Устройство для решения систем алгебраических уравнений

 

«ит»и T h ; °: г.. .

О П И С А Н-И- -Е

ИЗОБРЕТЕНИЯ

Союз Советских

Социалистических

Республик

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ (61) Дополнительное к авт. свид-ву (22) Заявлено 06.06.74 (21) 2032342/24 с присоединением заявки № (23) Приоритет— (43) Опубликовано25.03.77. Бюллетень № 11 (45) Дата опубликования описания13.06.77 (51) М. Кл.

Q 06 5 7/46

Гасударственный комитет

Совета Министров СССР по делам изобретений и осирытий (53) УДК 681.336. .8 (088.8) (72) Авторы изобретения

Г. E. Пухов, М. Н. Кулик и B. Д. Бакуменко

Институт электродинамики АН Украинской CCP (71) Заявитель (64) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в вы— числительных устройствах, предназначенных для решения широкого класса систем алгебраических уравнений. 5

Известно устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержащее матрицу оезистооов и блоки уравновешивания, выполненные в виде операционных усилителей постоянного тока. Это устройство устой-10 чиво решает такие системы линейных алгебраических уравнений, у которых квадратная матрица коэффициентов имеет все собственные значения с положительной вещественной частью. 15

Известно также двухзвенное устройство для решения систем алгебраических уравнений, в котором используются две матрицы резисторов и блоки уравновешивания в виде операционных усилителей. Однако примене- 20 ние таких устройств ограничено тем, что уровни рабочих напряжений значительно ниже уровней напряжений, допустимых по техническому паспорту используемых операционных усилителей. 25

Наиболее близким к изобретению техническим решением является устройство для решения систем алгебраических уоавненпй, содержащее блоки уравновешивания и матрицу резисторов, гооизонтальные шины которой через соответствующие источники тока соединены с шиной нулевого потенциала, а вертикальные шины соединены с входами соответствующих повторителей.

Этому устройству свойственны функциональная ограниченность, ь связи с решением систем линейных алгебраических уравнений только с квадратными матрицами.

Цель изобретения — расширение класса решаемых уравнений.

Это достигается тем, что в устройстве для решения систем алгебраических уравнений каждый блок уравновешивания содержит резисторы и операционные усилители, в обратной связи первого из которых включены параллельно две цепочки последовательно соединенных масштабных резисторов, общая гочка масштабных резисторов первой пз указанных цепочек соединена через первый согласующий резистор с выходом соответствуюшего повторителя и через входной масштабный резистор — с входом второго операционного усилителя, в обратной связи которого включена цепочка из последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка которых соединена с обшей точкой масштабных резисторов второй цепочки первого операционного усилителя, выход второго операционного усилителя через второй согласующий резистор соединен с входом соответст- 10 вуюшего повторителя.

На чертеже приведена схема предлагаемого устройства для решения систем алгебраических уравнений.

Предлагаемое устройство содержит мат- И рицу резисторов 1, повторители 2, блоки уравновешивания 3 с положительными коэффициентами передачи, согласующие резисторы 4 -4> и источники тока 5 для задания вектора правых частей. Каждый блок уравновешивания 3 состоит из двух операционных усилителей 6, масштабных резисторов 7 с единичными проводимостями, входного масштабного резистора 8 и двух масштабных резисторов 9, проводимость которых ф„..Блок уравновешивания 3 имеет лоло>кительный коэффициент передачи равный Ь1 .

Матрица резисторов 1 моделирует матрицу коэффициентов А решаемой системы линейных алгебраических уравнений.

H установившемся режиме для модели справедливы следующие уравнения

"> 1> ЕД .-Е a -++ =О

-4

ll и

1 1

m \ П х (a -«Яа. )-py.а.-a ф=О

1 11 1 1 1 1 11 1 1 х„,(а + Е а. )- Е v-а. -а Ф 0

11 „„111 ° „1 11) 11 И 1 te) "1

; х„- х,„; Ф„-:Ф„,. (6) Из уравнения (3) получим

-1 -1 у 4 Ах-Я

Подставляя уравнения (5) и (6) в уравнение (4), имеем (6+а -3a) x — A g Ax+A Q f =O (7)

Матрицы Ь и а выбираем таким образом, чтобы выполнялось условие

G-(Ь-Е)а =0 (8) или а =(ь-е) G, где Х вЂ” единичная матрица.

Тогда уравнение (7) приобретает вид

- проводимости резисторов 42 и 43 а .. — коэффициенты матрицы ис11 ходного матричного уравнения

Ах=1 (z)

Уравнения (1) удобно представить в матричном виде

Цу- Ах + 1=0, (3) (6-а >х-А у-аФ=о, т

Ф=Ьх, (5) где g и (г - диагональные матрицы, элементы которых представляют собой сумму элементов соответственно строк и столбцов матрицы А;

A — транспонированная матрица А; а — диагональная матрица проводимостей резисторов 4

4 Ь - диагональная матрица коэффициентом передачи блоков уравновешивания 3;

, х, Ф вЂ” векторы, соответственно с с компонентами где У -У

1 тп х — х

1„-

Ф.

