пленные на распределительном элементе и соединяющие .последний с каждым из направляющих элементов, каретки, перемещаемые посредством раздвижных стержней, установленные на направляющих элементах и несущие свободно вращающиеся втулки с наружными кольцевыми качазками, оси которых расположены в плоскости кареток. и нерастяжимые нити, разнесенные з соответствии с заданными линейными функциямп между наружными кольцевыми канавками распределительного элемента и втулками .карсток (21.

Недостатками такого устройства являются неудобство изменения переменных и слож10 ность транспортировки.

Цель изобретения — улучшение эксплуатационных характеристик.

Поставленная цель достггается тем, что предлагаемое устройство содержит съемный

15 цилиндрический корпус с продольными направляющими прорезями, в которых расположены каретки, шкалы, установленные на съемном цилиндричеоком корпусе с возможкостью смещения вдоlb пгорезей, основание, на,котором соосно расположены съемный цилиндрический корпус и раслределнтельный элемент. и укрепленные в основании регулировочные элементы, механически связанные с шарнирами, соединяющими раздвижные стер25 жни с распределительным элементом.

На фиг. 1 схематически 0 232:.о предлагаемое устройство, общий зид: ча фиг. 2— каретка з направляющей прорези корпуса, вид спереди; на фиг. 3 дан разрез по А — А на

30 фиг 2

6j333) ной системы, таким же образом разнесены между кольцевыми канавкам:1 элемента 2 и соответствующих втулок 5. Все пмитируех1ь1е на устройстве коэффициенты должны соот-;ocHTi.ñÿ между собой как небольшие числа.

При наличии больших или меньших единицы зна.-1ений коэффициентов в системе уравнений за общую единицу масштаба участков нитей может быть взята и не 1, а, например, 2, 3 или 0,1 и т. д. Это соответственно требует замены шкал 12 на кратные.

При единичном масштабе моделирования коэффициентов имитация нитями отдельных уравнений на устройстве может быть упрощена: если заданные или приведенные к цело- 15 численным коэффициенты уравнения содержат

Hp. более двух нечетиых, а остальные — четные, то единица каждого коэффицие:-гга этого уравнения имитируется лишь одним участком нити: втулка 5 — элемент 2. В случае одно.о 20 нечетного коэффициента среди остальных четHbIx и целочисленных конец соответствующей нити закреплен на каретке, отзечающей переменному с нечетным коэффициентом (с этой каретки начато или на ней закончено раз: "сение нити).

Общая длина участвующих в имитации уравнения участков нити соответствует сумме его слагаемых и равна заданной постоянно"i у.равнения (непосредственно или в определен- ЗО ном масштабе) b;. Эта длина не равна длп:- с нити, разнесенной на устройстве, к ней добавляются постоянные по длине участки нити, огибающие элемент 2 и втулку 5 по их кольцевым канавкам. Дополнительные для 35 каждого из уравнений длины нитей 8 введены на устройство заранее. Они вычисляются го известным диаметром кольцевых кана1зок ,втулок, длинам огибаемых участков, числу огибаний и толщине нити. 40

Для имитации входящих в систему уравнений, имеющих коэффициенты разного знаk lI ка,,.Q oi -Х.1 — .., Q р.1 х: р вместо одной

1,1 1

j 1 45 использованы две нити. Каждая из нитей, сооТветствующая группам коэффициентов со знаком плюс и:минус, разнесена между элементом 2 и каретками описанным выше образом, а,между ними обеспечена разность участвующих в имитации длин, равная величине Ь;„Прп этом ходовые концы обеих нитей обязательно поступают с катушечки и могут надергиваться на устройство или стягиваться с него лишь совместно, т. е. на одинаковую длину. Возможность упрощения имитации при единичном масштабе уменьшается,при этом до наличия одного нечетного коэффициента.

Имитация на устройстве отдельных неравенств имеет ряд особенностей, а моделирова- б0 ние и решение задач линейного,про-,раммирования предусматривает использочание блока

10 счетчиков длин нитей.

Если имитировано неравенство вида

«меньше или равно» и,х,+а2х2+...+и„х„.. б5 д;р, то рабочая длина нити взята равно"!

Бс .11Ч11НЕ Ь;р, НО З IРОЦЕССЕ ОПЕРаЦИй НИТЬ МО.гет оставаться ненатянутой. Если имитироваНо неравен TBo вида «больше или равно» а1х1+а х +... +а„х„, Ь;р, то нить взята равной .по длине величине Ь,;р, но обязательно должна иметь ходовой конец, которым она с элемента 2 подана на катушку 9 и может потравлизаться с нее в процессе операций.

