Устройство для извлечения корня третьей степени

 

Союз Советскнк

Соцнаянстнчвеииз

Рве убпни

Оп и(=лнив

ИЗОБРЕТЕН ИЯ к ьвтовскомм сви твльству (iu903870 (6l } Дополнительное к авт. свид-ву (22) Завалено 28. 06. 80 (21) 29312 35! 18-24 с присоединением заявки М (23) Приоритет (53)Nl. Кл.

С 06 Р 7!ЬЬ2

9кудэравапе1 квивтет ссФр ао делан вввврвтеввв в вткрмев (53) УДК 681.325 (088.8) Опубликовано 07. 02.82 ° Бюллетень М 5

Дата опубликования описания 09. 02;82 (72) Автор изобретения

Е. И. филатов (71) Заявитель

Новосибирский электротехнический инстит ! (4) УСТРОЙСТВО ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КОРНЯ

ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Изобретение относится к цифровой вычислительной технике и может быть использовано в вычислительных и Nнформационно-измерительных устройствах и системах.

Известно устройство (1 ) для извлечения корня третьей степени из числа п,> путем возведения в куб вспомогательной числоимпульсной последовательности m c использованием итера- тв ционного выражения и-1 в =- (в-1) + 22 31+1 (1)

i .-.1 и сравнения получаемого .числа с чис- lS лом и.

Результатом вычисления является з число mU = Д ти 1, где и. - ближайшее большее или равное целое число.

Недостатком данного устройства является большое значение максимальной абсолютной погрешности вычислений, обусловленное тем, что реэультат принимает только целочисленные значения.

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому является уст ройство 2 ), которое содержит два счетчика, накапливающий сумматор, элемент задержки, формирователь импульсов, триггер, элемент ИЛИ и элемент И.

8 данном устройстве при вычислении также используется итерационное выражение (1), а результатом является число а =(ф и, где (. ) - целая часть.

Недостатком устройства является большое значение максимальной абсолютной погрешности вычислений, обусловленное. кусочно-ступенчатой аппроксимацией воспроизводимой функции. Оно имеет отрицательный знак и равно по модула единице младшего разряда результата, а именно

Д „ф„,„1З „Я„. 1 (2) 903870

Цель изобретения - повышение точности устройства.

Поставленная цель достигается тем, что в устройство для извлечения корня третьей степени, содержащее два счетчика, накапливающий сумматор, элемент задержки, триггер, элемент

ИЛИ и элемент И, первый вход которого соединен с прямым выходом триггера, а выход покдлючен к первому вхо- to ду элемента ИЛИ, выход переполнения первого счетчика подсоединен ко входу элемента задержки, выходы разря- дов второго счетчика подсоединены к информационным входам накапливающего 15 ,сумматора со сдвигом на один разряд ,в сторону старших, введены второи элемент, ИЛИ, второй накапливающий сум матор, первая и вторая группы элементов И, группа элементов ИЛИ, второй 2о и третий элементы задержки, при этом выход третьего элемента задержки соединен с входом установки первого счетчика и вторым входом элемента И, вход третьего элемента задержки под- 25 соединен к выходу второго элемента задержки, первым входам элементов И второй группы и первому входу второго элемента ИЛИ, выход которого подсоединен к тактирующему входу второ- 3р го накапливающего сумматора, а второй вход второго элемента ИЛИ соединен с первыми входами элементов И первой группы, входом второго элемента задержки, выходом первого элемента задержки и счетным входом второго счетчика, прямой выход второго разряда которого соединен со счетным вхо.дом триггера, вход установки в единичное состояние которого соединен со входом первого элемента задержки, входом сброса второго накапливающего сумматора и тактирующим входом перво; го накапливающего сумматора, информационный вход младшего разряда которого подсоединен к шине логической единицы, остальные информационные входы подключены к информационным выходам второго счетчика, информационные выходы первого накапливающего сумматора подключены ко вторым входам элементов И второй и первой групп, выход первого элемента И первой группы подключен к входу первого разряда второго накапливающего сумматора, выходы младшего и старшего разрядов первого накапливающего сумматора со" единены со вторыми входами соответственно первого элемента И первой группри округлении с

