Устройство для определения закона распределения случайной величины

 

Изобретение относится к вычислительной технике и может использоваться для определения закона распределения при малом числе измерений. Целью изобретения является повьшение точности оценивания закона распределения при малом числе измерений. В устройстве используется двухэтапная процедура оценивания, причем оценки моментов, полученные на первом этапе по ядерной оценке плотностираспределения . Устройство содержит аналоге (Л

СОЮЗ СОВЕТСНИХ

СООИАЛИСТИЧЕСКИХ

РЕСПУБЛИН (gi) 4 G 06 F 15/36

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

H АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НОМИТЕТ СССР

ПО.ДЕЛАМ ИЗОБРЕТЕНИЙ И ОТНРЫТИЙ (21) 4122616/24-24 (22) 02.06.86 (46) 23.09.88. Бюл. У 35 (71) Уфимский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе (72) Ю.Е.Алыпов, С.В.Фатиков и А.Б.Душнюк (53) 681,3(088.8) (56) Авторское свидетельство СССР

Р 1280395, кл. G 06 F 15/36,26.07.85.

Авторское свидетельство СССР

В 1368891, кл. G 06 F 15/36,03,04.86.

Авторское свидетельство СССР

У 1233164, кл. G 06 F 15/36,09.10.84.

„„SU„„1425713 А 1 (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (57) Изобретение относится к вычисли1 тельной технике и может использоваться для определения закона распределения при малом числе измерений. Целью изобретения является повышение точности оценивания закона распределения при малом числе измерений. В устройстве используется двухэтапная процедура оценивания, причем оценки

I моментов, полученные на первом этапе по ядерной оценке плотности. распределения. Устройство содержит аналого1425713

20 цифровой преобразователь l, статистический анализатор 2, формирователь

3 начальных моментов, делители 4, 5, вычитатели 6, 8, квадраторы 7, 18

21, умножители 9, 29-34, блок 10 определения квадратного корня, цифроаналоговые преобразователи 11, 12, усилители 13-17 коммутаторы 24, 25„ ключ 26, блоки 27, 28 определения обратной величины, блоки 35, 36 определения натурального логарифма, эле- мент НЕ 37, сумматоры 38-41, функциональные преобразователи 43-45, блок

46 вычисления экспоненты, интегратор 47, регистр 48 памяти, генератор

49 линейно изменяющегося напряжения, блоки 50, 51 сравнения, элементы

ИЛИ 52-54, блок 55 индикации. Ядерная оценка плотности распределения формируется в статистическом анализаторе 2. Значения столбцов полученной оценки поступают на входы формирователя 3 начальных моментов, где формируются оценки первых двух наУстройство относится к вычислительной технике и может испольэоваться для определения закона распределения случайной величины при малом числе измерений. 5

Целью изобретения является повышение точности оценивания закона распределения случайных сигналов при малом числе измерений.

На фиг.1 изображена функциональная 10 схема устройства; на фиг.2 — функци ональная схема формирователя начальных моментов; на фиг.3 — функциональная схема блока сравнения формирователя.

Устройство (фиг, 1) содержит аналого-цифровой преобразователь 1, статистический анализатор 2, формирователь 3 начальных моментов, делители и 5, вычитатель 6, квадратор 7, вычитатель 8, умножитель 9, блок 10 определения квадратного корня, цифроаналоговые преобразователи 11 и 12, усилители 13-17, квадраторы 18-21, информационный вход 22, вход 23 эачальных моментов. Значение первого начального момента поступает на вход цифроаналогового преобразователя 11 и через квадратор 7 — на вход вычитателя 8, куда также поступает значение второго начального момента.

На один из входов делителя 5 посту.пает непосредственно значение объема выборки, на другой вход — значение объема выборки, уменьшенное на единицу с выхода вычитателя 6. Таким об,разом, на выходе умножителя 9 формируется оценка дисперсии, а на выходе блока 10 вычисления квадратного кор-, ня — оценка среднеквадратического отклонения, поступающая на вход цифро-аналогового преобразователя 12.

