Устройство для воспроизведения дробно-рациональных функций

 

УСТРОЙСТВО ДЛЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ДРОБНО- РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ , содержащее п сумматоров и п множительных блоков, причем выход каждого 1-го множительного блоКа соединен с первым входом i-ro сумматора , выход каждого -го сумматора , кроме п-го,соединен с первым входом ( 1)-го множительного блока, первый вход первого множительного блока соединен с вторыми . входами первого и h-го сумматоров и является входом устройства, выход ti-ro сумматора, являющийся выходом устройства, соединен с третьим входом первого сумматора, отличающееся тем, что, с целью повышения точности и упрощения программирования, вход устройства соединен с вторьми входами всех остальных сумматоров и множительных блоков, выход п-го сумматора соединен с вторым входом первого множительного блока и с третьими входами сумматоров с второго по (л-1)-й, третий вход h-ro сумматора соеди (Л нен с шиной опорного напряжения, а выход каждого -го с$гмматора, кроме ( л - 1)-rd и п-го, соединен с четвертьм входом (f + 2)-го суыматора .

СОЮЗ СОВЕТСНИХ

СООИАЛИСТИЧЕСНИХ

РЕСПУБЛИН

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

Н ABTOPCHOMY СВИДЕТЕЛЬСТВУ

8xod х

CO (х!

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР

ПО ДЕЛАМ ИЗОБРЕТЕНИЙ И ОТНРЫТИЙ (21) 3659087/24-24 (22) 03. 11.83 ,(46) 23.04.85. Бюл. В 15 (72) Ю.И.Петренко (71) Ордена Ленина институт проблем управления (53) 681.3(088.8) (56) 1. Смолов В.Б. Функциональные преобразователи информации. Л., "Энергия", 1981, с. 176.

2. Справочник по нелинейным схемам. Под ред. Д.Шейнголда. М.,,"Мир", 1977, с. 56. (54)(57) УСТРОЙСТВО ДЛЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫК ФУНКЦИЙ, содержащее и сумматоров и множительньм блоков, причем выход каждого -ro множительного блока соединен с первым входом i-го сумматора, выход каждого (-го сумматора, кроме п-го, соединен с первым входом (1 + 1)-ro множительного

ÄÄSUÄÄ 1151999 А

4(5!1 С 06 G 7 26 блока, первый вход первого множительного блока соединен с вторыми входами первого и ь -ro сумматоров и является входом устройства, выход

h-го сумматора, являющийся выходом устройства, соединен с третьим входом первого сумматора, о т л и— ч а ю щ е е с я тем, что, с целью повьппения точности и упрощения программирования, вход устройства соединен с вторьпки входами всех остальных сумматоров и множительных блоков, выход n -ro сумматора соединен с вторым входом первого множительного блока и с третьими входами сумматоров с второго по (я — 1)-й, третий вход n-ro сумматора соединен с шиной опорного напряжения, а выход каждого (-го сумматора, кроме (h — 1) -r d и и-го, соединен с четвертым входом (4 + 2)-го сумматора.

115 1999

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может быть использовано для нелинейных преобразований мгновенных значений сигналов. 5

Известны устройства для воспроизведения дробно-рациональных функций, в которых последние воспроизводят при помощи блока деления, на входы которого подают сигналы, соот- 1О ветствующие делителю и делимому, являющиеся полиномиальными функциями мгновенных значений входного сигнала 513.

Недостатком данных устройств яв- }5 .ляется малая точность, обусловленная

L использованием делительного блока.

Наиболее близким к предлагаемому по технической сущности является устройство для воспроизведения дроб- 2п но-рациональных функций, содержащее и сумматоров и множительных блоков, выход каждого -го множительного блока соединен с первым входом l-ro сумматора, выход каждого 3 --го сумма-25 тора, кроме -ro, соединен с первым входом (1 + 1)-го множительного блока, первый вход первого множительного блока является входом устройства, второй вход n --ro сумматора соединен б с шиной опорного напряжения, а его выход, являющийся выходом устройства, — с вторым входом первого сумма тора 12).

