Способ инструментального определения корней полинома

 

Класс ф2Я, ) P № 140236

СССР

1

t

oRHcAHHE изоБМт ни

И АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

17одписная группа Ло 1бб

М. М. Манзон

СПОСОБ ИНСТРУМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ

ПОЛИНОМА

Заявлено 2 декабря 1960 r. за № 687678126 в Комитет по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР

Опубликовано в <,Бюллетене изобретений» № 15 за 1961 г.

Известны способы инструментального определения корней полинома

По одному из них определение корней производят следующим образом.

Необходимо вычислить значение полинома:

Р(z) =- a>z" + а,z" t- +а„я+а„+ .

Подставляя

z ol iq где р — модуль; р — аргумент, и, отделяя вещественную и мнимую части результата, получают

Р(z) = v —, /и, где

v ==- а,р" cosny -1 а р cos(n — 1)

w одновременно обращаются в нуль. Эти значения р и <р и являются корнями.

11редлагаемый способ отличается от известных тсм, что, с цель1о его упрощения, вычисление значений корней полиномя производится путем подачи последовательности импульсов на линейную колебатель ную систему второго порядка. № 140236

По предлагаемому способу производят замену переменных

6 р = l; 8.=— -- leo, и получают п8 (и — n 8

U= а,1 cosпу —, а,1 cos(п — 1) р+ .. +a„l cosy j-an+<, п . (и — 11

we = а,l sinnrp+ a,l sin(n- 1) <р-(-.. + а,l sing+0. (2) Допустим, на линейную колебательную систему второго порядка действует последовательность импульсов с периодом следования т.

Амплитуда первого импульса пропорциональна а1, второго— ао... и последнего а„+ Импульсы могут быть любой формы, но одинаковой в последовательности.

Реакция линейной колебательной системы на внешнее воздействие после его окончания представляет собой свободные колебания, частота и затухание которых определяются параметрами системы, а амплитуда этих колебаний пропорциональна амплитуде внешнего воздействия.

Реакция системы на первый импульс при надлежащем выборе начала отсчета времени имеет вид:

U,„(t) =- а,l cos

+ а l соз

8(n — 1)

cos

3 «3

t. =- и -. -< — -- n ;. — Т

2 <о 4 равна

3 " -оп-.

Г,„а —,, — Т вЂ” l а<1 sin

2-. и а = — (Т вЂ” период свободных колебаний системы).

Т

После прихода серии импульсов выходное напряжение (реакция системы) имеет вид:

U,„(t) =-= a,l cos< t j- а,l () cosа(t-- ) -j — o (t — 2 ), — о (t — пт)

+а,l cos (t 2с) -, . 1 a„„< l сова(t — ас).

Величина выходного напряжения в момент времени t,— — а-. равна № 14023б

Таким образом, если воздействовать на линейную колебательнуюсистему второго порядка внешними импульсами с периодом следования т и амплитудами, пропорциональными. коэффициентам полинома и-ной степени Р (z), то выходное напряжение (реакция системы) в моменты времени равно соответственно вещественной v и мнимой ы (без множителя з — ь — „т — О-. у<Вl " частям полинома Р (1 I ), то есть дает результат вычисления полинома Р (zi), при

Z, ==pl =1 17

После прихода последнего импульса в системе совершаются свободные колебания, которые могут быть представлены в форме.

U„„(t) =- Al sin (t -; 9), Если zi есть корень полинома, то амплитуда этих колебаний равна нулю, так как синусоида с периодом Т не может обратиться в нуль в

3 моменты t и 1з, разделенные интервалом времени Т.

Таким образом, если в результате воздействия последовательности импульсов с амплитудами а,, а2, аз... а„+ с приходом последнего импульса колебания в системе сразу прекратились, то это значит, что найден корень полинома

P(z) =-и п i zë —

+ a„z+ а„ч;.

Предмет изобретения

Способ инструментального определения корней полинома, отл ич а 1о шийся тем, что, с целью его упрощения, вычисление значений корней производится путем подачи последовательности импульсов на линейную колебательную систему второго порядка.

Составитель А. И, Хохлов

Редактор Н. С. Кутафина Техред А. Л. Сосина Корректор П. А. Евдокимов

Объем 026 изд. л.

Цена 5 коп.

Поди к печ. 3.Х11-61 г

Зак. 7895

Формат бум. 70 108 />в

Тираж 1100

ЦБТИ при Комитете по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР

Москва Центр М. Черкасский пер. д. 2/6.

Типография ЦБТИ Комитета по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР, Москва, Петровка, 14. — о-.

Модуль этого корня р === 1 и аргумент = пгт.

Для отыскания всех корней полинома варьируют величинами коэффициента затухания б и резонансной частотой оз линейной колебательной системы второго порядка, отмечая те комбинации б и оз, при которых колебания в системе сразу прекратятся с приходом последнего импульса.