Далее по полученным оценкам первого начального момента и среднеквадратического отклонения осуществляется известная процедура построения оценки закона распределения по информационному методу. 3 ил °

2 дания объема выборки, коммутаторы

24 и 25, ключ 26, блоки 27 и 28 определения обратной величины,умножители 29-34, блоки 35 и 36 определе-. ния натурального логарифма, элемент

НЕ 37, сумматоры 38-41, делитель

42, функциональные преобразователи

43-45, блок 46 вычисления экспоненты, интегратор 47, регистр 48 памяти, генератор 49 линейно изменяюще- гося напряжения, блоки 50 и 51 сравнения, элементы ИЛИ 52-54, блок 55 индикации. Формирователь 3 начальных моментов (фиг.2) содержит блок

56 памяти, блок 57 сравнения, счетчик 58, элемент 59 сравнения, синхронизатор 60, квадратор 61, М элементов И 62, элемент ИЛИ 63, умножители 64-66, сумматоры 67 и 68, (М+1) умножителей 69 и сумматоры 70.

Блок 57 сравнения формирователя (фиг.3) содержит (И+1) компараторов

71 и И элементов ИЛИ-НЕ 72.

Работа устройства основана на совкестном использовании двух методов

1 !?5?13

Х", (3) 20

30

35! е !

IР; ,/ P ° . 1n

1 P )

1=! 1

1nq/N при N oo

+P, =1 (2) k =.1, 2, обработки малого числа измерений информационного метода и метода последовательной дихотомии (МПД) .

Сущность информационного метода заключается н следующем °, Пусть имеется выборка независимых наблюдений непрерывной случайной величины Х (объем выборки N); далее непрерывная величина Х приближенно заменяется дискретной, при этом статистические данные представляются в виде гистограммы с частотой N; (i

1,r). Пусть гистограмме ставится в соответствие теоретическое распределение Р; (i = 1,r). Известно, что вероятность получить именно такую гистограмму (именно такую выборку) при данном законе Р; оценивается по формуле пилономинального распределения

Вероятность q достигает максимума (q = 1) в случае, когда значения

P. к которым стремятся относительные частоты N,/И при И вЂ ао, совпадают с теоретическими вероятностями Р, . При этих значениях Р; достигает максимума функция (1), которая является пределом

Нахождение оценки закона распределения заключается в определении !! з такой последовательности (Р,), ко-торая доставляет максимум функции (1) при ограничениях, наложенных на первые моменты распределения (с учетом нормировки): где Х вЂ” середины интервалов гисто1

Ф граммы, а 1 к — статистические оценки первых двух начальных моментов, определяемые непосредственно по выборке

При отсутствии априорных данных

1 о значениях Р P = P = ... P

2 I r

В этом случае

v —.С P 1nP + С 1 = где С вЂ” константа, не зависящая от

41

{ P; ), и задача сводится к условной макси мизации энтропии распределения (Р, %.

Результатом является распределе- ние, наиболее близкое к равномерному из числа допустимых по условиям (2).

Такая оценка является наиболее объективной при имеющейся информации.Она является наиболее вероятной оценкой, поскольку интервал изменения случайной величины Х ограничен; оценка в общем случае не сводится к нормальному распределению, кривая распределения может принимать любой вид в зависимости от значений оценок моментов, в частности в зависимости от нормированного 1-ro момента, вычисляемого по этим оценкам согласно формуле

Задача оптимизации решается ме40 тодом неопределенных множителей Лагранжа. Результатом является единое аппроксимирующее выражение для плотности распределения о

Р; = ехр (р, + !е, Х, е2 !

+ р,Х!, i-=1r и уравнения для оценки его неизвестных параметров (и,, p, p no значениям оценок моментов.

В устройстве уменьшение дисперсии оценок моментов, и 2 достигается за счет использования метода МПД.

