Устройство для кусочно-квадратичной аппроксимации функций

 

374622

ОП И Е,, ИЗОБРЕТЕНИЯ

Союз Соеетокиз

Социапистическиз республик

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Зависимое от авт. свидетельства №

Заявлено 28.XII.1970 (¹ 1603455/18-24) с присоединением заявки №

Приоритет

Опубликовано 20.111.1973. Бюллетень № 15

Дата опубликования описания 15.VI.:1973

М, Кл. G 06Q 7/28

Канитет по долее изобретений и открытий при Совете Министров

СССР

УДК 681.335.8 (088.8) Авторы изобретения

П. М. Чеголин, Г. И. Алексеев и А. Г. Ярусов

Институт технической кибернетики АН Белорусской ССР

Заявитель

УСТРОЙСТВО ДЛЯ КУСОЧНО-КВАДРАТИЧНОЙ

АППРОКСИМАЦИИ ФУН КЦИ Й

Предлагаемый кусочно-квадр атичный аппроксиматор относится к области автоматики и вычислительной техники.

Известные устройства для кусочно-квадратичной аппроксимации функций содержат цифро-аналоговый блок, вычисления полиномов, первый из входов которого соединен с выходом источника импульсов текущего значения аргумента, три цифро-аналоговых преобразователя (ЦАП) с парафазными выходами, резисторы и линии задержки. Однако эти устройства недостаточно точны.

Предлагаемое устройство отличается от известных тем, что в нем цифровой вход первого ЦАП соединен со входом кода ординат.

Аналоговые выходы преобразователя через резисторы подключены ко второму и третьему входам цифро-аналогового блока вычисления полиномов, а цифровой выход — к цифровому входу второго ЦАП. Вход установки в нуль соединен с выходом первой линии задержки, вход которой подключен ко входу установки в нуль второго ЦАП и к выходу второй линии задержки. Аналоговые выходы второго ЦАП подключены соответственно через резистор к выходу и непосредственно ко второму входу цифро-аналогового блока вычисления полиномов. Цифровой выход этого преобразователя подключен к цифровому входу третьего ЦАП, аналоговые выходы котороro присоединены к аналоговым выходам первого ЦАП, а его вход установки в нуль подключен ко входу второй линии задержки и дополнительному выходу цифро-аналогового

5 блока вычисления полиномов.

В результате применения такой схемы устройства повысилась точность аппроксимации.

На фиг. 1 изображена блок-схема описываемого устройства; на фиг. 2 — функциональная

10 схема цифро-; на фиг. 3 представлен график функции, поясняющий вывод уравнения аппроксимирующего полинома и определение значений коэффициентов А, В и С этого полинома.

15 Устройство (см. фиг. 1) состоит из цифроаналогового блока 1 вычисления полиномов вида j(x) =Ахз+Вх, ЦАП 2 4 линий 5 и б задержки и масштабных резисторов 7 — 9. Кроме того, устройство имеет вход 10 сигналов

20 кода ординат аппроксимируемой функции; ,вход 11, соединенный с выходом источника (на фиг. 1 не показан) импульсов текущего значения аргумента, выход 12 устройства, на котором получается аппроксимированная функ25; выход 18 сигнала, вырабатываемого блоком 1 и соответствующего концу очередного интервала аппроксимации; входы 14 и 15 блока 1, на которые подаются в виде напряжений коэффициенты А и В аппроксимирующего по30 линома.

374622

Функциональная схема цифро-аналогового блока 1 вычисления полиномов (см. фиг. 2) содержит аттенюаторы на резисторах 16 — 21 и 22 — 27, триггеры 28 — 80, включенные по схеме вычитающего счетчика (на фиг. 2 связи между триггерами не показаны), две группы ключей 81 — 88 и 84 — 86 и два развязывающих усилителя 87 и 88 с единичными коэффициентами усиления (например, усиленные эмиттерные повторители).