N = фй и при округлении с

0 51 (3) недостатком или

О, (4) избытком. пы и последнего элемента И второй групгруппы, выход последнего элемента И второй группы подключен к (n-1)-му разрядному входу второго накапливающего сумматора (где И- разрядность второго накапливающего сумматора), выходы элементов И второй группы, кроме последнего, соединены с первыми входами элементов ИЛИ группы, вторые входы которых подключены к выходам элементов И, начиная со второго, пер» вой группы, выходы элементов ИЛИ " группы соединены с информационными входами, со второго по(1г.2)-ой разряды соответственно второго накапливающего сумматора, инверсные выходы которого подключены к информационным входам первого. счетчика, счетный вход которого соединен с выходом первого элемента ИЛИ, второй вход которого подключен к информационному вхо ду устройства.

На фиг. 1 представлена структурная схема предлагаемого устройства; на фиг. 2 - графики, поясняющие принцип работы устройства.

Предлагаемое устройство содержит первый и второй счетчики 1 и 2, первый и второй накапливающие сумматоры 3 и 4, первую 5 и в Ърую б группы элементов И, группу 7 элеменD тов ИЛИ, первый, второй и третий элементы задержки 8, 9 и 10,,триггер 11, элемент И 12, первый и второй элементы ИЛИ 13 и 14, вход 15 устройства.

При этом счетный вход счетчика 1 соединен с выходом элемента ИЛИ 13, а выход переполненйя - со входом последовательно соединенной цепочки элементов задержки 8, 9. и 10, тактирующим входом.

В основу алгоритма работы устройства положены следующие соображения.

На фиг. 2 представлены график а, соответствующий истинному значению функции m = n, и ломаная б, соответствующая целочисленным значениям данной функции, взятым с недостатком и характерным для работы известного устройства. Чтобы обеспечить знакопеременную погрешность извлечения корня третьей степени с точностью до целого, необходимо испольэовать выражение

903870

6

Ра фиг. 2 функции (фп -ч-0,5) и числовые ряды совпадают с числовыми (+n - 0,5) представлены кривыми в последовательностями, описываемыми и г соответственно. выражениями (6) и (6 ), Рассмотрим вь!ражение !т!,!л =-!/ и + 0 5 ° За счет замены выражения (5) выПреобраэуя его, можно получить > ражением (6) или (6 ) знакопеременп(m0 О/ 5) = !! ц 1/ 5mu т 0 /7 ная абсолютная погрешность вычислен . 2.

-0,125 (5) ний имеет несимметричный характер.

Если и принимает только целочис- Своих максимальных значений она доленные значения, то возможны лишь стигает в окрестностях значений арприближенные равенства гумента Ц.

Для максимальных значений погрешен . =р» -! бнт ьбта/» -б !2в) /с/ ности по»ренте»киото знака (погревl

U, L4; U,„„. Ц4 ности "перебора" ) и максимальных значений отрицательного знака (погрешИИ,=1Ие -1,g +07 -О у5 (!) ности "недобора" } в окрестностях точек и . можно записать следующие анаЦ1 литические выра!кения:

П ри Мц1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... выражения (6) и (6 ) принимают 0,3,15,42, g,= g/!!!„„.-Ч Я 1 щ +1 — — (91,166,274 .. 1,4,16,43,92,167,275 о (+

275 соответственно. /, б,у

Ь ! аким образом, если значения Мц„, 1мах(+)„Ц„. ц.+, lq (9) изменять на единицу при значениях !"!ц„. обеспечивающих равенства (б) ипи (6 ) g = !»т y/ т .н/ g ++() будут формироваться ломаные д и е со- 5 / " 1=0 ответственно, характеризуемые знакоI 3 переменным характерам погрешности вычислений. Очередные значения И ., при 4g ъ которых необходимо изменять значения 1 т - + -1 +1 щц„, различаются при этом на величину ЗО )=О %

Г ! 8 случае, когда аргумент и функция носят чисто дискретный характер, ! погрешность "недобора" достигает сво/ и!! . О/ )=>1 +Q<