Для уменьшения дисперсии оценок функции (плотности) распределения используются ядерные оценки (Я-оценки) по методу Розенблата-Парзена-Надарая: при малых N учитывается от

1425713 носительный, случайный характер каждой i-й реализации случайной величины, а в качестве элементарной плотности распределения вместо функции

5 о (Х вЂ” X.) используется некоторая не I прерывная функция Q; (Х), заданная на интервале Ь,, Однако дисперсия

Я-оценок функции (плотности) распределения существенно больше, чем дисперсия оценок, получаемых при использовании информационного метода. Таким образом, н данном случае нет смысла использовать метод Я-оценок непосредственно для оценивания плотности 16 распределения, однако с его помощью можно уменьшить дисперсию оценок моментов, В устройстве используется двухэтапная процецура оценинания закона 20 распределения, На первом этапе строится Я-оценка плотности распределе л ния f(X) и по ней вычисляется

Х g(X} dX. k = 1,2

Эти оценки моментов существенно оолее стабильны, чем оценки, получаемые по формуле (3). Далее эти оценки используются как исходные данные при построении оценки плотности с помощью информационного

55 метода.

Устройство работает следующим образом.

Реализации исследуемого случайного сигнала X(t) поступают с выхода аналого-цифрового преобразователя 1 на первый информационный вход статистического анализатора 2. В статистическом анализаторе 2 формируется оценка плотности распределения случайного сигнала X(t) в виде обобщенной гистограммы, построен4В ной при разбиении интервала анализа (a, Ь) на И интервалов аппроксимации. Анализатор 2 имеет, соответственно, И информационных выходов, на каждом из которых присутствует

50 значение Ь.„ (j = 1,M} высоты соответствующего j-го столбца полученной оценки. Зти значения поступают на входы формирователя начальных моментов 3 (фиг.2), Реализации Х;(i = 1,Y) поступают н блок 56 памяти. По окончании цик-.

JIa работы статистическогc анализатора 2 на выходе конца анализа статистического анализатора появляется импульс, запускающий синхронизатор

60 и обнуляющий сумматоры 67 и 68 и счетчик 58. Импульсы с выхода синхронизатора 6 поступают на вход разрешения считывания блока 56 памяти, поочередно считывая реализации Х; на первые информационные входы каждого из (M+1) компараторон ?1 (фиг.3).

На второй информационный вход компаратора 71< подается значение а, на второй информационный вход компараd тора 71 подается значение а + и M и т.д,,на второй информационный вход компаратора 71 „ подается значение

d а + M ††. Таким образом, на вторые информационные нходы компараторов 71 поданы значения границ интервалов аппроксимации. При попадании реализации Х; н j -й интервал аппроксимации (j = 1,M) единица появляется только íà j-м выходе блока 57 сравнения.

Таким образом, блок 57 выделяет интервал аппроксимации, в котором находится реализация Х;. Синхронизация работы дискриминатора осуществляет- ся управляющими импульсами с выхода синхронизатора 60. Значение высоты соответствующего столбца оценки через j-й элемент И 62 и элемент ИЛИ

63 поступает на второй информационный вход умножителя 64, на первый информационный вход которого подано

Й значение — — длины интервала аппроM ксимации. При поступлении на тактоный вход умножителя 64 разрешающего импульса с элемента задержки синхро" ниэатора 60 на выходе умножителя 64

d формируется значение P = h Й площади j-ro столбца оценки, поступающее далее на входы умножителей 65 и 66, По импульсу с синхронизатора

60 на выходе умножителя 66 формируется значение Р;. Х;, а на выходе умножителя 65 — значение Р; Х..

Таким образом„ по окончании опро- . са блока памяти 56, на выходе сумма- тора 67 формируется значение оценки

1425713 и р х, а на выходе сумматора 68 — значение

1р рои усилитель подключен к входу делиимпульса с выхода синхронизатора 60 на счетный вход счетчика 58, на входах элемента 59 сравнения появляется отрицательное рассогласование, приводящее к появлению единицы на его выходе, которая поступает на вход останова синхронизатора 60 и на тактовый вход умножителя 9. л

Значение Я, через квадратор 7 поступает на вход вычитателя 8 и че- 2р реэ цифроаналоговый преобразователь

11 — на первый вход первого блока 50 сравнения и на иформационный вход коммутатора 24. На выходе вычитателя 8 л л формируется значение (4< — 4, ), по- 25 ступающее на первый информационный вход умножителя 9, на второй информационный вход которого поступает значение N/(N-1) с выхода делителя 5.

