Устройство для вычисления корней квадратного уравнения

 

О П И С А Н И Е 999060

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Союз Советскнк

Соцналнстнческнк республик (61) Дополнительное к авт. санд-ву " (22)Заявлено 18.12.80 (21) 3219214/! 8"24 (53)М. Кл.

6 06 F -15/32 с присоединением заявки М

Гасударственные квинтет (233Прноритет

СССР

Опубликовано 23. 02 . 83. Бюллетень М 7 аа девам вэебретевнк н открытий (53) У,П,К681,32 (088. 8) Дата опубликования описания 23.02.83 инженеров гражданскои авиации (S4) УстРоиство для вцчислкния коРнкй квАдРАтного

УРА8НЕНИЯ

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть применено автономно и в системах "авто матического управления динамическими объектами или технологическими процессами.

Известно устройство для вычисления корней, содержащее счетчик результата, ключ, генератор импульсов, триггер, делитель, элементы И, ИЛИ и двоичные умножители (1 ).

Недостатком этого устройства является низкое быстродействие и огра= ниченные Функциональные воэможности.

Наиболее близким по технической сущности к изобретению является устройство, содержащее (n-1)-ю группу последовательно соединенных одноразрядных сумматоров, где n - разрядность выходного кода, группу сумма" торов по модулю два, группу элементов ИЛИ, группу элементов НЕ,(n-2) дополнительных групп из i сумматоров по модулю два, причем выход каждого

j - го одноразрядного сумматора (ъ+1) "й группы соединен с первым входом (j1)-го одноразрядного сумматора i -й группы, а выходы сумматоров по модулю два 1-й дополнительной группы сое5 динены со вторыми входами 1-х одно-, разрядных сумматоров i é группы 12

Недостатком известного устройст- ва является относительно низкое быстродей ст вие, Целью изобретения является повышение быстродействия.

Указанная цель достигается тем, что в устройство для вычисления корней квадратного уравнения содержа щее (n-1)-ю группу последовательно соединенных одноразрядных сумматоров, где n - разрядность выходного кода, по (2+i)- в каждой i-й rpynne (i =1,2,...)n-1), дополнительно введены одноразрядный сумматор, п групп последовательно соединенных одноразрядных сумматоров-вычитателей по (n+2) в каждой -k-й группе (k=l,2..., 9060

3 99

n) n-ю группу из и последовательно соединенных одноразрядных сумматоров и генератор единиц, причем вы ход каждого 1-го (l=1,2,...,n+2) одноразрядного сумматора — вычитателя k-й группы соединен с первым входом (l-1)-го одноразрядного сумматора- вычитателя (k+1) -й, группы, вторые входы одноразрядных сумматоров-вычитателей которой объединены и подключены к входу переноса (n+

2)-го сумматора-вычитателя этой же группы, первому входу k-ro одноразрядного сумматора и-й группы, выхо-. ду переноса первого одноразрядного сумматора- вычитателя k-й группы, пер- вым входам j-x. (при j=k) одноразрядных сумматоров i-й (при =k) группы, первым входам (2+ i-1 ) -х и (2+ i -2) -х одноразрядных сумматоров соответст.венно i-й группы и i-ой группы, начиная с i=2, и. к входу k-го разряда первой входной шины, выход переноса первого и выход суммы каждого

j"-ro (j=1,2,...,2+1) одноразрядного сумматора i é группы соединены соответственно с третьим входом первого и третьим входом (j+1)-го одноразрядного сумматора- вычитателя (k+1) -й группы, первый вход одноразрядного сумматора, выходы переноса и суммы которого подключены к третьим входам