Цифро-аналоговый блок 1 (см. фиг. 1) предназначен для приема текущего значения аргумента х, задаваемого унитарным кодом, который поступает на вход 11; вычисления полиномов вида j(x) =Ах +Вх с учетом коэффициентов А и В, поступающих на его входы 14 и 15 в виде напряжений, а также для выработки сигнала конца очередного интервала аппроксимации и передачи его с выхода 18 на установочный вход ЦАП 4 и вход линии 5 задержки. Вход 11 подключается к источнику импульсов текущего значения аргумента. Вход

14 коэффициента А соединен с инверсным выходом ЦАП 8 и через масштабный резистор

7 — c п р я м ы мMи в bы х оoд а ми ЦАП 2 и 4. Вход 15 коэффициента В соединен через масштабный резистор 8 с другим прямым выходом ЦАП 4 и инверсным выходом ЦЛП 2. Выход 18 соединен со входом установки в нуль ЦЛП 4 и входом линии 5 задержки. Выход 12 блока 1 является одновременно выходом устройства, на котором получается результат аппроксимации, и через масштабный резистор 9 соединен с прямым выходом ЦАП 8.

ЦЛП 2 предназначен для приема кода очередной ординаты аппроксимируемой функции, преобразования его в парафазные (прямое и инверсное) напряжения, а также для передачи этого кода в ЦЛП 8 в моменты поступления импульсов с выхода линии б задержки.

Цифровой вход преобразователя соединен со входом 10 устройства. Вход установки в нулевое состояние подключен к выходу линии б задержки, а цифровой выход — к соответствующему входу ЦАП 8.

ЦАП 8 предназначен для приема кода ординат аппроксимируемой функции, поступающего с цифрового выхода ЦАП 2 при установке последнего в нулевое состояние, преобразования его в парафазные (прямое и инверсное) напряжения, а также для передачи этого кода,в ЦАП 4 в моменты поступления на его вход установки в нулевое состояние импульсов с выхода линии 5 задержки. Вход установки в нулевое состояние преобразователя 3 подключен к выходу линии б задержки, а цифро,вой выход — к соответствующему входу

ЦАП 4.

ЦАП 4 предназначен для приема кода ординат аппроксимируемой функции, поступающего с преобразователя 8, и преобразования его в пропорциональные синфазные (прямые) напряжения.

Линия 5 задержки предназначена для задержки импульса конца очередного интервала

4 аппроксимации, вырабатываемого блоком 1, на время, определяемое переходными процессами в ЦАП 4 при установке последнего в нулевое состояние.

Линия б задерживает импульс, поступающий на ее вход свы,хода линии 5 задержки, на время, определяемое переходными процессами в LIAR 8 при установке его в нулевое состояние.

10 Аттенюаторы (см. фиг. 2), состоящие каждый из резисторов двух номиналов (резисторы

18 — 21 и 24 — 27 имеют вдвое больший номинал, чем резисторы 16, 17 и 22, 28), предназначены для деления и суммирования напря13 жений, поступающих соответственно с ключей

28 — 80 и 81 — 38, и подключены своими звеньями (кроме резисторов 18 и 24) к их выходам.

Резисторы 18 и 24 подключены соответственно к выходам усилителей 84 и 85. Выход атте20 нюатора на резисторах 16 — 21 соединен со.входом 15 блока 1 и со входом усилителя 85. Выход другого аттенюатора подключен к выходу

12 устройства (см. фиг. 1). Ключи 22 — 80 одним входом соединены с выходом усилителя

25 84, а другим — к нулевой шине. Ключи 81 — 88 одним входом соединены с выходом усилителя

85, а другим — с нулевой шиной. Управляющие входы ключей 28 и 81 соединены с едиilf÷íûì,âûxoäoM триггера Зб, управляющие

30 входы ключей 29 и 89 — с единичным выходом триггера 87, а управляющие входы ключей 80 и 88 — с единичным выходом триггера 88 и ьыходом 18 сигнала блока 1.

Вычитающий счетчик (триггеры Зб — 88)

35 предназначен для приема импульсов кода текущего значения аргумента, поступающего на счетный вход триггера 86 младшего разряда этого счетчика, управления ключами 28 — 88 и для выработки на единичном выходе триггера

40 88 (выход 1З) импульса конца очередного интервала аппроксимации. Цифро-аналоговый блок 1 работает следующим образом.

