Устройство для решения краевых задач

 

СО1ОЗ СОВЕТСКИХ

О

РЕСГ1УБ ЛИК

09) (11) С 06 С 7/48

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЛ

К АВТОРСКОМ,Ф СВИДЕТЕЛЬСТВУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ

ПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И О ПОКРЫТИЯМ

ПРИ ГКНТ СССР. (21) 4682438/24 (22) 20.04.89 (46) 07,04.91 . Бюл. 9 1 3 (713 Казахский государственный университет им. С,M.Êèðîâà (72) А.Т.Любушкин, А.Б.Зенков, А.Т,Лукьянов и 3.Х.Мирзатбаева (53) 681 .333(088.8) (56) Авторское свидетельство СССР

У 898453, кл. С 06 G 7/48, 1979.

Авторское свидетельство СССР

И 1174950, кл. G 06 G 7/48, 1983. (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ . ЗАДАЧ . (57) Изобретение относится к аналоговой вычислительной технике и предназИзобретение относится к аналоговой вычислительной технике и предназначено для решения краевых задач.

Бель изобретения — расширение класса решаемых задач, а именно решение краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме без . потери точности методом дифференциальной прогонки.

На фиг,l представлена блок-схема устройства для решения краевых задач; на фиг,2 - функциональная схема блока вычисления краевых условий искомой функции; на фиг.3 — функциональная схема блока промежуточного вычисле- . ния; на фиг.4 — функциональная схема блока вычисления искомой функции;.на фиг.5 — функциональная схема блока

2 начено для решения краевых задач. Цель изобретения — расширение класса решаемых задач, а именно решение краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме без потери точности путем реализации метода дифференциальной прогонки. Для достижения этой цели устройство дополнительно содержит второй коммутатор, блок вычисления краевых условий искомой функции и блок задания, коэффициентов уравнения. Устройство позволяет сократить время счета и распараллелить процесс вычислений без значительного усложнения аппаратурной реализации, что само по себе приводит к повышению надежности устройства. 6 ил, Ф а4 задания коэффициентов уравнения; на р фиг.6 — временная диаграмма выходных р напряжений блоков устройства.

Устройство для расширения краевых задач на основе метода дифференциальtwas ной прогонкия (фиг. l ) содержит первый коммутатор 1, блок 2 аналоговой памя. ти, второй коммутатор 3, блок 4 вычисления искомой функции, блок 5 вычисления краевых условий искомой функции, блок 6 промежуточных вычислений, блок 7 задания краевых условий, блок 8 задания коэффициентов уравнения и блок 9 синхронизации. ,Блок 5 вычисления краевых условий функции (фиг.2) содержит первый 1О и второй 11 контакты ключевого элемента 12 первый 1 3 и второй 1 4 би3 164071

: полярные источники напряжения, первый

15 и второй 16 двухвходовые сумматоры и делитель 17 аналоговых сигналов.

Блок 6 промежуточных вьяислений (фиг.3) выполнен по схеме прямой дифференциальной прогонки и содержит первый 18 и второй 19 двухвходовые ин- . тегросумматоры со схемами задания начальных условий и режимами "Исходное положение", "Пуск", "Останов", квадратор 20 и первый перемножитель 21 аналоговых сигналов. Управляющими вхо-: дами блока являются входы С, S Н ин- . тегросумматоров 18 и 19.

Блок 4 вычисления искомой функции. (Лиг.4) выполнен по схеме обратной дифференциальной прогонки и содержит . третий двухвходовый интегросумматор

22 со схемой заданий начальных усло-, вий и режимами "Исходное положение", "Пуск", "Останов" и второй перемножитель 23 аналоговых сигналов. Управляющими входами блока 4 являются входы

С, S, Н интегросумматора 22.

Блок 8 задания коэффициентов уравнения (фиг.5) содержит первый 24 и второй 25 биполярные управляемые источники напряжения.

Для получения численного решения краевую задачу обычно сводят к реше-. нию системы алгебраических уравнений, заменяя производные в дифференциаль- . ном уравнении их разностными отношениями

А у : — С y + В у — f в

i 1 N ю А Ов В О

/5 (х) + М(x)P(x) = q(x)

j3(O) = Po. (7)

Из уравнения (6) находится функция

K(x), зная которую, из уРавнения (7) находим функцию P(x) С Ф О (1)

В ряде случаев требуется решить не одну. задачу (1), а серию задач с раз-, личными правыми частями, причем чис- . ло задач в серии может равняться нескольким десяткам или сотням при числе неизвестных s каждой задаче N0100> . что приводит в конечном счете к значительным временным затратам.