- соответственно второго и третьего одноразрядных сумматоров-вычитателей первой группы, соединен с вторым, входоМ второго одноразрядного .сумматора каждой 1-й группы, вторым .входом первого одноразрядного сумматора и-ой группы и выходом первого разряда первой входной шины, выход каждого (k+1)-го разряда которой подключен к третьему входу (1+3}-ro (при- 1=k). одноразрядного сумматора-вычитателя каждой k-й группы (k=1,2;,...,k), к второму входу (2+i)-ro (при i=k) одноразрядного сумматора каждой i é группы (i=k, k+1, .,n-1) и второму входу (k+1)-го одноразрядного сумма тора п-й группы, подключенного своим выходом к (k+1)-му разряду выходной шины, вход старшего и первого разрядов которого соединен с выходом переноса суммы первого одноразрядного сумматора этой же группы, второй выход (2+i- 1)-ro одноразрядного .сумматора i-й группы соединен с третьим входом (2+i-2)-го и (2+i-1)-го одноразрядного сумматора (i+1)-й груп пы, первый вход (2+1)-го одноразряд4 ного сумматора которой и первыи и третий входы третьего и второго одноразрядных сумматоров первой группы. второй и третий входы одноразрядного сумматора и первого сумматора-вычитателя первой группы соединены с ну левой шиной устройства, вторые входы каждого одноразрядного сумматоравычитателя первой группы объединены

l0 и подключены к выходу генератора единиц и входу переноса (и+2)-ro одноразрядного сумматора-вычитателя этой же группы, а первые входы каждого

1-ro и (n+2)-го одноразрядных сумма15 торов-вычитателей соответственно первой и (i+1)-й групп соединены с соответствующими разрядами второй входной шины.

Причем каждый одноразрядный сум20 матор- вычитатель содержит одноразрядный трехвходовый сумматор и сумматор по модулю два, выход которого под-ключен к первому входу однрразрядного сумматора, второй вход которого

25 .и первый и второй входы сумматора по модулю два являются соответственно первым, вторым и третьим входами сум- матора-вычитателя, вход и. выход пе-. реноса которого подклЮчены к третьему входу и выходу переноса одноразрядного трехвходового сумматора.

Причем (2+1-2)-й одноразрядный сумматор каждой (i+1)-й группы содержит одноразрядный трехвходовый сумматор и элемент ИЛИ, подключенный своим выходом к первому входу одноразрядного сумматора, второй вход которого и первый и второй входы элемента ИЛИ являются соответственно вторым; первым и третьим входами.

На фиг, 1 приведена схема устрой.ства для вычисления корней квадрат.ного уравнения..для случая, когда

n=5", на фиг. 2 - схема (2+i 2)-го одноразрядного сумматора каждой (i+

1)-й группы на фи.г. 3 - схема одноразрядного сумматора-вычитателя.

; Устройство (фиг, 1) содержит (и-1)

1-руппу 1 последовательно соединенных одноразрядных сумматоров по (2+i) в каждой 1-й группе (i=1,2,...,п-l), и групп 2 последовательно соединенных одноразрядных сумматоров вычита телей по (n+2) в каждой k-й группе (k=1 2,...,n) n-ю группу 3 из п последовательно соединенных одноразрядных сумматоров, одноразрядный сумматор

4, генератор 5 единиц, первую входS 999060 ную шину 6, вторую входную шину 7„, носа первого одноразрядного суммато .(r=0,1,2,...,2n), первую выходную ра 10 и выход суммы каждого 1-го шину 8> и вторую выходную шину 9 (s (jl 2,;.,2+j) одноразрядного сумма =0,1,2,...,п). Каждая 1-я группа тора 10, 11 и 12 при j2>iт2 и j= выполнена, например, на (2+i ) после- 5 2+1-1) соответственно 1-й группы 1. довательно соединенных одноразрядных соединены соответственно с третьим сумматоров 10, (2+i-2)-го однораз" входом первого одноразрядного суммарядного сумматора 11 в каждой (1+1)-й тора-вычитателя 13 и третьим входом