L напряжения на горизонтальных шинах матрицы резисторов 1; напряжения на вертикальных >0 шинах матрицы резисторов 1, где и и гл — соответственно число верти-, кальных и горизонтальных шин (в общем случае и может быть не равно тп ); токи источников 5; напряжение на выходе блока уравновешивания 3 (з = 1,2...n); 60

А Ц Ax=A Q 1, (9) Таким образом, предлагаемая схема описывается уравнением (9). Здесь матрица

Q представляет собой матрицу собственных проводимостей узлов У и поэтому является диагональной матрицей с положительными элементами, при этом матрица

Q А будет положительно определенной, следовательно схема устройства будет устойчивой и дает решение. В случае квадратной неособенной матрицы А это решение единственно, и оно будет найдено схемой даже при плохой обусловленности матри551665 цы А. Для доказательства умножим уравнет ние (9) слева на матрицу (A Q А ) и получим Х=А Q(A ) А Q f=A f, т,е, получим решение системы уравнений (1).

Если система уравнений (1) переопределена(тп ) ъ, матрица А является прямоугольной), предлагаемая схема дает единственное решение, причем это решение является наилучшим, минимизирующим сумму квадратов модулей невязок уравнений (1 ) . Наилучшее р решение переопределенных систем получают, применяя левую трансформацию Гаусса (10) А Ax=A 1

Уравнение можно трактовать следующим образом. Исходное уравнение (1 ) умножаем на диагональную матрицу ц

Я Ax=Q 1.

Это тождественное преобразование, которое не изменяет множества решений системы уравнений (1 ) . Поэтому если (1 1 ) умнот жить на А, то решение полученного таким образом уравнения (9) будет совпадать с 25 решением уравнения (10), которое является наилучшим.

Покажем, что благодаря специальному включению резисторов 7, 8 и 9 и операционных усилителей 6 блок уравновешивания 3 30 является устойчивым. В динамическом режиме с учетом паразитных емкостей усилителей С схема блока уравновешивания описывается системой дифференциальных уравнений

+С В N ВЕ= С В f, (12) (j т. К+1 где

Я вЂ” напряжение на входах усилителей;

N — диагональная матрица собственных проводимостей узлов бло- © ка 3;

К вЂ” коэффициент усиления операционного усилителя при разомкнутой обратной связи.

Для устойчивости блока уравновешивания, а следовательно и предлагаемого устройстт ва необходимо, чтобы матрица С B N В имела собственные числа с положительными вещественными частями. Так как матрица является диагональной с положительны- 5 ми элементами, для этого достаточно, чтобы т матрица В N В была положительно onределенной. Это условие выполнено, так как л матрица К является диагональной с положительными элементами. Поэтому блоки уравновешивания 3 являются устойчивыми.

Предлагаемое устройство в отличие от известных устройств аналогичного назначения позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений как с квадратными, так и с прямоугольными (с переопределенными, т.е..тп т ) матрицами коэффициентов. Эта особенность позволяет применить предлагаемое устройство вместо UBM npu проектировании таких технических систем, зависимость между параметрами в которых имеет вид переопределенной системы линейных алгебраических уравнений. Технико-экономический эффект применения предлагаемого устройства определяется его низкой стоимостью, значительной экономией машинного времени UBM и непринципиальностью исключения UBM, в связи с не очень высокими требованиями по точности определения параметров технических систем на стадии проектировочных расчетов.

Формула изобретения

Устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержащее блоки уравновешивания и матрицу резисторов, горизонтальные шины которой через соответствующие источники тока соединены с шиной нулевого потенциала, а вертикальные шины соединены с входами соответствующих повторителей, отлич ающе ес я тем, что, с целью расширения класса решаемых уравнений, в нем каждый блок уравновешивания содержит резисторы и операционные усилители, в обратной связи первого из которых включены параллельно две цепочки последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка масштабных резисторов первой из указанных цепочек соединена через первый согласующий резистор с выходом соответствующего повторителя и через входной масштабный резистор — с входом второго операционного усилителя, в обратной связи которого включена цепочка из последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка которых соединена с обшей точкой масштабных резисторов второй цепочки первого операционного усилителя, выход второго операционного усилителя через второй согласующий резистор соединен с входом соответствующего повторителя, 551665

Г !

Редактор Е. Гончар

Заказ 126/27 Тираж 902 Подписное

ЦНИИПИ Государственного комитета Совета Министров СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

1 ! ! ! ! !!

I ! !

1 !

Составитель О. Сахаров

Техред О. Луговая Корректор А. Власенко

Филиал ППП "Патент", г. Ужгород, ул. Проектная,