Решение задачи (.1.) на известпьк, цифровых вычислительных устройствах, даже при использовании эысокоэффек- ® тинного метода прогонки,;, не дает значительного сокращения времени сче" та при многократном решении систем алгебраических уравнений (1) или, когда эти системы имеют высокий поря- 55 док. Более того, использование ЭЦВМ требует специальных знаний по программированию, значительного времени на подготовительные операции написа- . ния и отладки программы и большогообъема оперативной памяти, Известные аналоговые вычислительные машины (АВМ) предназначены для решения обыкновенных дифференциаль-. ных уравнений с начальными условиями (задачи Коши), поэтому решение краевых задач на АВМ приводит к значительному увеличению используемых элементов, что в конечном счете снижает надежность устройства и приводит к его удорожанию.

Таким образом, известные устройства для решения краевых задач обладают следующими недостатками: значительное время счета (на ЭЦВМ), сложная аппаратурная реализация при малой надежности устройства (на АВМ), невозможность реализации потенциально высокого быстродействия АВМ (распараллели-. вание вычислений).

Однако решение краевой задачи (1) можно свести к решению нескольких задач Коши с помощью метода дифференциальной прогонки, что позволяет использовать АВМ без увеличения числа используемой аппаратуры. Рассмотрим, например, решение дифференциального уравнения второго порядка у = р(х)у + q(x), 0c х 61 (2) с. краевыми условиями

y — 0(ьу = pg1х = О (3) у + (ьу Be )х 1.. (4)

Левое граничное условие (3) вьщеляет из-общего решения (2) семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра. Тем самым в каждой, точке отрезка Ойх ЙI индуцируется линейное соотношение между у (х) и у(х) у (х) =11 :(х)у(х) +p(x) (5), Причем wIMI фуикцииК(х) и ф{х) определяются следующими задачами Ко»

ШИ1

Ю (х) + М {х) р(х), ОС(0) Мф (6) 5 1640718

В точке х = 1 можно теперь получить еще одно граничное условие (пригнанное из точки х = О)

1 у (1) = О (»у(» + (».

Вместе с заданным на правой границе условием (4) оно дает возможность найти у(1) из системы уравнений

Z (1) (Р у(» + И

10 (1) = 16(» у(» + P (» или окончательно (8) у(1)

Ид — /3 (1)

Чо

Используя (5) с начальHbiM условием у(1) = yl, находим исходное решение у(х) .

Кроме того, появляется реальная возможность распараллелить процесс вычислений, используя следующую идею, В прямом ходе прогонки одновременно (параллельно) решаем дифференциальные задачи (6) и (7), выбирая в определенные моменты времени счетную последовательность коэффициентов р4 и 5, и запоминая их в. соответствующих ячейках блока памяти, в обратной прогонке, выбирая из блока памяти соответствующие значения OL и 1э, решаем дифференциальную задачу (5), которая дает искомое решение.

Устройство работает следующим образом. 35

Реализация алгоритма метода дифференциальной прогонки (5) -(8), т.е, решение дифференциальной задачи (2)(4) осуществляется в несколько этапов (фиг.6), Ниже принято следующее обоз- 40 начение U — выходное напряжение i-ro

1 выхода g-го блока.

Первый этап. Задаются начальные значения прогоночных коэффициентов

ОС(0) = 0 и P(0) = Pь

По запускающему импульсу генератора блоха 9 синхронизации на информационные входы 1 и 2 блока 6 (фиг.1 3) задаются напряжения U и П с соот7

7 а ветствующих выходов блока 7 задания 50 краевых условий 7 (пропорциональные начальным значениям прогоночных коэффициентов 0 О и P ) . В этот промежуток времени интегросумматоры 1 8 и 1 9 находятся в режиме Задание начальных 55 условий", Функциональные зависимости переменного коэффициента р(х) и правой части q(x) задаются в виде соответствующих напряжений U, и U в бло8 8 ке 8 задания коэффициентов уравнения и поступают на информационные входы

3 и 4 блока 6. На данном этапе. производится настройка схем блока,8, и в начальный момент времени решения на

ыходах данного блока сформированы напряжения Uf,(0) и 11 (О), 8 8

Блоки 1-3, 5 находятся в это время в режиме ожидания, определяемом бло-" ком 9 синхронизации. Блок 4 находится в режиме "Исходное положение .

Второй этап. Находится решение дифференциальных уравнений (6), (7) для прогоночных коэффициентов 0 (х) и ((х). Решение ищется на интервале изменения независимой переменной х от 0 до 1 (прямая прогонка), Решение 04(х) и ф (х) находится в непрерывной форме в блоке 6 средствами аналоговой вычислительной техники, причем математическое доказательство работоспособности блока приведено ниже.