:группе 1 и (2+i-1)-го одноразрядно- . (j+1)-ro одноразрядного, сумматора ;го сумматора 12 в каждой i-й группе 1в вычитателя 13 (k+1)-й группы 2. Ilepl. К-я группа 2 выполнена, например, - вый вход одноразрядного сумматора 4, из последовательно .соединенных од- выходы переноса и суммы которого под-. норазрядных сумматоров-вычитателей. ключены к третьим входам соответст13 ° Каждый (2+1-2)-й одноразрядный венно. второго и третьего одноразрядсумматор 11 (фиг. 2) выполнен, на- >> ных сумматоров-вычитателей 13 первой пример, из одноразрядного трехвхо- . группы 2, соединен с вторым входом . дового сумматора 10 и элемента ИЛИ 14, второго одноразрядного сумматора,11 подключенного своим выходом. к перво- второй группы 1, вторым входом атому входу одноразрядного сумматора 1О, Рого одноразрядного сумматора 10 кажвтоРой вход которого и первый и вто- 0. дой 1-й группы, вторым входом перворой входы элемента ИЛИ 14 являются . го одноразрядного сумматора 10 и-й соответственно вторым, первым и тре- группы 3 и выходом первого разряда тьим входами. Одноразрядный сумматор- 6, первой входной шины 61 . Выход кажвычитатель 13 (фиг. 3) выполнен, на- дого (к+1)-го-: разряда первой входпример., из одноразрядного"трехвходо- 25 ной шины 6 g подключен ктретьему входу вого сумматора 10 и. сумматора 1 по (!+3)-ro (при 1=k) одноразрядного суммодулю два, подключенного своим выхо- матора-вычитателя 13 k-й группы 2 . дом к первому входу одноразрядного (при k=1,2,;...k), к дторому входу сумматора 10,. второй вход которого и (2+i)-го (при !.=k) одноразрядного первый и второй входы сумматора 15- Зф .сумматора 10, одноразрядного суммапо модулю .два являются соответствен- . тора 12 (при. I k+1) одноразрядноно первым, вторым и третьим входами го сумматора 11 (при i=k+2) и одноодноразрядного сумматора - вычитате-- разрядного сумматора 10 (лри j=k+3,... ля 13. Вход и выход переноса однораз- и-1) каждой i-й группы 1 (i=k, k+1>

Рядного.сумматора-вычитателя 13 под- З .п-1) и второму входу (k+1)-го одноключены к третьему входу и выходу пе- разрядного -сумматора 10 n-" группы 3 . Реноса одноразрядного трехвходового . Выход переноса первого одноразрядносумматора 10.. Выход каждого 1-го го сумматора 10 и выход суммы каждо(=,,...,n 2) одноразрядного сум- го k-го одноразрядного сумматора 10 ,l=l 2 ... и+2) о н и ателя 13 ь. и группы 2 и-и группы соединены соответственсоединен с первым входом (1-1)-го но с входом старшего (целого) разодноразрядного сумматора-вычитате- ряда 90 и k-го разряда второй выходля 13 (к+1)-й группы 2. Вторые входы ной шины 9, Второй выхо f2 -1)1 д ор ряд ых сумматоров-вычитателеи .;одноразрядного суммат .12

3 каждой (k+1)-й группы 2- обьеди- пы 1 соединен с тр о сумматора -ои групсоединен с третьими входами (+ нены и подключены к входу переноса +i -2) - го (2+ i -1 ) - го одноразрядных ° (n+2)-ãî сумматора-вычитателя 13 сумматоров 11 и 12 (i+1)-й группы (k+1)-й группы 2, первому входу k-го 1. Первый вход (2+t)-ãî одноразрядодноразрядного сумматора 10.группы ного сумматора 10 i-й группы 1 и

3, выходу переноса первого однораз- третий вход одноразрядного сумматорядного сумматора-вычитателя 13 k-й ра 12 первой группы 1, а-также вто.группы 2, первым входам j-х (при j=k) рой и третий входы одноразрядно- . одноразрядных сумматоров 13 каждой ro сумматора 4 и первого сумматораi-й (при i k) группы 1, первым вхо- вычитателя .13 первой группы 2 соедида (2 1-1)-х и (2+1-2)-х однораз- иены .с нулевой шиной устройства. . Рядных сумматоров 12 и 11 соответ". Вторые входы каждого сумматора-вычи" ственно i-й группы 1 и i "é группы 1, тателя 13 первой группы 2 объединены начиная с i+2 и к входу k-го разря- и подключены к выходу генератора 5 да первой входной шины 8 . Выход пере- единиц и входу переноса (и+2)-го од9990бО где ч