Аналогично, если имитируемая функция задана дзусторонн:1м чераве:-1ством

01р - (Q х1 jQрхç +... +Qдхд) Ь; .; -.ь ззя-.а .-л:111ой, разной Ь,:, à ".. процессе операций может потразливаться до длины Ь; (:i. 1i, наоборот, тя "11заться QT Ь;„до Ь1р).

Для имитации неравенств, имеющих 1 оэфф1шиепты разного знака, используются две нит:., каждсй из которых имитированы группы слагаемых одного знака, а разность между длинами этих двух нитей в процессе операций сох„;a:1яется большей (Hëè меньшей) заданно. : постоячной.

Нить, имитирующая минимизируемую Il;IH максимизпpуeму1o лl!нейную форму, обязательно подана ходовым концом с элемента 2

-1ерез блок 10 счетчиков на катушку 9.

Входящие в математическую .модель задач1 линейного,программирования ограничения переменных могут быть односторонними или двусторонними а а, ъ;=.а;, !

v х = а х ..-. 0;

Неравные нулю пределы изменения переменных имитируются на устройстве установкой соответствующих ограничптелеи 1-1 .по шскалам 12.

OTHoсительные огранпче!1:!H переменных типа 1! с х x (1..111 . л I.T1 H.1 и х -- х, и .l х 1х;, где 1)0, имитируются соответствующими перемещениями огран1гчптелей 14 в процессе операций на устройстве.

Для задания положений всех шарниров 20, обеспечивающих параллельность участков нитей соответствующим стержням 8, регулируют шарниры 20 по высоте, ввертывая регулироВс -1ные элементы — BIIHTbl 7 в секторные призмы 19.

Поднимаемые секторные призмы 19 соединены с установленными в прорезях корпуса 1 планками 18 в основаниях шкал 12. Поэтому пр i регулировке высоты шарниров 20 одновременно смещаются на корпусе и шкалы 12, отвечающие тем же переменным. Стержни 1, опирающиеся знешнимп концами на планки

> 100 — нить i,, > 160 — нить i.„

4ХЗ+»

-+- 2х,, + ОХ., -,- 4Х4

+ 2х,, XI

5х, + Зх...= 210 — 1!Ить i,„

> 40 — и!ггь „

2Х

Х2

-1 4х,, -! 5х, > 294 — н:!ть i,, 8х, 13, в отрегулированных исходных поло:ке:-гия:4 параллельны основанпго 0, находясь ка раз личной над н.!м высоте. Приступаю-, к моделированию заданной системы линейкых ураннений

/!

+ а;,х,=b;; i=1, 2,..., m; =1, 2,...., ."..

j=f

Решению системы уравнений отзеча-.т положение всех и кареток в прорезя; корпуса

1, при котором все т нитей (1„1, ..., t ) оказываются натянутыми. Считываемые го ш:.Bлам 12 .положения кареток ii, /, ..., /, соответствуют искомым переменным х1, х,, х..

Характер математической модел-f задачи

".èíåéíîãî программирования существенно влияет на приемы, используемые при решенил на устройстве. Процесс решения может быть разделен на реализацию системы ограничений задачи, когда реа,чизуются фнзичеокая модель условий в соответствии с заданной математической моделью и получают доп "TI(мый план решения, и на оптимизацию .опустимого плана, т. е. получение окончательного ре.шекия.

При реализац!1и системы ОгpBkflf -ff Hfff ; oс ществляют одновременное натяжение всех нитей ограничений, соответствующих равенствам и неравенствам вида «больше или равно».

Зтого достигают при уже натянутых подъемом

»кареток очной илп нескольких TBiKHY HHTFх, встречными перемещениями 1кареток: одку (или несколько) из подчятых в прорезях кареток опускают, а другую каретку (или несколько других) при этом поднимают. Следует начинать реализацию с функций, имеющ! .х меньшее число переменных и меньшие величины заданных постоянных в правой части.

Н!!ть, имитирующая .чинейную форму, прк этом не закреплена.

Оптимизацию допустимого;плана ocyn„ecTзляют та кже встречными перемещен1иями,кареток, перетягивая уже натянутые 1н ити та!4!KM образом, чтобы реализо!ванная система ограничений сохранялась, а дл1ина нити, 11лмит!лрую:цей линейную форму, убывала:или возрастала з соответст1вии с 1решаемой задачей. Определяемому миHIHмуму линейной формы отвечает наименьшая длина нити, ил!Ити рующей линейную форму, а опре1деляел401му,ма1ксииуму — ее ка ибольша1я 1длина. По дости жении таких положан1ий считывают дл1ины,нитей по 1счетчч4ка»м бло!ка (О, а значения перемененных — со шкал 12.