На выходе умножителя 9 формируется. Зр

15 через цифроаналоговый преобразователь 12 поступает на вход усилите- 4р ля 13 и на информационный вход второго коммутатора 25.

45 л

1-ro начального момента 1, = л оценки 2-.ro начального момента 1 = и

Я

P Х .. При поступлении (N+1) л значение — — (9 — 4, ), которое поступает на вход блока 1О вычисления квадратного корня, с выхода котороN " * го значение б = — — () — 4 ) N-1 9- 1

Формула, изобретения

Устройство для определения закона распределения случайной величины, содержащее пять усилителей, четыре квадратора, два коммутатора, ключ, два блока определения обратной вели чины, шесть умножителей, два блока определения натурального логарифма, элемент НЕ; четыре сумматора, первый делитель, три функциональных преобразователя, блок вычисления экспоненты, интегратор, регистр памяти, генератор линейно изменяющегося напряжения, два блока сравнения, три элемента ИЛИ и блок индикации, причем выход первого блока сравнения соединен с управляющими входами первого и второго коммутаторов, первый выход первого коммутатора соединен с первым входом первого умножителя и через первый квадратор с первым входом второго умножителя, второй выход первого коммутатора через вто— мого первого делителя, первый выход второго коммутатора соединен с входами третьего усилителя и .второго квадратора, выход которого соединен через первый блок определения обратнои величины с входом четвертого усилителя и вторым входом первого умножителя, выход которого соединен с первым входом первого элемента ИЛИ, второи вход и выход которого соединены соответственно с выходом третьего умножителя и первым входом четвертого умножителя, выход третьего уси— лителя через последовательно соеди- ненные первый блок определения нату рального логарифма и первый элемент

НЕ соединен с первым входом первого сумматора, второй вход которого соединен с выходом второго умножителя, выход первого сумматора соединен с первым входом второго элемента ИЛИ, второй вход и выход которого соединены соответственно с выходом второго сумматора и первым входом третьего сумматора, выход четвертого усилителя соединен с вторым входом второго умножителя, выход пятого умножителя и выход четвертого усилителя соединены соответственно с первым и вторым входами третьего элемента ИЛИ, выход которого соединен с первым входом шестого умножителя, второй выход второго коммутатора соединен с входом делителя первого делителя и с входом второго блока определения обратной величины, выход которого че= рез пятый усилитель соединен с первым входом третьего умножителя, с входом третьего квадратора и входом второго блока определения натурального логарифма, выход которого соединен с первым входом второго сумматора, первый вход пятого умножителя соединен с выходом третьего квадратора, выход первого делителя соединен с входами первого, второго и третьего функциональных преобразователей, выходы которых соединены соответственно с вторым входом второго сумма1425713 тора, вторым входом пято о умножителя, вторым входом третьего умножителя, выход генератора линейно изменяющегося напряжения соединен с вторым входом четвертого умножителя, с входом четвертого квадратора, с первым входом второго блока сравнения, второй вход которого соединен с входом генератора линейно изменяющегося напряжения и подключен к выходу регистра памяти, выход второго блока сравнения соединен с управляющим входом ключа, выход которого через интегратор соединен с входом блока индикации, выход четвертого квадратора соединен с вторым входом шестого умножителя, выход которого .соединен с первым входом четвертого сумматора, второй вход которого соединен с выходом четвертого умножителя, а выход соединен с вторым входом третьего сумматора, выход которого соединен через блок вычисления экспоненты с информационным входом ключа, о т л и ч а ю щ е е с я тем, что, с целью повышения точности, в него введены аналого-цифровой преобразователь, вход которого является входом устройства, статистический анализатор, второй и третий делители, два вычитателя, пятый квадратор, седьмой умножитель, блок QII ределения квадратного корня, два цифроаналоговых преобразователя,формирователь начальных моментов, содер-. х<ащий блок памяти,.блок сравнения, счетчик, элемент сравнения, синхронизатор, квадратор, элемент ИЛИ, три умножителя, два сумматора, группу сумматоров, группу умножителей, M (M — натуральное число интервалов аппроксимации) элементов И, причем в формирователе начальных моментов выход блока памяти соединен с информационным входом блока сравнения, с первым информационным входом первого умножителя и через квадратор с первым информационным входом BTQ рого умножителя, второй информационный вход которого соединен с вторым информационным входом первого умножителя и с выходом третьего умножителя, первый информационный вход которого соединен с первыми входами умножителей группы, второй вход j-го (j = 1, 2 ... M+t) умножителя группы соединен с ниной потенциала, равного j — 1, выход j-ãо умножителя со-JIHlIeH c b j — ro сумматора группы, второй вход которого является соответствующим входом за5 дания значения нижней г раницы интервала анализа устройства, выход j-го сумматора группы соединен с j-м входом задания порога сравнения блока сравнения, вход установки в "0н счетчика соединен с входом запуска синхронизатора, с входами установки в

