Устройство для определения закона распределения

 

Изобретение относится к области статистической обработки случайных величин и может использоваться для определения закона распределения случайных величин при малом числе измерений. Целью изобретения является повышение точности определения закона распределения. В устройстве осуществляется априорная непараметрическая оценка плотности вероятности, уточняющая финальную информационную оценку. Работа устройства включает три этапа. На первом этапе осуществляется вычисление параметров распределения. При этом решается система уравнений с двумя неизвестными. На втором этапе по найденным двум параметрам распределения определяется третий параметр. На третьем этапе по известным параметрам определяется оценка плотности искомого распределения. Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутаторы 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10, умножители 11-13, 27, 28, синхронизатор 14, сумматоры 15, 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистры 22, 30, блоки 23, 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления непараметрической оценки плотности распределения, мультиплексор 26, элемент 29 задержки. 1 ил.

COOS СОВЕТСКИХ

СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ

РЕСПУБЛИН

G 06 Е 15/36

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НОМИТЕТ

ПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И ОТНРЫТИЯМ

ПРИ ГКНТ СССР (21) 4328289/24-24 (22) 16.11.87 (46) 07.11.89. Бюл. № 41 (7 1) Уфимский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе (72) 10.А. Алыпов и С.В. Фатиков (53) 681.3(088.8) (56.) Авторское свидетельство СССР ,№ 1280395, кл. G 06 P 15/36, 1985.

Авторское свидетельство СССР ,№ 1388900, кл. С, 06 Р 15/36, 1986. (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАКО-, НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. SU» 152О545 А I

2 (57) Изобретение относится к области статистической обработки случайных величин и может использоваться цля определения закона распределения случайных величин нри малом числе измерений. Целью изобретения является повышение точности определения закона распределения. В устройстве осуществляется априорная непараметрическая оценка плотности вероятности„. уточняющая финальную информационную оценку. Работа устройства включает три этапа. На первом этапе осуществляется вычисление параметров распреде1520545 умножители 11-13, 27, 28, синхронизатор 14, сумматоры 15, 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ

18, 19, блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистры 22, 30, блоки 23, 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления непараметрической оценки плотности распределени3, мультиплексор 26, элемент 29 задержки. 2 ил .

Изобретение относится к статистичес-, кой обработке случайных величин и может использоваться для определения закона распределения случайной величи-20 ны при малом числе измерений.

Целью изобретения является повышение точности определения закона распределения.

На фиг. 1 показана блок-схема уст- ройства для определения закона распределения; на фиг. 2 — блок-схема блока определения параметров распределения.

Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутато-, ры 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10, умножители 11-13, синхронизатор 14, сумматоры 15 и 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент HE 21, регистр 22, блоки 23 и 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления 40 непараметрической оценки точности распределения, мультиплексор 26, умножители 27 и 28, элемент 29 задержки и регистр 30.

Первый блок 23 определения параметров распределения (фиг. 2) содержит регистры 31-37, элементы ИЛИ

38-42, сумматор 43, вычитатель 44, делитель 45 на два, элемент 46 сравнения, узел 47 выделения знака, на- 50 капливающий сумматор 48, элемент

HE 49, элементы И 50 и 5 1 и синхронизатор 52.

Блок вычисления непараметрической оценки плотности распределения извес- 55 тен.

В основу работы устройства положено использование нового метода on(2) ления. При этом решается система уравнений с двумя неизвестными. На втором этапе по найденным двум параметрам распределения определяется третий параметр. На третьем этапе по известным параметрам определяется оценка. плотности искомого распределения. Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутаторы 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10, ределения закона распределения случайной величины при малом числе наблюдений, базирующегося на идее получения наиболее правдоподобной, наиболее объективной оценки распределения при имеющихся априорных данных. Пусть. имеется набор экспериментальных данных (выборка) объема N. Статистические данные представлены в виде гистограммы с частотами Nq, N(, ..., Ny.

Пусть гистограмме ставится в соответствие некоторое распределение

Р,, Р, ..., Р, отражающее априорные знания (или предположения) о законе распределения. Оценим вероятность того, что в эксперименте получены иченно наблюдаемые реализации случайной величины при условии, что закон распределения есть P(PQ ..., Р .