Ъ=

3 VX 1 2... и Оч

X х Х разрядов 70 7 1 7р+ ° 72п второй входной вины 7, Первые входы

t разрядные векторы представляющие со(2+1)-го одноразрядного сумматора 10 бой разрядные изображения чисел Ь, x,Q -й группы 1 и вторpй вход однораз- )Q соответственно рядного сумматора 4 выполнены в виде инверсных.

Работу предлагаемого устройства для вычисления корней квадратного уравнения 15

2. X = х +ax+b=0, (1) при а ) О., b < О, представленного в . разрядной форме в виде

b-(хх+ах) =О, 20

Запишем выражение 1 в развернутом виде для случая, когда n=5 поясним на конкретном примере, 5

8

9 о

0 мажет быть представлен в виде

Процесс нахождения разрядов искомого разрядного вектора х норазрядного сумматора- вычитателя

13 этой же группы. Первые входы каж. дого 1-ro и (n+2)-го одноразрядных сумматоров-вычитателей 13 соответственно первой и (i+1)-й групп соединены с выходами соответствующих о

О

1 о

2 а

3 о

- разрядные матрицы, представляющие собой разрядное изображение хи а при п=3.

9 19060

9 и „„ f =

-2 f =0 (6}

Р - 0 01«« а(=10 11 010 а =10 110

1 чц) а =100110 ч (2) .И 1 1 О 0 О О

Ь ф

1, x=0 ч (2.!

Ь =1100001 ч (2) а =01011 1 О

2) ч

ol= 10110

11 (

Ъ = 000111 1

2 3(2i 2, Ф, э, э +1 где x =x, х =хч х, х =хчх, x=x чх, 1 -1 9 ° ° ° фп Каждый i-й разряд k искомого вектора Зв

v х определяется по выражению

0+1)

X»= при

0 Ф "" =,0 1=12...,п, где fllt1)-. значение переноса из стаР- ЗЭ шего разряда разрядного векч 6+1 тора Ь +1), определяемого на основании выражения (ice) « (v(i)i

Е()- величина, принимающая значения ч(4)

При 1=1, Ь Ы, =-2, а векторы а ач<") g(2) а< ) в соответствии с (,3) равны t ч(1) 1 2 3 4 5

6 = О 0+1 cl cl а cl

„.Второй корень х2 квадратного уравне ния (,1) определяется по выражению

10 о

1 о

2 о

0

f

6 о

7 о

8 о

9. о х+х =-а, что представляется в виде сумин вычисленного по выражениям (3-6) ч - v значения х и а, т.е. х2=-(х+а). (1)

Рассмотрим вышеизложенное на конкретном примере значений а=0,6875, b=

=-О, 355)) 921875 и соот ве тст венно х„=0, 3)) 375 и х 2=-1,0 3125 или в разрядной форме a= 1 0 1 1 0 ч t

Ъ=о 0101101 0 11

И Х =01011 )(=10001

0 12 ряда 81- первой выходной шины 8 образуется зна: ение второго разряда

2 ч х1 вектора х1. Далее аналогичным образом на выходах третьей, четвертой

s и пя той групп 2 одноразрядных сумматоров-вычитателей 13 в соответствии с (5 ) образуются векторы Ь, Ь, b а на выходах переносов их старших разрядов и соответственно на разря- дах 8Э, 81, 85 выходной шины 8> по выражению (4) — значения разрядов у ч х, х„, х1 вектора х . И, наконец, на выходах одноразрядных сумматоров