Ц1 ,найдены из соотношений

40 Х (-)1-4 . 1

1 !М„-1

j=Q - } . - / . (

Юц " L Г Юц-11+" 45 Значения абсолютных погрешностеи, Ю) 1= рассчитанные по формулам (9-11) А»

Если для определения очередных различных значений m даны в таблице значений и использовать выражения Как видно из таблицы, с ростом я (8) или (8 5 без второго члена, то модули всех погрешностей положительпосле каждых четырех шагов будет на- 5в ного знака уменьшаются, а погрешноскапливаться дополнительная погреш- тей отрицательного знака увеличиваютт ность недобора аргумента, равная еди- ся, имея своим пределом значение нице. Для ее компенсации после каж- 0,5. На их поведении, кстати, заметдых четырех шагов получения аргумен- íî влияние второго члена выражений та n . или n . с использованием накап- > (8), и (8 ) . Так, например, модуль поливающего суймирования членов Ъ яц ° грешности "перебора"g „, особенно эанеобходимо к значению аргумента до-, метно уменьшается при значениямх 1цбавлять единицу. Получаемые при этом (5 9... ), где осуществляется очеред70

7 9038 ная коррекция значений аргумента на единицу, а погрешности "недобора" в предыдущих точках. В проVnC3X(-М

;межут ках между корре кци ями модули погрешностей могут даже незначительно

° возрастать, но в целом уже при М.. )10 м. значение максимальной погрешности вычислений практически может быть равным 0,5.

При использовании для выбора 1,,; 1@ 1 выражения (8) максимальные по модулю

f значения при нимают погрешност ь Ь„„щх(+1„ а при использовании выражений (8 )— погрешность 6" .. По своим абсолютным значениям они соизмеримы, но в целом погрешность „, „ („ быстрее приближается к предельйому значению

О,.", чем погрешность Ь „ „с„„(11. Это дает основание для случаев, когда предлагаемое устройство предназначено для О воспроизведения функции м = " Й цифроаналоговыми методами, предпочесть алгоритм (8). Если же предлагаемое устройство использовать для цифровых вычислений, то предпочтительный алгоритм (8 ), так как в этом случае как погрешность "перебора" „ )„, так и погрешность "недобора" л (; во мс х(-И . всем диапазоне вычислений не йревы" шают значения 0,5. Свои наименьшие значения при этом они принимают на начальном участке, что способствует уменьшению и относи тельной погрешности.

Устройство работает следующим об- э разом.

При использовании алгоритма (8) в исходном положении второй разряд счетчика 1 установлен в нулевое, а все остальные раэр щы - в единичное ео состояние (т.е. в нем записан код, дополнительный до трех), в младшие разряды счетчика 2 и накапливающего сумматора 3 записаны единицы, а все остальные их разряды установлены в нулевое состояние, состояние триггера 11 и накапливающего сумматора 4 безразличное. Входные импульсы, поф даваемые на вход 1 устройства, пройдя через элемент ИЛИ 13, поступают на 5О счетный вход счетчика 1 и своим задним фронтом меняют его состояние. После прихода третьего импульса входной последовательности счетчик 1 переполняется. Импульсы переполнения с его выхода поступают на вход элемента задержки 8, вход сброса накапливающего сумматора 4, вход установки триггера 11 в единичное состояние и тактирующий вход суммирования накапливающего сумматора 3. Так как в нем перед этим содержалась единица и на его входах в данный момент присутствует код, равный трем, который образован содержимым счетчика 2 и логической единицей, постоянно подклю-,, ченной ко входу младшего разряда, то после прихода импульса содержимое сумматора 3 становится равным четырем.

Через время, определяемое элементом задержки 8, импульс через схему

ИЛИ 14 поступает на тактирующий вход накапливающего сумматора 4, и код сумматора 3 через группу элементов

И g и группу элементов ИЛИ 7 переписывается в накапливающий сумматор 4.

Одновременно импульс поступает на счетный вход счетчика 2. Содержимое счетчика 2 становится равным двум.