Вероятность совместного наступления r — независимых событий, каждое из которых заключается в попадании

N; реализаций в i-й столбец, есть

I. Z

Р= Р;.(1)

Вероятность того, что наблюдаемый набор данных получен из генеральной совокупности с законом распределения

9 PQl ° Э

N! н;

Ч т— и1

Можно показать, что эта вероятность достигает единицы при полном совпадении теоретических вероятностей P и эмпирических вероятностей

+ Я

Р = ° Этот вариант идеальный, недостижимый практически. Необходимо установить другое — при каком распределении выборки эта вероятность

1520545 максимальна. Для этого рассмотрим величину

1nq и координаты максимума которой совпадают с координатами максимума вероятности q. После ряда преобразований получаем

Р %

Q — - Р1n — " (4)

Р;

Величина Я является информационной мерой близости распределений Р( и Р 9 1 = 1 9 гг Доказанор что функ ция (1 имеет нулевой максимум при

Р(= Р;, i = i,. r, т.е.. когда априорные. предположения о законе распределения полностью подтверждаются результатами эксперимента.

На практике имеет смысл ставить задачу так: найти такое распределение выборки, которое бы максимально приближалось к априорному распределению и не противоречило бы результатам опыта. Такой подход приводит к задаче максимизации функции Я при ограничениях, вытекающих из результатов наблюдений. Эти ограничения должны отражать факт совпадения определенных числовых характеристик искомого закона с их оценками, найденными по выборке.

Поскольку все существенные особенности распределений характеризуются их моментами, в качестве ограничений целесообразно выбрать уравнения л (х; Р", = „, 9, = 1, 2, ..., т, (9)

;=л в левой части которых находятся выражения для начальных моментов искомого распределения, а в правой — оценки этих моментов, вычисленные по выборке — х,k= 1, 2, ..., m, (6) кЯ,, (г где х; — координата середины i ro интервала аппроксимации.

Эти уравнения дополняются условием нормировки

P. 1„ (7)

Таким образом, решение ищется в классе распределений, первые моменты которых совпадают со статистическими оценками моментов. Совпадение нескольПр 1п1 Р; гхр,х; + )хх 1 (9) (х",. - ()(() ° Р; ехр(Я(х; + 3 х,) = О, 25 (10) 1с=1, 2.

30 Точность данного метода существенно зависит от точности определения априорной плотности вероятности Р; .

В случае, когда отсутствует возможность получить достаточно хорошую

З5 оценку априорного распределения, целесообразно применять двухэтапную процедуру определения закона распределения. На первом этапе реализации выборки из оцениваемой генеральной

40 совокупности обрабатываются одним из непараметрических методов (в устройстве используется метод последовательной дихотомии) °

4g На втором этапе полученная оценка плотности вероятности принимается в качестве априорной для описанного метода. При этом из множества допустимых оценок искомого распределения выбирается наиболее близкая к априорной непараметрической оценка. Описанная процедура позволяет учитывать не только концентрированную информацию о выборке, заключенную в моментах распределения (что характерно для информационного метода), но и вклад каждой отдельной реализации выборки, что приводит к повышению точностй оценивания. ких первых моментов является практичес5 кой гарантией того что распределениеР оценка аппроксимирует неизвестное реальное распределение. Доказано, что оптимальное число учитываемых моментов зависит от числа опытных данных

10 и возрастает с его увеличением. При малых объемах выборки наиболее целесообразно использовать в ограничениях первые два момента.

Решая поставленную оптимизацию-задачу методом неопределенных множителей Лангража получаем выражение для искомого распределения

Р; = Р;ехр ($,+ ),х, +)хх.,)

2р =1, г,. (8)

Параметры распределения при этом определяются следующей системой уравнений: 1520545

Для чи уравнений двумерной известной уравнения пополам. метода дв

К,(i„ b ) = 0;

К,(„b ) = 0 (12) сленного решения системы (10) используется метод дихотомии, основанный на процедуре уточнения корней методом деления отрезка

Рассмотрим алгоритм работы умерной дихотомии, предполагая, что решается система

f (3(,3 ) =o; (11) .(",,,) = 0

Координаты U1 V<, U, V характе ризует область, в которой заведомо находит ся ис комо е решение, границы области легко найти путем предварительных исследований.

Вначале параметру ) .присваивается значение Ь = V и уравнения решаются относительно параметра

О методом деления отрезка пополам при допустимой погрешности с, . Резуль- . таты обозначим и (u<. Определяется знак разности р<и )цр

S = sign(f,— p<). (13) Далее параметру Э(присваивается значение а + Ь

2 и уравнения (12) вновь решаются относительно ». Результаты обозначим и Да. Определя(<) (й ется знак разности,"> и 1

S(. = sign(ß„- 3 )+ ), (14) Если Sq = S, то для следующей итерации принимают Ь = 1, в противном случае принимают а = . Процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

b — а16 „ (15) где - допустимая погрешность определения параметра Ilg, Полученные в результате значения

3» и 1 параметров 3 и 3g являются решением системы (11) . Подставив найденные значения в формулу (9), находим параметр (1q, и искомое распределение (8) полностью определенб.