10 и-й группы 3 и соответственно разрядах 9О, 91...,9 второй выходной шины 9 по выражению(8 1 образуются. о значенйя разрялов х, x,,х,. „.,х второго корня Х2 квадратного уравч нения (1 ). Для вычисления квадрат-. ного корня х=ГЬ необходимо на первую входную шину 61 подать нулевой

v си гнал, т, е, a=0, а на вторую входную шину 7 — значение Ь. После окончания переходного процесса в схеме, на выходной шине 8 1 и соответственно

9> в соответствии с выражениями (4-7) ай ало ги чно вышеописанному образуютч ч ся модули значений х и х2.

Использование новых элементов, а

0 также новых связей между ними,. отличает предлагаемое устрой ст во от известного, так как в предлагаемом устройстве существенно увеличено быстродействие, которое определяется временем переходного процесса в схеме благодаря тому, что устрой ство я вляется комбинационным. Благодаря этому результат вычисления двух корней квадратного уравнения реализуется за один такт, Этот факт способствует применению предлагаемого устройства в вычислителях, реализующих вычисли3 тельный процесс в натуральном масштабе времени, например, управления технологии ческими процессами, динамичес- кими объектами в режиме их нормального функционирования.

9990б ч

Ь = 0 О 11.1 1 0 ч (3)

О = 101011 0

Ъ) с1= 1 0.11 0

101 и(1 01010 (4)=(11101 О О

1 з

X=0 ч (4

Ъ =11 01 001 1р с(=011000O а = 1 011 0

11 01

$ 4>=1 1 0000 (5)=(00 II 0 01

4

Х=1

o i=10 110 Ь =0 11 0011 ч(ц

10 101 ч (й1 Р, 0„„„ ч ®=1.0 1 01 1 . ч(6)

= 110 00 1000

Х = 1

Ч

Значение х в соответствии с (8)полу- 2g

2 чим а=10110 ч

X „=Î1 011

Х =1,0 0 0 0.1

Формул а и зобре тени я

Устрой ст во для вычи сления корней квадратного уравнения работает следующим образом.

При подаче на первую входную шину б.1 значения разрядов а, а,...,а век2 Л тора а и на вторую входную шину 7н о 2н .соответственно разрядов Ь, b, Ь,..., Ь ч вектора > Ь и после окончания переходного процесса в схеме на выходах одноразрядных сумматоров-вычитателей

13 первой группы 2 в соответствии с (5 ) образуется значение вектора.1., поступающее на первые входы одноразрядных сумматоров-вычитателей 13 второй группы 2. На выходе переноса первого одноразрядного сумматора-вычитателя 13 первой группы 2 по выражению (4 ) и соответственно первом разряде 8 1 первой выходной шины 81

1 образуется старший разряд х искоч

1 мого вектора х1. В результате суммы в одноразрядных сумматорах- вычитате-. лях 13 второй группы 2 значений векч (21 тора о и вектора а,, поступающего из одноразрядных сумматоров 10, 11 и 12 пере и группы,:1; образуется вектор. Б, а на выходе второго раз1. Устрой ст во для вычи сления корней квадратного уравнения, содержащее (n-1) -ю группу последовательно соединенных одноразрядных сумматоров где n - разрядность выходного кода, по (2+1).-a каждой 1-й группе (i = 1, 2, ° ..,n-1), отли чающее ся тем, что, с целью повышения быстро13 < 9<1 0 с первым входом (1-1)-го одноразрядного сумматора - вычитателя (k+1)-й группы, вторые входы одно- разрядных сумматоров-вычитателей которой объединены и подключены к вхо- 15 ду переноса (n+2)-го сумматора-вычитателя этой >ке группы, первому. входу к-го одноразрядного сумматора и-й группы, выходу переноса первого одноразрядного сумматора- вычитателя

k-й группы, первым входам =х, (при

j=k) одноразрядных сумматоров каждой

i-й (при i=к) группы, первым входам (2+i-1)-х и (2+i-2)-х одноразрядных . сумматоров соответственно i-и группы 25