По окончании запускающего импульса и приходе первого тактового импульса (фиг.6) устройство начинает решение.

Интегросумматоры 18 и !9 блока 6 переключаются из режима Задание начальных условий" в режим Пуск". Заметим, что величина машинного времени О СМ< Т интегрирования схемы блока 6 (фиг.3) ставится в соответствие с величиной интервала изменения независимой пе-, ременной х(о < х «», Следовательно, например, величины напряжений, соответствующие функциям р(х) и q(х), будут формироваться в блоке 8 до тех пор, пока t> не станет равчым Т (коэффициенты уравнения р(х) и q(x) соответствуют в этот момент величинам .

p(l) и ц(1)).

Действительно, уравнения, описывающие работу схемы на ф п .3, имеют вид (на этом этапе)

--. 6 - -(U,) + U (t ), (м) м=О б

dU 66 8

6 д 2 2. М ° — =-UU +U(t)

М

6 7

Uz (t„) м=О = " Pî (10) где U — напряжение на выходе интегf росумматора 18 блока 6;

U — напряжение на третьем инфорf мационном входе блока 6 промежуточных вычислений (на

1640?18 8 первом выходе блока 8 задания коэффициентов, пропорциональное р(х); — напряжение на выходе интег5 росумматора 1 9 блока 6; — напряжение на четвертом информационном входе блока 6 промежуточных вычислений (на втором выходе блока 8 задания коэффициентов), пропорциональное q(x) 6

7

U)

U" — напряжения на первом и вто2 ром информационных входах блока 6 промежуточных вычислений (на первом и втором выходах блока 7 задания краевьх условий), пропорциональные начальным значениям ф и соответственно.

Из сравнения уравнений (6)-(7) с уравнениями (9)-(10) следует очевидность доказательства моделирования исходной задачи в прямом ходе прогонки. Получаемые непрерывно значения напряжений, соответствующие прогоночным коэффициентам К и Р через пер-. вый и второй выходы блока 6 промежу- 30 точных вычислений засыпаются в первый коммутатор 1, который последовательно во времени подключает первый и второй выходы блока 6 промежуточных вычислений к соответствующим ячейкам блока 2 аналоговой памяти (1 -2), (3-4)...(2N-1, 2N). Ввиду отсутствия запоминающих устройств с электронными способами записи, хранения и выдачи информации в непрерывной форме 4О в предлагаемом устройстве, как уже указывалось выше, используются 2N ячеек схем хранения, записи и выдачи получаемых на данном этапе значений ко.эффициентов М(х) и P(x) в виде сост- 45 ветствующих напряжений U,(t>) и

Бг(см) °

Таким образом, в 2N ячеек аналого- . вой памяти будет записан ряд значений напРяжений U)(t ) и U2(СМi) р сооТ 50 ветствующих прогоночным коэффициентам

Ш ; и !а,.(i = 1,2...Ы). Управление работои коммутатора 1 осуществляется. по соответствующим сигнальным линиям магистрали управления блока 9, по ко

55 торым подаются цифровые коды на управляющие входы коммутатора 1. На данном этапе решения блок 8 формирует значе.ния напряжения U,(r+) и U2(t ), про6 6 порциоиальные р(х) и q(x). По окончании действия запускающего импульса (на протяжении 2 этапа).все остальные блоки устройства находятся в следующих режимах: блок 2 находится в режи-, ме записи (" Выборка" ), и его 2N выходов отключены от выходов ячеек аналоговой памяти; блоки 3-5,7 находятся в ждущем режиме (в исходном положении), На этом заканчивается первый цикл вычислений или выполняется прямая прогонка.

Третий этап. На данном этапе происходит вычисление правого краевого условия в блоке 5 в соответствии с условиями (8) .

В момент времени (с = Т), когда

1 закончилось нахождение напряжений, соответствующих коэффициентам (и P в блоке 6 промежуточных вычислений,: происходит включение блока 5 вычислений краевых. условий искомой функции, и на его выходе формируется напряжение, соответствующее краевому условию ис- комой функции согласно уравнению (8), В этот момент цифровой код, соответствующий N такту работы генератора, по соответствующим выходным шинам блока 9 переводит коммутатор 1 в исходный режим; блок 2 переходит в режию "Хранения" результатов промежуточного решения, а 2N выходов данного блока подключаются к соответствующим выходам 2N ячеек аналоговой памяти; второй коммутатор 3 производит подключение 2N- ro и (2N-1)-го выходов блока 2 ко второму и первому входам блока 4; блок 4 переходит из режима

"Исходное положение" в режим "Начальные условия"; блок 5 в этот момент: начинает выдавать напряжение, соот-, ветствующее краевому условию .(8); блок 6 переходит. в .режим "Останов"; блоки 7-8 находятся в режиме "Исходное положение".