"0п первого и второго сумматоров, выход счетчика соединен с первым вхо дом элемента сравнения, выход "Мень15 ше которого соединен с входом оста нова синхронизатора, первый выход синхронизатора соединен с входом запуска счетчика, с входом разрешения считывания блока памяти и тактовым

20 входом блока сравнения, i-й (i

1, 2 ... M),выход которого соединен с первым входом i-ro элемента И, выход которого соединен с i-м входом элемента ИЛИ, выход которого соеди25 нен с вторым информационным входом третьего умножителя, тактовый вход которого соединен с вторым выходом синхронизатора, третий выход которого соединен с тактовыми входами пер о вого и второго умножителей, выход аналого-цифрового преобразователя соединен с информационным входом статистического анализатора и с информационным входом блока памяти формирователя начальных моментов, вход за35 дания объема выборки статистического анализатора соединен с вторым входом элемента сравнения формирователя начальных моментов, с входом делимого

4О второго делителя с входом уменьшаемого первого вычитателя и является входом задания объема выборки устройства, выход вычитаемого первого вычитателя соединен с шиной единично4 го потенциала, а выход с входом делителя второго делителя, вход задания интервала анализа статистического анализатора соединен с входом делимого третьего делителя и является входом задания интервала анализа устройства, вход делителя третьего делителя является входом задания числа интервалов аппроксимации устройства, выход третьего делителя соединен с

55 первым информационным входом третьего умножителя формирователя начальных моментов, выход i-го значения гис тограммы статистического анализатора соединен с вторым входом i-ro элеменli та И формирователя начальных моментов, выход Окончание анализа" статистического анализатора соединен с входом установки в 0" счетчика формирователя начальных моментов, выход первого сумматора формирователя начальных моментов соединен с входом первого цифроаналогового преобразователя и через пятый квадратор с входом вычитаемого второго вычитателя, вход уменьшаемого которого соединен с выходом второго сумматора формирователя начальных моментов, выход второго вычитателя соединен с первым информационным входом седьмого умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом второго

C улр. Анода

cmarvuc. анал -ра 2 h

2 1З

12 делителя, тактовый вход седьмого умножителя соединен с выходом "Равно элемента сравнения формировате5 ля начальных моментов выход седьмоУ го умножителя через блок определения квадратного корня соединен с входом второго цифроаналогового преобразователя, выход которого соединен с

10 информационным входом второго коммутатора и с входом первого усилителя, выход которого соединен с первым входом первого блока сравнения, выход первого цифроаналогового преобразо15 вателя соединен с вторым входом перI вого блока сравнения и с информационным входом первого коммутатора.

1425713

С Eblis. памяти

° ° °

Редактор А. Ворович

Заказ 4773/49 Тираж 704 Подписное

ВИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

Производственно-полиграфическое предприятие, r. Ужгород, ул. Проектная, 4

C t-го синх ю!

° ° °

Составитель В.Орлов

Техред И.Дидык Корректор С.Шекмар