Устройство работает следующим образом.

Предварительно, по первым r-адресам блока 7 памяти заносятся значения х;„i = 1, г, коммутаторы 2-6

50 установлены в первое положение. В регистре 30 хранится код ширины интервала аппроксимации и . На информационные входы регистров 31 и 32 поданы соответственно коды минимального и максимального значений параметра 3<, на соответствующие входы блоков 23 и 24 поданы коды минимального и максимального значений параметра 3q., коды Я и допустимых погрешностей определения параметров 3 и,1. В регистр 22 занесен нулевой код.

Реализации х, j = 1, Nð,èññëåäóемой случайно величины поступают на информационные входы блока 1 вычисления начальных моментов и блока 25.

;На выходах блока 25 формируются значения Н;, i = 1, г, ординат нормированной непараметрической оценки плотности распределения. Процесс вычислеи ния моментов < и блоком 1 заканчивается формированием на его управляющем выходе импульса. По этому импульсу запускаются блоки 23 и 24.

Процесс решения уравнений (10) методом деления отрезка пополам методом двумерной дихотомии организуется в блоках 23 и 24.

По окончании вычислений блока 24 формируется импульс, переключающий коммутаторы 4 и 5 во второе положение. В устройстве при этом осуществляется вычисление параметра 3 по формуле (9). По окончании обработки всех

1 значений х и Р код г P ехр(1õ; +

1 1; ((!

+ ) х ) с выхода сумматора 16 поступает на вход блока 20 вычисления натурального логарифма. Полученный код параметра через элемент НЕ 21 записывается в регистр 22. Далее коммутатор 6 переключается во второе положение. При этом в устройстве осуществляется вычисление значений Р; — 1, r,искомого закона распределения согласно (8). Результирующий код с выхода блока 17 вычисления экспоненты через второй вход коммутатора 4 и второй выход коммутатора 6 поступает на вход блока 8 индикации.

Формула изобретения

Устройство для определения закона распределения, содержащее квадратор, пять коммутаторов, три умножителя, блок определения натурального логарифма, элемент НЕ, два сумматора, 15205й 5 10

9 блок вычисления экспоненты, блоки памяти, блок индикации, блок вычисления начальных моментов, вычитатель, два элемента ИЛИ, регистр, синхрони.затор, блок определения первого параметра экспоненциального распределения, блок определения второго параметра экспоненциального распределения входы задания минимального значения первого параметра распределения, максимального значения первого параметра распределения, допустимой погрешности определения первого параметра распределения блока определения первого параметра экспоненциального распределения и входы задания минимального значения второго параметра распределения, максимального значения второго параметра распределения, допустимой погрешности второго параметра распределения блока определения второго параметра экспоненциального распределения являются соответственно одноименными входами устройства, ийформационный вход блока вычисления начальных моментов является информационным входом устройства, выход первого момента блока вычисления начальных моментов соединен с первым информационным входом первого коммутатора, выход второго момента блока вычисления начальных моментов соединен с вторым информационным входом первого коммутатора, с выходом окончания вычислений первого параметра блока определения первого параметра экспоненциального распределения, с вторым входом запуска блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход первого коммутатора соединен с входом уменьшаемого вычитателя, вход вычитаемого которого соединен с выходом второго коммутатора, первый информационный вход которого соединен с выходом блока памяти, с первым информационным входом первого умножителя и через квадратор с вторым информационным входом второго коммутатора и с первым информацион ным входом второго умножителя, вход разрешения считывания блока памяти соединен с первым выходом синхронизатора, адресный вход блока памяти соединен с вторым выходом синхронизатора, тактовые входы вычитателя и первого и второго умножителей соединены с третьим выходом синхронизатора, выход вычитателя соединен с первым информационным входом третьего умножителя, второй информацоинный вход первого умножителя соединен с выходом первого параметра блока оп5 ределения первого параметра экспоненциального распределения, с входом первого параметра блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход первого умножителя соединен с первьм информацион- . ным входом первого сумматора, второй информационный вход которого соединен с выходом второго умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом второго параметра блока определения второго параметра экспоненциального распределения, третий информационный вход первого сумматора соединен с выходом регистра, а тактовый вход третьего сумматора соединен с четвертым выходом синхронизатора, выход первого сумматора соединен с информационным входом блока вычисления экспоненты, тактовый вход которого соединен с пятым выходом синхронизатора, тактовый вход третьего умножителя соединен с шестым выходом синхронизатора, выход третьего умножителя соединен с первым информационным входом третьI его коммутатора, управляюш Ф вход которого соединен с управляюшим входом четвертого коммутатора, с выходом первого элемента 1ПТИ, первый вход ко35 торого соединен с первым входом второго элемента ИЛИ, с входом установ11 11 ки в 0 регистра, с седьмым выходом синхронизатора, с входом останова

