Устройство для решения уравнения лапласа

 

370615

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Сова Советских

Социалистических

Республик

Зависимое от авт. свидетельства №

Заявлено 04.111.1971 (№ 1631530/18-24) с присоединением заявки №

Приоритет

Опубликовано 15.11.1973. Бюллетень ¹ 11

Дата опубликования описания ЗЛ П.1973

М. Кл, G 06g 7,!38 комитет по делам изобретений и открытий при Совете Министров

СССР

УДК 681.333(088.8) Автор изобретения

В. Г. Кирий

Иркутский политехнический институт

Заявитель

УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

>(V) = Х о(Ь Q ) f Q ) 15

Изобретение относится к области вычислительной техники и может найти применение при решении задач теории поля.

В технической литературе описаны самые разнообразные устройства для решения краевых задач, которые можно разбить на два класса: устройства детерминированного типа, использующие принцип физического моделирования;

Устройства стохастического типа, использующие для решения задачи метод статистических испытаний.

Предлагаемое устройство относится ко второму типу специализированных устройств и в своен схеме реализует модернизированный алгоритм решения дифференциальных уравнений в частных производных методом случайных блужданий.

Однако эти устройства дорогостоящие и имеют низкую точность решения.

Прежде чем выяснить каким образом происходит упрощение конструкции устройства при одновременном упрощении программирования задачи рассмотрим метод статистических испытаний.

Пусть требуется решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа ЛУ=О с заданнымн на границе граничными условиями Г(г).

Как обычно на область, в которой ищется решение, накладывается сетка, узлы которой разбиваются на две категории — внутренние и граничные.

5 При решении задачи методом Монте-Карло организуется процесс случайного блуждания из этой внутренней точки, в которой ищется решение, до того момента, когда блуждающая точка попадает на границу в некоторую

10 граничную точку с заданной в ней граничной функцией, тогда решение записывается как математическое ожидание граничной функции: где У(д) — решение в искомой точке Ц;

P(q, Q;) — вероятность выхода из точки д в граничную точку Q;;

f (Q;) — значение граннчнои функции в точке Q;.

Известно, что с помощью операции лпнейного преобразования и сдвига любую величч25 ну можно ввести в интервал О,1, что и проделаем с граничной функцией. Тогда формально можно преобразованное значение " (Q ) рассматривать как вероятность некоторого события, которая также принадлежит интер30 валу (О,1).

370615

Тогда решение в точке q запишется, как

С1 («)=y («, а)ГЮ, 1 где уже U "(q) есть не число, а также вероятность некоторого события, логическое выражение для которого не трудно получить.

Действительно, вероятности P (q, Q,) соответствует событие (обозначим его у,), которое реализуется, когда блуждающая точка выходит в граничную точку Qi (появление импульса в точке Q,); вероятности t" (Q;) соответствует событие Рь которое реализуется с вероятностью, пропорциональной заданной в граничной точке Я; граничной функции.

Тогда событие, соответствующее решению, обозначим его Я„, получается как логическос объединение нескольких конъюнкций:

®, = пА

Анализируя среднюю частоту наступлсни;! события О„получаем решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в заданной то ке.

Реализация схемы по заданному логическому выражению не представляет труда. Таким образом, упрощение конструкции устройства при одновременном упрощении программирования задачи достигается путем применения в граничных узлах ячеек совпадения, выходы которых поступают на переменные сопротивления, задающие граничную функцию в заданной точке, средняя точка потенциометра поступает на собирательную схему, чей выход соединен с управляющим входом вероятностного распределителя.

На чертеже показана функциональная схема устройства для решения краевых задач, Она содержит высокочастотный генератор входных импульсов 1, узел регулируемых вероятностей перехода 2, реверсивные счетчики

3 с дешифраторами (по координате х и y), наборное поле для задания формы границы

4, блок ячеек совпадения для задания граничных точек 5, блок переменных резисторов для задания граничных функций б, собирательную схему для потенциалов 7, управляемый вероятностный распределитель 8, собирательную схему для импульсов 9 и схему задания начальной точки 10.