Четвертый этап. Ищется решение искомой з адач и, По приходу N+1 импульса блок 4 переходит в режим "Пуск" и начинает находить искомое решение, т.е. начинается обратная прогонка. С помощью второго коммутатора 3 из ячеек блока 2 аналоговой памяти считываются попарно значения напряжений, соответствующие прогоночным коэффициентам О, и (3, в обратном порядке (i = N N-1...

1) для вычисления значений искомой функции по уравнению (5). На выходе блока 4 вычисления искомой функции

1640718 образуется искомое решение в виде не— прерывно изменяющегося напряжения, Доказательство работоспособности блока 4, т,е. воспроиэводимость .уравнения (5) средствами аналоговой вычислительной техники очевидна

>1Ц Э 4 Э

4 х=ЦП +11 (11) йСА, 10

4 тЮ („)/t = ("+10 = T +At =

l.

6. y(x) () 2)

Уравнение (11) изоморфно, уравнению (5), что и требовалось доказать, После поступления 2N тактового импульса процесс решения заканчивается. При этом число ячеек памяти блока 2 определяется, во †перв, из необходимой точности решения, во-вторых, быстродействием коммутаторов 1 и 3 (например, с временем переключения 5-1 0 йс) > что позволяет выбрать .интервал машинного времени Т 1 мкс, т,е. организовать параллельный и быстродействующий 25 процесс решения.

Фо р м у л а и з о б р е т е н и я

Устройство для решения краевых за дач, содержащее блок промежуточных вычислений> блок синхронизации, блок

4 задания краевых условий, блок памяти, коммутатор, информационные выходы которого подключены к соответствующим информационным входам блока памяти, соответствующие шины магистрали синхронизации блока синхронизации подключены соответственно к управляющим входам коммутатора, входам разрешения записи/считывания блока памяти, вхо— дам кодовой установки выходных. значе- 40 ний напряжений блока задания краевых условий, к входам тактирования, останова и сброса интегросумматоров блока промежуточных вычислений, о т л и— чающий с я тем, что, с целью расширения класса решаемых задач за счет получения устойчивого решения краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме, в него введены блок задания коэффициентов уравнения, блок вычисления краевых условий искомой функции, блок вы— числения искомой функции и второй коммутатор, информационные входы ко-, торого подключены к соответствующим выходам блока памяти, первый и второй выходы второго коммутатора соединены соответственно с первым и вторым информационнымп входами блока вычисления искомой функции, третий информационный вход которого соединен с выходом блока вычисления краевых условий искомой функции, блок промежуточных вычислений включает два интегросумматора, квадратор и перемножитель> выход которого подключен к первому входу первого интегросумматора, выход квадратора соединен с первым входом второго интегросумматора, выход которого соединен с первым входом перемножителя, с входом квадратора блока промежуточных вычислений, с первым информационным входом блока вычисления краевых условий искомой функции и первым информационным входом первого коммутатора, второй информационный выход блока задания краевых условий подключен к установочному входу текущего значения коэффициента первого интегросумматора, выход которого соединен со вторым выходом блока про6 межуточных вычислений, перемножителя, со вторым информационным входом блока вычисления краевых условий и вторым информационным входом первого коммутара> первый информационный выход блока задания краевых условий подключен к установочному входу текущего значения коэффициента второго интегросумматора, второй информационный вход которого соединен с первым информационным выходом блока задания коэффициентов уравнения, второй информационный выход которого соединей со вторым информационным входом первого интегросумматора, соответствующие шины маги> страли управления блока синхронизации. подключены соответст венно к входам кодовой установки значений блока задания ко эффициентов уравнения, к тактовому входу. переключения правого и левого краевых условий блока вычисления кра.евых условий искомой функции, дам тактирования, сброса и останова блока вычисления искомой функции и к управляющим входам второго коммутатора.

1640718

I !

1640718

ОЩ

ММ

1 640718

om

МУ

Выэа гэнэратара soka

Фиг. 5.

Нб ав — этап

II этап - этап

ПТ этап

pvt6, Составитель А.Королев

Редактор Г.Наджарян Техред,ц,0лийиык Корректор И,Иуска

Заказ 1265 Тираж 395 Подписное

ВНИКПИ Государственного комитета по изобретениям и открытиям при ГКНТ СССР

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

Производственно-издательский комбинат "Патент", r. ужгород, ул. Гагарина, 101