Пусть на входе 14 имеется напряжение U, пропорциональное коэффициенту А, на входе

45 15 — напряжение U>, пропорциональное коэффициенту В, на выход 12 подано напряжение

U<, пропорциональное коэффициенту С, а в счетчике установлено число N =2P — 1 (p— разрядность этого счетчика). Тогда ключи

50 28 — 80 замкнуты на выход усилителя 84, а ключи 81 — 88 — на выход усилителя 85. При этом на,выходе аттенюатора на резисторах

16 — 21 и на входе и выходе усилителя 85 (при условии, что коэффициенты усиления напряжения усилителей равны единице) имеется напряжение вых)1ч — К Я1А N + -1А) + КаУВ з (1) 1А

60 где AU. —— — — напряжение, равное цене

Яр младшего разряда ЦАП, состоящего из аттенюатора на резисторах 16 — 21, ключей 28 — 80 и триггерного счетчика, Второе слагаемое в скобках формулы (1) — это напряжение, вно6s симое в результат преобразования звеном, 374622

<В

+ —2,,(2 -Л ) + (6) 10

U. /в = К ИУА + Ua), 20

/ /-/А (+ ll + ) + В

AUi4 Р т + 1) + Ua(Nln + ) — К в " (/Чт+ ) + () З0 вых/ iV где Л/.,/ = напряжение, равное вых/Ю 2р 35 цене младшего разряда ЦЛП, состоящего из аттенюатора на резисторах 22 — 27, ключей

81 — 88 и счетчика (триггеры 86 — 88). Beëè÷èна AU, равна также напря2кению, вно » 40 симому,в результат преобразования звеном, включающим резистор 24, подсоединенный к выходу усилителя 86;

Кз и К4 — коэффициенты пропорциональности, определяемые внутреннимп сопротивлениями Rv и Rc аттенюатора на резисторах 22—

27 и источника напряжения Uc. При Rvl=Rc ——

=PA —— Rll имеем Кв — — К4 — — К. B этом случае формула (3) имеет вид

Usb1x/// = К (с1А + Ua) + KUc (4) 50

Если в счетчике установлено число V:— — N,. (0

22 — 27 подключаются на выходу усилителей

84 и 86 только теми звеньями, на ключи которых поданы с триггеров 86 —:88 единичные потенциалы, соответствующие единицам кода числа У вЂ” N., При этом напряжение на выходе аттенюатора на резисторах 16 —:21 и на входе и выходе усилителя 86 будет

ЕУвых/у /l/ = К (МУА (2" — Ух) + 1В1, (5) а на выходе 12

yl 1 — А-2" — В.2 +С

y„=C

yl 1 — А 2 р+ В.2/ + С (9) откуда

У/ 1+ У/41 Vl

2.2 /

В= + гг (10) С=у,.

С учетом формулы (10) уравнение аппрок65 симирующего полинома для участка аппроксивключающим резистор 18, подключенный к выходу усилителя 84 и равное цене младшего разряда. К1 и К вЂ” коэффициенты пропорциональности, величина которых определяется внутренними сопротивлениями R, и Ra источников напряжений U, и Ув. При R. =Rь 1 имеем К1 —— К =К= —, а формула (1) имеет

2 вид 1вых/> = (QUA (Nlll+ 1) + U> t =

: К (UA + 1В ) ° (2) Поскольку ключи 81 — 88 замкнуты на выход усилителя 86, а на выход 12 подано напряжение Uc, то на выходе 18 будет напряжение

1 1 живых/М„, — Кз (/ ./вых/А/„, Л/щ + А Г1вых/Л,в ) +

/ / А (/" "

+K Uc КК, Л/ +

+ К4Ус — ККв (с/А + с/В) + K4 с з (3) /А

U, дч -, = К*, (2> — N„) +

Наконец, если Л вЂ” N,.=О, то все триггеры счетчика установлены в нулевое состояние и все звенья аттенюаторов на резисторах 16 — 21 и 22 — 27, кроме резисторов 18 и 24, подключены к корпусу (земляной шине). В этом случае соответственно формуле (б) имеем: в / А /В

U, =- K — + — +Ко,.

2.Р

Таким образом, при изменении числа в счет чике (триггеры 86 — 88) от Л до нуля на пряжение U»„x на выходе. 12 цифро-аналого. вого блока вычисления полиномов изменяется по ступенчато-параболическому закону от веЛИЧИНЫ У„в.х/Х „, дО ВЕЛИЧИНЫUBIIx/O СООтВЕтСтвенно числу в этом счетчике.