40 блока определения первого параметра экспоненциального распределения и с входом останова блока определения второго параметра экспоненциального распределения, вход разрешения запи45 си регистра соединен с вторым входом второго элемента ИЛИ и с восьмым выходом синхронизатора, информационный вход регистра через элемент НЕ соединен с выходом блока вычисления натурального логарифма, тактовый вход которого соединен с девятым выходом синхронизатора, информационный вход блока вычисления натурального логарифма соединен с первым выходом четвертого коммутатора, второй выход которого соединен с информационным входом блока определения первого па-. раметра экспоненциального распределения, информационный вход четвертого

1520545 коммутатора соединен с выходом второго сумматора, тактовый вход которого соединен с десятым выходом синхронизатора вход разрешения считывания вто9

5 рого сумматора соединен с одиннадцатым выходом синхронизатора, с входом тактирования выделения знака текущего значения блока определения первого параметра экспоненциального распреде- 10 ления, вход установки в "0" второго сумматора соединен с выходом окончания вычисления второго приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения, информационный вход второго сумматора соединен с первым выходом пятого коммутатора, управляющий вход которого соединен с выходом второго элемента

ИЛИ, информационный вход пятого ком- 20 мутатора соединен с выходом третьего коммутатора, а выход соединен с входом блока индикации, двенадцатый выход синхронизатора соединен с тактовым входом блока определения перво- 25 го параметра экспоненциального распределЕния, вход запуска импульсов синхронизации первой группы синхронизатора соединен с выходом окончания вычисления первого приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения, вход за/ пуска импульсов синхронизации второй группы синхронизатора соединен с входом разрешения вычисления третьего параметра блока определения первого параметра экспоненциального распределения и с вторым входом первого эле1 мента ИЛИ, выходом окончания вычисле- ния второго параметра блока распреде- 40 ления второго параметра экспоненциального распределения, выход окончания вычисления второго приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения соединен с входом тактирования, вычисления разности первого и второго приближений блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход окончания вычисления первого приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения соединен с входом разрешения записи первого приближения первого параметра блока определения второго параметра блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход окончания вычисления текущего приближения блока определения параметра экспоненциального распределения соединен с входом начала вычисления первого приближения,с входом пятого элемента И второго блока определения первого параметра экспоненциального распределения, о т л ич а ю щ е е с я тем, что, с целью повышения точности определения закона распределения, в него введены блок вычисления непараметрической оценки плотности распределения, мультиплексор, .четвертый и пятый умножители, элемент задержки и второй регистр, причем информационный вход блока вычисления непараметрической оценки ппотности распределения подключен к информационному входу устройства, v входы задания числа реализации, числа интервалов разбиений и ширины интервала анализа блока вычисления непараметрической оценки плотности распределения являются одноименными входами устройства, каждый выход блока определения непараметрической оценки плотности распределения соединен с соответствующим информационным входом мультиплексора, тактовый вход которого соединен с входом разрешения считывания второго регистра и первым выходом синхронизатора, адресный вхоД мультиплексора соединен с вторым выходом синхронизатора, выход мультиплексора соединен с первым информационным входом четвертого умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом второго регистра, тактовый вход четвертого умыожителя соединен с третьим выходом синхронизатора, а выход соединен с первым информационным входом пятого умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом блока вычисления экспоненты, тактовый вход пятого умножителя соединен с тринадцатым выходом синхронизатора, а выход соединен с вторым информационным входом третьего коммутатора и третьего умножителя, выход окончания вычислений блока вычисления начальных моментов через элемент задержки соединен с входами запуска блоков определения первого и второго параметров экспоненциального распределения,с вторым входом шестого элемента ИЛИ первого блока определения параметров распределения, с вторым входом первого и второго элементов И второго блока определения параметров распределения, с вто14

1520545

Фиг.2

Составитель В, . Орлов

Техред Л.Сердюкова Корректор Л, Патай

Редактор О. Головач

Заказ 8248 Тираж 668 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета по изобретениям и открытиям при ГКНТ СССР

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4!5

Производственно-издательский комбинат "Патент", г.Ужгород, ул. Гагарина, 101

13 ь ми входами четвертого и пятого элементов ИЛИ второго блока определения ,параметров распределения, с первым входом шестого элемента ИЛИ второго блока определения параметров распределения, с входом разрешения записи четвертого регистра второго блока определения параметров распределения.