Недостатками известного устройства являются сложность расчета и настройка коэффициентов и невозможность воспроизведения дробно-рациональных функций с произвольными коэффициентами. Коэффициенты полиномов числи- 40 теля и знаменателя, воспроизводимых при помощи известного устройства, являются взаимосвязанными, что ограничивает точность аппроксимации.

Целью изобретения являются повышение точности и упрощение програм- . мирования.

Цель достигается тем, что в устройстве для воспроизведения дробно- рациональных функций, содержащем n 50 сумматоров и и множительных блоков, причем выход .каждого 1-го множительного блока соединен с первым входом

q-ro сумматора, выход каждого i --ro .сумматора, кроме п -го, соединен с 55 первым входом (+ 1)-го множительного блока, первый вход первого множительного блока соединен с вторыми входами первого и п ãî сумматоров и является входом устройства, выход п -го сумматора, являющийся выходом устройства, соединен с третьим входом первого сумматора, вход устройства соединен с вторыми входами всех остальных сумматоров и множительных блоков, выход -го сумматора соединен с вторым входом первого множительного блока и с третьими входами сумматоров с второго по (n n-го сумматора соединен с шиной опорного напряжения, а выход каждого -го сумматора, кроме (n — 1)-го и n -го, соединен с четвертым входом (+2)-го сумматора.

Коэффициенты суммирования в устройстве выбирают в виде линейных комбинаций коэффициентов чебышевских разложений полиномов числителя и знаменателя так, чтобы на выходе устройства получить заданную дробнорациональную функцию.

Стандартная операция пересчета коэффициентов полинома в коэффициенты чебышевского разложения всегда выполнима и гораздо проще, чем операция расчета коэффициентов схемы известного устройства, особенно при дробно-рациональной функции высокого порядка, что упрощает программирование предлагаемого устройства.

Коэффициенты разложения в ряд по полиномам Чебышева убывают гораздо быстрее, чем коэффициенты исходных полиномов, поэтому влияние погрешностей каждого последующего множительного блока и сумматора тоже быстро убывает и общая погрешность определяется в основном погрешностью одного-двух первых блоков, что позволяет повысить точность предлагаемого устройства либо использовать в.нем сравнительно неточные дешевые .элементы и снизить его стоимость.

На чертеже показана блок-схема устройства.

Устройство содержит п сумматоров

1 -1„,ьмножительных блоков 2„-21,, аю вход 3 устройства, шину 4 опорного напряжения, выход 5 устройства.

Устройство работает следующим обрезом.

Входной сигнал х поступает на входы множительных блоков 21-2„ и сумматоров 11-1„. Выходной сигнал

1151999 поступает на входы первого множительного блока 2„ и сумматоров 1,—

1, „ . Выходной сигнал каждого

i-го множительного блока подается на первый вход -го сумматора. 5

Выходной сигнал каждого j-го сумматора, кроме и-го и (n — 1)-ro, поступает на первый вход (1 + 1)-ro множительного блока и четвертый вход (+ 2)-го сумматора. Выходной сигнал (п — 1)-ro сумматора подается на вход и-го множительного блока, а второй вход и -го сумматора соединен с шиной опорного напряжения.

Установка заданной дробно-линейной функции производится путем выбора и настройки коэффициентов передачи сумматоров, которые являются линейными комбинациями чебышевских разложений полиномов числителя и зцаменателя..

При соответствующем выборе коэффициентов на выходе 5 устройства можно получить функцию у(х), которая выражается в виде дробно-рациональной функции мгновенных значений входного сигнала х, числитель и знаменатель которой являются .полиномами и -й степени с заданными коэффициентами (с точностью до масштабно- 30 го множителя).

Рассмотрим пример реализации дробно-рациональной функции для и = 4 (чертеж). Если все выходные сигналы представлены в виде напряжений, а выходное напряжение i-го сумматора обозначено через U;, при соответствующем выборе коэффициентов работу устройства можно описать системой уравнений 40

0 --(ВЫ 4%-1Ь Ь4му-8ЬЪ ()1=0„х.эа,х«4(Ь4- 12

U =U xx++4x(A%1- 4)-211у--4 .