Перед тем, как перейти к описанию работы кусочно-квадратичного аппроксиматора определим коэффициенты уравнения /(х) =Ах-+

- -Вх+С аппроксимирующего полинома для произвольного (например, от х; l до x;4.l) участка аппроксимации (см. фиг, 3), исходя из условия, что аппроксимирующая кривая должна проходить через равноотстоящие ординаты у; 1 — f(x;;l), y„=f(xl), yl+l — — /(х;+1), а начало координат расположено в точке (х;, О), т. е. будем считать, что х;=О. Подставив координаты каждой точки в исходное уравнение, получим систему уравнений для определения коэффициентов А, В и С:

2 у/ 1 — Ах/ 1+ Bxl 1+ С, у, = Ах/ + Вх, + С

2 у; . 2 — АХ; 1 + ВХ/ -,-1 + С

Если поставить в соответствие аргументу х; 1 число — (Л +I) = — 2>, аргументу х; 1— число Л"„+1=21, то система уравнений (8) будет записана следующим образом:

374622

7 мации между i — 1-ой и i+1-ой ординатами оудет иметь вид где 0(Ж,.(N — номер дискретного приращения аргументов на участке между 1 — 1-ой и i-ой ординатами аппроксимируемой функции.

Аппаратурная реализация цифр о- аналогового кусочно-квадратичного аппроксиматора упрощается, если его выполнить по формуле

У! — 1+ У!+1 У, +

8 16,2в!л (х — (2р у )+ У, (12)

16 2Р х 8 полученной путем умножения левой и правой частей уравнения (11) на постоянный коэф1 фициент, равный —.

Устройство, представленное на фиг. 1, работает согласно формуле (12) следующим образомм.

В исходном состоянии в вычитающем счетчике (триггеры 86 —:88) установлено максимальное число И=2/ — 1, а в регистрах цифро-аналоговых преобразователей 2, 8 и 4 соответственно установлены коды i+1-ой, i-ой, i — 1-ой ординат аппроксимируемой функции.

В режиме холостого хода (при отключенных выходах ЦАП 2 — 4) на прямом и инверсном выходах ЦАП 2 соответственно имеются напряжения Ul+I и — U;+I, на прямом и инверсном,выходах ЦАП 8 — напряжения U„— U„, а на обоих прямых выходах ЦАП 4 — напряжения U; l, соответствующие вышеупомянутым кодам.

В рабочем режиме (при подключенных нагрузках) от воздействия вышеуказанных напряжений на прямых выходах соединенных

ЦАП 2 и 4 имеется суммарное напряжение, равное

Uz — 1+ Uz+1

; на инверсном выходе ЦАП

2, соединенном с другим прямым, выходом

Uz — 1 — Uz+1

ЦАП 4, — напряжение, равное +; на входе 14 блока 1 (с учетом величины масштабного резистора 7, равной — """, где

R»» выходное сопротивление ЦАП, используемых в устройстве) — напряжение

Uz l + /!+1

2 /! А—

1 на входе l5 блока 1 (с учетом величины масштабного резистора 8, равной †" и сопро2 резисторах тивления R„,„- аттенюатора на

16 —:21) — напряжение

Ui 1 + /!+1

В= 4

5 а на выходе 12 устройства с учетом сопротивления R„, аттенюатора на резисторах 22 —:27 и величины масштабного резистора 9, равной

2Р,„,х, имеется напряжение

10 у

Согласно формуле (4), выходное напряжение аппроксиматора в этом случае будет равно

U! — 1 + //!-/1

1 2 вых///,ц 4

2 2 / /!

2в/ + /!-1 — /! +1. Ui /! — 1

20, + . — + р+

4 42Р 2 4 8

По мере заполнения счетчика (триггерь/

86 —:88) .импульсами текущего значения аргумента Л/,-=1, 2,...., N, число в нем, равное

N — У„уменьшается, а напряжение на выходе 12 изменяется по закону, определяемому формулой (б). Так, при N,. 1 число в счетчике равно N» 1, а напряжение на выходе 12 будет

Ui 1+ Ui+I

1 2

4 2 2 Р

U; (2 — 1)в+

+ — + (2 — 1) + /!-1 — /!+1

4 4.2Р

Uz

+ 8 8 + вых/М вЂ” 1, 40 (см. фиг. 3) и т. д.

Наконец, при Ух=У имеем

U, 1 + У!

1 2

4 2 2 Р

/! — 1 !- 1 Uz

+ 4 4.2Р 8 8

Ui 7вых/о °

Таким образом, при изменении числа в счетчике блока 1 от N до нуля напряжение на выходе 12 аппроксиматора изменяется но стуПЕНЧатО-ПарабОЛИЧЕСКОМу ЗаКОНу ОТ 1./вых/Х„,=

Ui до живых/в= — Левых/в, т.. е. на инU!