20 и i -ой группы, начиная с =2, и квходу k-го разряда первой входной вины, выход переноса первого и выход суммы каждого j - го (j 1, 2,..., 2+1 ) . одноразрядного сумматора 1-й .груп- зо пы соединены соответстВенно с третьим входом первого и трет.ьим входом (j+

1)-го одноразрядного сумматора-вычи-. тателя (<+1)-й группы, первый вход одноразрядного сумматора, выходы переноса и суммы которого подключены к третьим входам соответственно второго и третьего одноразрядных сумматоров-вычитателей первой группы,.соединен с вторым входом второго однораз-® рядного сумматора каждой -й группы, вторым входом первого одноразрядного сумматора и-й группы и выходом пер вого разряда первой входной шины, выход каждого (к+1)-го разряда кото45 рой подключен к третьему входу (1+

3)-ro (при 1=<) одноразрядного сумматора а- вы чи тат еля каждой k-й группы (k=1,2,..., k), к второму входу (2+

i ) - ro (при 1=1 ) одноразрядного сумматора каждой i-й группы(i=k, k+1, . ° ., и-1) и второму входу (k+1)-го одноразрядного сумматора и-й группы, подключенного своим выходом к (k+1)-му разряду выходной шины, вход старшего и первого разрядов которого соединен с выходом переноса суммы пердействия, в него введены одноразрядный сумматор, и групп последовательно соединенных одноразрядных сумматоров-вычитателей по (п+2) в каждой -й группе (k.=1,2, ...,ï); и-ю группу % из п пЬследовательно соединенных одноразрядных сумматоров и генератор единиц, причем выход каждого 1-го (1=1,2,...,n+2) одноразрядного сумматора - вычитателя k-й группы соединен >В

60 14 вого одноразрядного сумматора этой же группы, второй выход (2+i-1)-ro одноразрядного сумматора i é группы соединен с третьим входом (2+ i-2)-ro и (2+i-1) го одноразрядного сумматора (i+1)-й группы, первый вход (2+i)-го одноразрядного сумматора которой и первый и третий входы третьего и второго одноразрядных сумматоров первой группы, второй и третий входы одноразрядного сумматора и первого сумматора-вычитателя первой груп. пы -соединены с нулевой шиной устройства, вторые входы каждого одноразрядного сумматора-вычитателя первой груп пы объединены и подключены к выходу генератора единиц и входу переноса . (и+2)-ro.одноразрядного сумматора-вычитателя этой же группы, а первые, входы каждого 1-го и (л+2)-ro -одноразрядных сумматоров-вычитателей соответственно первой и (1+1)-й групп соединены с .соответствующими разря- . дами второй входной шины. .2..Устройство по и. 1, о т л ич а ю щ е е с я тем, что, каждый одноразрядный сумматор-вычитатель содержит одноразрядный трехвходовый сумматор и сумматор по модулю два, выход которого -подключен к первому входу .одноразрядного сумматора, второй вход которого и первый и второй входы сумматора по модулю два яваяются, соответственно первым, вторым и третьим входами сумматора-.вычита- . теля, вход и выход переноса которо,:го подключены к третьему входу и выходу пеоеноса одноразрядного трехвходового сумматора.

3. Устройство по.пп. 1 и 2, о тл и ч а-.ю щ е е с я тем, ч то, (2+I-2)-й одноразрядный сумматор каждой (i+1)-й группы содержит;одноразряд" ный трехвходовый .сумматор и элемент

ИЛИ, подключенный своим выходом к первому входу одноразрядного .сумматора, второй вход которого и первый и второй входы элемента .ИЛИ являются соответственно вторым, первым и. . трет ьим входами ..

Источники информации, принятые во внимание при экспертизе

1. Авторское свидетельство СССР

N 710039, кл. G 06 F 7/38,. 1980.

2. Авторское свидетельство СССР

N 857981, кл. G 06 F. 7/38, 1980

{прототип).