Через время, определяемое элементом задержки 9, на тактирующий вход суммирования сумматора 4 через элемент ИЛИ 14 вновь поступает импульс, а так как он одновременно поступает и на группу элементов И 6, то удвоенное значение кода сумматора 3 через группу элементов И 6 и группу элементов ИЛИ 7 добавляется к содержимому сумматора 4 Число, эаписанное в нем, становится равным ут" роенному значению кода сумматора 3, а именно, двенадцати. Через время, определяемое элементом задержки 10, импульс поступает на тактирующий вход установки счетчика, 1 и переписывает в него обратный код сумматора 4, затем, пройдя через открытый элемент

И 12 и элемент ИЛИ 13, этот же импульс поступает на счетный вход счетчика 1 и своим задним фронтом добавляет к его содержимому единицу. Тем самым в счетчике 1 формируется код, дополнительный до двенадцати. Следующий импульс переполнения появляется на выходе счетчика I после поступления импульса входной последовательности с номером пятнадцать.

Таким образом, можно убедиться,:. что по окончании всех внутренних так тов и переходных процессов в сумматоре 3 формируется код, равный девяти, в. счетчике 2 - равный трем, в сумматоре 4 - равный двадцати семи, а в счетчике 1 - код, дополнительный до двадцати семи. В соответствии со структурой выражения (8) в счетчике 2 формируется код результатов вычислений М р,„, в сумматоре 3 - код

70

9 9038 ти, в сумматоре 4 - код Ъ м „,, а

Ц э ц Ф следующее переполнение счетчика 1 имеет место при поступлении импульса входной последовательности, имеющего

F7t и номер, равный, " у и - . После каждо- 5

Я, н

ro перехода счетчика 2 в состояние, при котором его содержимое становится кратным четырем, на выходе его второго разряда формируется перепад из единичного состояния в.нулевое.

Триггер 11 этим перепадом переводится в нулевое состояние, благодаря чему на последнем такте обработки очередного переполнения в счетчике 1 формируется не дополнительный, а об- 15 ратный код содержимого сумматора 4.

Следующее за этим переполнение на выходе счетчика 1 имеет место при поступлении числа импульсов, на единицу большего содержимого сумматора 4. m

Тем самым вносится поправка аргумента в соответствии со вторым членом выражения (8

Работа устройства при использовании алгоритма (8 ) отличается только 25 исходным положением, а именно все разряды счетчика 1 предварительно устанавливаются в единичное à все разряды счетчика 2 и сумматора 3 — в ну= левое состояние, состояние три ггера 11 и накапливающего сумматора 4 безразличное. При поступлении импульсов входного числоимпульсного кода работа устройства осуществляется в соответствии с вышеизложенным только очередные переполнения счетчика 1 формируются при поступлении импульсов входной последовательности не с номерами 3, 15, 42, 91..., а с номерами, на единицу большими, чем для алгоритма (8), а именно 1, 4, 1б, 43, 92... и тд.

8 первом случае выходной код уп« формируется в соответствии с ломаной д фиг.2, а во втором - в соответствии с ломаной е на фиг. 2.

Быстродействие устройства определяется динамическими свойствами используемой элементной базы и динамическим диапазоном значений входного кода, определяющим разрядность основных операционных узлов. Технико-экономический эффект заключается в уменьtшении погрешности вычисления.

I

I

I

1

1 !

1

I

1

3

I

1

1

l

1 !

1

1

I

1

1

1 !

l !

Ш

01 л, CD

« 4

CD

LA

CD

Ш

01 .-2 л

CD

Ю

LA

ЕЛ

01

О

- »

Ю

LA

01

-» л

Ю

LA

Ю

Ю

LA л

-»

Ю

LA

CD

LA

01 .3

Ю

LA

-»

О1

-»

Ю

LA

Ш

Ю

LA

«D

OO

-» л

Ю

CD

ЕГ

Ю

I м

Ю

Ц\

Ю !

LA

=3 л

Ю !

LA

Ю

LA л

CD О

=3.

CD

«3"!

СО

--!

Ю

Ю

LA

Ю ! О

--

Ю

« Ч

CD

Ш л

Ю.0 О

-4

CD

-Ф

«D

LA

«D

-»

С4

«3

Ю О

»

Ю О О

-»

Ю

Ю гЧ

LA

Ю

«л4 ..а-»

Ю

I!

СО

«3

«)

01

LA

« 3

«D

1 т

l х

33

3о о

=! !