55 тервале (i — 1, i+1) изменения аргумента имеет место кусочно-квадратичная аппроксимация. С поступлением на вход 11 следующего импульса текущего значения аргумента

60 (i — 1, i+I) интервал аппроксимации заканчивается, а в счетчике (триггеры 86 — 88) вновь устанавливается число N . Одновременно единичный потенциал с единичного выхода триггера 88 старшего разряда счетчика (с выхода

65 И блока 1) поступает на вход установки в

10 нуль ЦАП 4, устанавливая триггеры регистра последнего в нулевое состояние. Через промежуток времени, определяемый линией 5 задержки, в нулевое состояние устанавливаются также и триггеры регистра ЦАП 8.

Код i-ой ординаты аппроксимируемой функции заносится при этом в триггерный регистр

ЦАП 4.

Затем с выхода линии б задержки в нулевое состояние устанавливаются триггеры регистра

ЦАП 2, а код i+1-ой ординаты аппроксимируемой функции поступает в триггерный регистр

ЦАП 8.

После установки триггерного регистра ЦАП

2 в нулевое состояние на вход 8 устройства, т. е. в регистр ЦАП 2, поступает код очередной

i+2-ой ординаты апп роксими р уемой функции.

По окончании переходных процессов в регистрах ЦАП 2 — 4 соответственно устанавливаются коды i+2-ой, г+1-ой и г-ой ординат следующего, т. е. (i, i+2) интервала аппроксимируемой функции. При этом от воздействия напряжений с выходов ЦАП 2 — 4, пропорциональных кодам i+2-ой, i+1-ой и i-ой ординат, на прямых выходах, соединенных вместе, ЦАП

2 и 4 устанавливается суммарное напряжение, i+ +i-+-2 равное : на инверсном выходе ЦАП 2, 2 соединенном с другим прямым выходом ЦАП

+i /Е -2 .

4, — напряжение, на выходе 14 олока

2 г

+i+ Ut+2

1 — напряжение U> + Ui+>, на выг

Ut+2 ходе 15 блока 1 — напряжение UB г а на выходе 12 устройства — напряжение U< ——

Ul-1 . В этом случае, согласно формуле(4), 4 выходное напряжение аппроксиматора

У /вых/ =, т, е. соответствует i-ОЙ Ордина8

40 те следующего (i, i+2) интервала аппрокси. мации.

При заполнении счетчика блока 1 импульсами текущего значения аргумента на выходе

12 вновь получаем напряжение кусочно-квадратичной формы, соответствующее (i, i+2) интервалу апп роксими р уемой функции.

На всех последующих интервалах работа устройства аналогична описанной.

Предмет изобретения

Устройство для кусочно-квадратичной аппроксимации функций, содержащее цифро-аналоговый блок вычисления полиномов, первый из входов которого соединен с выходом источника импульсов текущего значения аргумента, три цифро-аналоговых преобразователя с парафазными выходами, резисторы и линии задержки, отличающееся тем, что, с целью повышения точности аппроксимации, в нем цифровой вход первого цифро-аналогового преобразователя соединен со входом кода ординат, его аналоговые выходы подключены через резисторы ко второму и третьему входам цифро-аналогового блока вычисления полиномо цифровой выход — к цифровому входу второго цифро-аналогового преобразователя, а вход установки в нуль соединен с выходом первой линии задержки, вход которой подключен ко входу установки в нуль второго цифро-аналогового преобразователя и к выходу второй линии задержки; аналоговые выходы второго цифро-аналогового преобразователя подключены соответственно через резистор к выходу и непосредственно ко второму входу цифро-аналогового блока вычисления полиномов, а его цифровой выход — к цифровому входу третьего цифро-аналогового преобразователя, аналоговые выходы которого присоединены к аналоговым выходам первого цифро-аналогового преобразователя, а его вход установки в нуль подключен ко входу, второй линии задержки и к дополнительному выходу цифро-аналогового блока вычисления полиномов.

374622 х .г х, Составитель А. Маслов

Редактор Н. Джарагетти Техред 3. Тараненко Корректор E. Михеева

Заказ 1654/5 Изд. № 355 Тираж 647 Подписное

ЦНИИПИ Комитета по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР

Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

Типография, пр. Сапунова, 2