Выход генератора импульсов 1 подключен к блоку 2 регулируемых вероятностей перехода на четные выходы (при решении двухмерных задач), два выхода которого идут на прямой и обратный вход реверсивного счетчика 3 (по координате х), два других на соответствующие входы реверсивного счетчика

3 (по координате у). Выходы дешифраторов счетчиков 3 подключены к гнездам наборного по 4 на котором с помощью гибких проводов подключают входы соответствующих ячеек совпадения 5 к тем гнездам, где задается граничная точка.

Выходы ячеек совпадения соединяются с переменными резисторами блока переменных резисторов 5, движки которых соединены со

Зо

50 входами собирательной схемы 7, .e! выхоЛ подается на управляющий вход: ероятностного распределителя импульсов 8, счетный вход которого подключен к выходу собирательной схемы 9, соединенной также со входом схемы установки начальной точки, Схема работает следующим образом.

С помощью схемы 10 начальной установки в счетчики 3 заносятся координаты точки, в которой ищется решение. Далее запускается входной генератор 1, импульсы которого поступают на вход вероятностного распределителя 2, настроенного на вероятность полу ieния импульса на одном из четырех его выходов, равную 1/4. При появлении импульса на каком-либо его выходе содержимое одного из счетчиков 3 изменястся на случайную величину +1, либо — 1, при этом начальная точка перемещается в соседнюю с вероятностью, равной 1/4. Такой процесс блуждания точки продолжается до тех пор, пока она не попадает в граничную точку, т. е. пока не произойдет совпадение потенциалов на тех шинах дешифратора х и у, где стоят закоммутированные ячейки 5, На выходе соответствующей ячейки 5 появляется потенциал, вероятность появления которого равна вероятности выхода из начальной точки в данную граничную.

Этот потенциал запитывает связанный с им переменный резистор, с которого снимается напряжение, пропорциональное граничной функции в этой точке.

Импульсы с выхода ячейки «И» поступают на собирательную схему 9, импульс с которой идет на счетный вход вероятностного распределителя 8, так как в это время на его управляющем входе стоит напряжение, пропорциональное граничной функции, то на выходе распределителя 8 появляется импульс с вероятностью, пропорциональной той граничной функции, в которую вышла блуждающая точка.

Схема возвращается в начальную точку и описанный процесс продолжается до получения необходимой точности решения в заданной начальной точке.

Результатом решения является отношение средней частоты импульсов на выходе распределителя 8 к частоте импульсов на выходе собирательной схемы 9, что может быть замерено с помощью счетчиков.

Предмет изобретения

Устройство для решения уравнения Лапласа, содержащее генератор импульсов, реверсивные счетчики, блок ячеек совпадения, блок переменных резисторов, собирательные схемы, наборное поле, схемы задания начальной точки, управляемый вероятностный распределитель и блок регулирования вероятностей, отлпча ощееся тем, что, с целью упро.цения устройства, в нем генератор импульсов соединен с блоком регулирования вероятностей, первый и второй выходы которого подключены к первому реверсивному счетчику, а тре

376615

Составитель Е. Тимохина

Редактор Е. Гончар

Техред T. Ускова

Корректор Е. Сапунова

Заказ 1826 1 Изд. М 443 Тираж 647 Подписное

ЦНИ1тПИ Комитета по делам изобретений и открьпий при Совете Министров СССР

Москва, 7К-35, Раушская паб., д. 4/5

Типография, пр. Сапунова, 2 тий и четвертый — ко второму реверсивному счетчику, причем входы реверсиьных с1етчпков соединены с двумя схемами задания пагальнон точки, включенными последовательно, а выходы реверсивиых счетчиков подклю1ены к наборному полю, выходы которого через последовательно соединенные блок ячеек совладения и блок резисторов подключены к первой собирательной схеме, соединенной с первым входом управляемого вероятностного распределителя, ко второму входу которого

5 подключена одна из схем за.iаиия»a÷àëûþé точки и вторая собирателы ал схема, соед11иеииая с блоком ячеек совпадения.