Ьв0 0,SU x+(a -а +а )4(е(-а )x--01, 1

У 04, Отсюда, исключив 0„: U, получаем 5б » ч ° (ид-б„з) В к+-8к (Jt(a>-ьР)(Фю -sx)i

+(a1-g у)(гх -i).(ф,„Ь ))x+g (g) или

55 (и -Ь ) Т (х)+(а -Ь у) (х)+(а - Ь у) Т (х)

+(« -Ь у) Т (x1++

Разрешая (3) относительно у, имеем а4т4(1)«ю т {x}«a1T1(x)+ T„(x)+o(т (xj

Ь,т4(х)«Ь,т (ху«Ь,т (>+Ъ т (х}«Ь Т (x)

Таким образ ом, выходное напряжение устройства равно дробно-рациональной функции (4).

Выражение (4) указывает на способ программировании устройства, т.е. на расчет коэффициентов системы уравнений (1) по коэффициентам заданной дробно-рациональной функции..

При этом исходную дробь надо привести к виду (4), преобразовав полиномы числителя и знаменателя в соответствующие суммы полиномов Чебышева, что всегда возможно и легко реализуется (a том числе и на ЦВМ). Далее расчет коэффициентов системы (1) не предствляет затруднений.

Коэффициенты системы (1) можно выбрать не единственным образом, так как они зависят не только от вида исходной дробно-рациональной функции, но и от масштабных соотношений. В данном случае масштаб представления при переходе к каждому последующему уравнению изменяется в два раза с целью повышения точности решения.

Это допустимо, так как обычно коэффициенты рядов по полиномам Чебышева быстро уменьшаются при увеличе.нии степени полиномов.

Функциональный преобразователь данной структуры работоспособен и для и> 5.

Рассмотрим пример расчета устройства. Пусть задана дробно-рациональная функция

4 6х 0 4

1 + О 139768 х1 которая аппроксимирует функцию у =

»х

=Бп - на отрезке — 1 с х 41 с

2 точностью, лучшей чем 0,01Х. Она может быть представлена в виде () 1,166188Т - 0,100874Т-()

$(х)

Т + 0,065319Т

Отсюда, подставив коэффициенты а; и Ь; в (1), получим

1151999

0 Oi

0 0,80699х — 0,26128у;

Ug О х;

0 = 0,5 U> х + 1, 26706х— — о,ги,; .y Q ° (7) Составитель Г.Осипов

Редактор Л.Гратилло Техред Ж.Кастелевич Корректор В.Бутяга

Заказ 2326/39 . Тираж 710 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д, 4/5

Филиал ППП "Патент", г. Ужгород, ул. Проектная, 4

Система (7) по существу содержит коэффициенты передачи сумматоров для данного примера, причем их можно испольэовать без дополнительного масштабирования.

Сравнение выражений (5) и (6) показывает, что коэффициенты разложения полиномов числителя и знаменателя дроби (5) по полиномам Чебышева меньше по абсолютной величине и убывают значительно быстрее. Благодаря этому влияние погрешности установки коэффициентов функционального преобразования на погрешность воспроизведения дробно-рациональной функции минимально. Кроме того, благодаря быстрому убыванию коэффициентов влияние кубических членов на общее решение в данном случае ослаблено по входу Х пример5 но в три раза, а по входу у — в четыре раза. Это позволяет упростить устройство за счет применения менее точных множительных блоков либо повысить его точность при тех же ре шающих блоках.

Аналогичным образом можно показать, что быстрое убывание коэффициентов разложения числителя и знаменателя по полиномам Чебышева, 15 малые значени су их абсолютн значений, а также простой расчет коэффициентов передачи и в общем случае при воспроизведении гладких функций способствуют упрощению программирования предлагаемого изобретения и повышению его точности.

Это и определяет технико-экономичес кий эффект от использования предлагаемого изобретения.