33

С1

L о

/ !

ЪС

F с. !

1

1

1

1

I

I !

1

1

I 3

I

1

I

1

1

I

l

l

I !

I

1

l ! !

3 !

»

1- E

I

1

t !

l

t

1

l !

I

1 !

1

I

l !

I !

1

I

1..

1

I

I

1

I

I !

I 3

1 I

I CD 1

I - I

I 1

3 !

I

CO I

1

1 1

I 1

I

l

t ! ! -»

f Ч

I l

I

1 1

I 1

1 I м

t 1

I — — сО

-»

Ю

О

Ю ! О О

-»

Ю

«Ч

-» л

Ю

l ! т t х

Ь

Я! ! !

I !

t

1

I

1

l !

1

1 !

I

-

1 !

1

t

l

3 !

1

I !

t

l !

t !

I

13

903870

Источники информации, принятые во внимание при экспертизе

1. Авторское свидетельство. СССР

N 551641, кл. 606 1= 71552, 1974.

2. Авторское свидетельство CCCP и 603988, кл. 606 Т 7/552, 1976 (прототип ).

Формула изобретения

Устройство для извлечения корня третьей степени, содержащее два счетчика, накапливающий сумматор, эле-" мент задержки, триггер, элемент ИЛИ и элемент И, первый вход которого соединен с прямым выходом триггера, а выход подключен к первому входу элемента ИЛИ, выход переполнения первого счетчика подсоединен ко входу эле- 10 мента задержки, выходы разрядов второго счетчика подсоединены к информационным входам накапливающего сумматора со сдвигом на один разряд в сторону старших, о т л и ч а ю щ ее с я тем, что, с целью повышения точности, в него введены второй элемент ИЛИ,. второй накапливающий сумматор, первая и вторая группы элементОв И, группа элементов ИЛИ, второй 20 и третий элементы задержки, при этом

ыход третьего элемента задержки содинен с входом установки первого счетчика и вторым входом элемента И, вход третьего элемента задержки под- 2S соединен к выходу второго элемента задержки, первым входам элементов И второй группы и первому входу второго элемента ИЛИ, выход которого подсоединен к тактирующему входу второго 30 накапливающего сумматора, а второй вход второго элемента ИЛИ соединен с первыми входами элементов И первой группы, входом второго элемента задержки, выходом первоГо элемента за- держки и счетным входом второго счетчика, прямой выход второго разряда

Ь. которого соединен со счетным входом триггера, вход установки в единичное состояние которого соединен со вхо- 40 дом первого элемента задержки, входом сброса второго накапливающего сумматора и тактирующим входом первого накапливающего сумматора, информационный вход младшего разряда которого подсоединен к шине логической единицы, остальные информационные входы подключены к информационным выходам второго счетчика, информационные выходы первого накапливающего суммато" ра подключены ко вторым входам элементов И второй и первой групп,. выход первого элемента И первой группы подключен к входу первого разряда второго накапливающего сумматора, выходы младшего и старшего разрядов первого накапливающего сумматора соединены со вторыми входами соОтветственно первого элемента И первой группы и последнего элемента И второй группы, выход последнего элемента И второй группы подключен к (и- 1)-му разрядному входу второго накапливающего сумматора (где И- разрядность второго накапливакицего сумматора), выходы эле+ ментов И второй группы, кроме послед-. него, соединены с первыми входами элементов ИЛИ группы, вторые входы которых подключены к выходам элементов И, начиная со второго, первой группы, выходы элементов ИЛИ группы соединен с информационными входами, со второго по (и -2)-ой разряды соответственно второго накапливающего сумматора, инверсные выходы которого подключены к информационным входам первого счетчика, счетный вход которого соединен с выходом первого элемента ИЛИ, второй вход которого подключен к информационному входу устройства.

903870

Составитель В. Земенков

Редактор Н. Лазаренко Техреду г1,Тепер Корректор Г.Огар

3акаэ 121/30 Тираж 731 Подписное

ЭНИИПИ Государственного комитета СССР по делам иэобретений и открытий

113035 Москва Ж-Я Раушская наб. g, 4/$

Филиал ППП ."Патент", r. Ужгород, ул. Проектйая, ч