Пример. Требуется минимизировать линейную форму

- = 840х, + 840х + 360х., + 4бх, =- min npu функциональных ограничениях

Решение. Реализация системы ограничений сбеспеч!!зается подъел!ом каретки /„на зеч,— ч":!ку хд — — 80 — натягиваются зсе нити прп избытках их длин 220(i!), 160(iz), 120(!4) и

26 (15) . М!4кимизации соответствует встречное перемещение кареток !з и if, дающее набор переменных х! — — 13, х — — О, хз —— 47,5, х4 — — 0 при и.бь:тках длин, нитей 103(if); 23,5(1-.); 55(i4) и искомом минимуме L=28020.

Задачи линейного программирования малой размерности, связанные с производственно-х0з яйстзеккой деятельностью неоольших предприятий и организаций, решаются обычно вручную. Постановка и,необходил4ость Нх ре и.Ел1ИЯ ЧастО СВЯЗаНЫ С ПЕРИОДИЧНОСТЬЮ ПЛакпp0IBBkIIHa, сезочностью работ, получением заданий. Пред.чагаемое устройство восполняет пробеч з оснащен!!Ости средствами механизации з этой части, расширяя круг решаемых задач "..0

20 чксл1у лкней1ных 1фуякций и по числу пе ремеккых (до нескольких десятков). Оно ускоряет

I:.fkoöåññ решения в сравнении с расчетным— огпадает необходимость в большом объеме зыч:!Сле1кий, з за1псиси и перезаписи итерац.!онных таблиц. Процесс решения Обеспечивается !Иа".;:B:fH0if к точной физической моделью, зозможнocTbfo внос;ITb изменения в условия зада-м nî ход решения и исключает возможность

04»4!бкчи з кочечком результате. Устроис пзо чол.пBxTHO по кокстрлкц!!и, использует дешегь:е с„едстза, транспортабс,ib .-!0 !! 4.е завысит

От ЭЧЕ1Р-ЕтКЧЕС.:!ЛХ НСтОЧНИКОЗ ПИтаНИЯ.

Ф 0 р м yë а,и з о о р ет е н и я

УiTpoéñòço для моделирования систем ли°:еГпкых уравнений л неравенств, содержащее к=иразля!ощие элементы по числу кеизвест40 кых,,распределительный элел!ент, выполнеккь:Й в виде цилиндра с наружными кольцезы;.и ка1!4а зками, раздвижные стержни, шарнир.lo закраплеккые на распределительнол! элел4акте 1и oat!;Ink!!0!I!!le .последн1ий с каждым 1из

45 на1лравляющих элемента!в, каретки, перол4ещаемьпе 1посредством раздвижных стержней, уста01з.чен1!лые на IHBITlpBHnÿloùnë элемечтах и нес»щие свободно, вращающиеся втулки с наружи:;ми кольцевыми псаказкал4и, о"и .которых

50 распоспо::;,.екы .в плоскости кареток, 1и:нерастя-!!ч:л мые нита, разнесенные в cooтветствли с заданными л;!чейными функциями между кар", : ffûìè кольцевыми канав1ками )распредвлктепьнопо зле!мента 1и втулками кареток, о т л 1И55 а ю ще е с я тем, что, с целью улучшения эксплуата1циокных ха)рактериспик, оно содержит съел" нь1й цллинщзлческий к орпус с п рОдОлъкыми !!зп1разляющ ими пpoipезями, В:которых IpBcположены каретк41,,ппкалы, установленные на

60 съемном пплиндр1ическом корпусе с воз1мож1ностью смещек1ия в доль п1рорезей, основание, иа кот1ором соосно расположены:съемный цилиндркчес:;ай корпус IH распределительный элемент, к укреплeí íûå в основании,репулирозоччые элемечты, .механи1чес1ки связанные с шаркира613331

10 ми, соединяющими раздвижные стержни с распределительным элементом.

Исто ;ники информации, поднятые во внимание при экспертизе:

1. Авторское,свидетельство СССР № 40051, кл. G 06 G 3/00, 1932.

2. Авторское свидетельство СССР

5 № 214823, кл. В 43 11/00, 1966.