Устройство для интегрирования дифференциальных уравнений

 

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для построения аналоговых и гибридных вычислительных машин и цифровых дифференциальных анализаторов , предназначенных для интегрирования дифференциальных уравнений. Устройство содержит коммутатор, сумматор , п блоков аналоговой памяти, п блоков умножения на коэффициенты уравнения и блок синхронизации. В устройстве достигнуто сокращение затрат аппаратуры и расширена область применения за счет применения алгоО ) ритма, основанного на аппроксимации дифференциального уравнения конечш мй разностями. 3 ил.

СОЮЗ СОВЕТСКИХ

Юй

РЕСПУБЛИК

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР

ПО gLEhAM ИЗОБРЕТЕНИЙ И ОТКРЫТИЙ

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

Н ASTOPCHOMY СВИДВтВЛЬСтВУ (21) 3943826/24-24 (22) 02.07.85 .(46) 30.11.86. Бюл. Ф 44 (71) Математический институт с вычислительным центром АН ТаджССР (72) Н.P. Рабеджанов, М.Х. Гафуров ,и Н.Б. Борухов (53) 681.321(088.8) (56) Авторское свидетельство СССР

Р 807327, кл. С 06 С ?/38, 1981.

Авторское свидетельство СССР ,Ф 801004, кл. G 06 С 7/38, 1981.

„SU,„, 1273962 А1 (51)4..С 06 7 1 02 С 06 7/38. (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (57) Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для построения аналоговых и гибридных вычислительных машин и цифровых дифференциальных анализаторов, предназначенных для интегрирования дифференциальных уравнений.

Устройство содержит коммутатор, сумматор, и блоков аналогов и памяти, и блоков умножения на коэффициенты уравнения и блок синхронизации. В устройстве достигнуто сокращение затрат аппаратуры и расширена область применения эа счет применения алгоритма, основанного на аппроксимации дифференциального уравнения конечными разностями. 3 ип.

1273962

Изобретение относится к вычислительной технике, может быть использовано для построения аналоговых и гибридных вычислительных машин и цифровых дифференциальных анализаторов, предназначенных для интегрирования дифференциальных уравнений.

Целью изобретения является упрощение устройства и расширение облас!

О ти применения sa счет интегрирования по произвольной независимой переменной.

На фиг. l приведена структура устройства; на фиг. 2 — метод решения уравнений; на фиг. 3 — временная диа!

5 грамма, формируемая блоком синхронизации.

Устройство содержит сумматор 1, и блоков аналоговой памяти 2,,2,..., 1

2„, и блоков умножения на коэффициенты уравнения 3,,3,...,3„, коммутатор 4 и блок 5 сийхронизации.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

dU а — f(х) .

dx

Уравнение конечно-разностной аппроксимации первой производной имеет вид (фиг. 2) и! 30

h (†) - u — и

dx тогда при h 1

11 - Б. = а Е(х);

1 о (1)

Ui — Е(х) + U. а 1-1

Уравнение (! ) является уравнением интегратора, осуществляющего однократное интегрирование подинтегральной функции f (х) и эквивалентно уравнению аналогового интегратора.

Рассмотрим дифференциальное урав- . нение n-ro порядка вида

d U g$ а „Е(х)

Уравнение конечно-разностной аппроксимации производной n-ro порядка имеет вид (фиг. 3)

n („) =bU; +bU;,+...+

ii d" U 50

+ Ь„Ui„ (2)

Величины коэффициентов Ь,,Ь,,...,Ь„ уравнения (2) зависят от того, по отношению какой из и точек производит- Я ся аппроксимация.

При и = 1 имеем

Ь,U, + Ь, U,.,+...+ Ь„1i „- — f(x), 1 тогда

U,. - с,f(x) + с, U. +...+ с U., „(3) где Ь с с -- ... с

ab i 11 о о ж — Я-, b

Ь

Уравнение (Э) является уравнением интегратора, осуществлявшего и кратное интегрирование подинтегральной функции и эквивалентно уравнению п последовательно включенных аналоговых интеграторов.

Рассмотрим неоднократное дифференциальное уравнение и-го порядка общего вида

d U а — — "- Е(х), (4)

° dx

Уравнения конечно-разностной аппроксимации производной и-го порядка относительно i-й точки имеет следующий вид

i d U Ь„Ц1„. где Ь,,Ь,...܄— коэффициенты, определяемые из уравнений конечно-разностной аппроксимации производной, тогда при h= 1

d"U

+с„U;„;

b 1 Ь с ** Е - - с о а а

1

Ъ с к 1 а

1 или сU» +сU. +,..., +c„U. =f(x), Откуда

- .dî f (x) d U 1 ° ° ° э+ 1,„ 1; „э где с, d == d

О С 1 С

О о с о

Уравнение (5) является обобщенньм уравнением интегрирования дифференциального уравнения и-го порядка, эквивалентно уравнению блок-схемы набора решающих элементов, состоящих иэ и интеграторов, инверторов и сумматоров.

На основе уравнения (5) можно построить устройства для интегрирования дифференциального уравнения п-го порядка, т.е, возможно последовательное определение значений искомой функции U,. с шагом дискретности h = ax.

1273962

Начальные условия задачи, значения (и-1) всех производных и функции вводятся в блоки памяти 2,2 )...,2„,как

1 значения функции из последовательности первых и точек. Правая часть через,5 блоки 3, в простейшем случае это могут быть потенциометры, подается на коммутатор. Блоки 3,,3,...,3„ предназначены для установки коэффициентов уравнения (5), 10

Работа устройства заключается в следующем.

На первом выходе блока 5 появляется управляющий сигнал, который вклю чает коммутатор 4 и через выходы бло-1 ков памяти 2,2,...,2 „и подинтегральная функция f (х) через блоки 3,, 3,...,3 „ подаются на вход сумматора 1, на выходе которого обраэовывается суммарное напряжение, равное значению искомой функции U; íà i-й точке, которое по этому же управляющему сигналу с выхода блока 5 заносится в блок памяти 2, .

Далее осуществляется подготовка устройства к следующему циклу определения значения искомой функции на

i+1 точке, Для этого по каждому следующему сигналу блока 5 происходит последовательная запись содержимого 30 блока памяти 2„ 1на 2„,2„. на 2, и т.д., 2, на 2 . При этом на выходе сумматора 1 йолучим значение искомой функции 0;+, на следующей i+I точке. После m ц и кKлnоoв, количество которых про- gg порционально интервалу интегрирования 0+x, происходит останов устройства.

Таким образом, устройство осуществляет интегрирование дифференциального уравнения и-го порядка по произвольной независимой переменной на основе конечно-разностной аппроксимации производных, что исключает операцию непосредственного интегрирования вычислением площади подинтегральной функции.

Формула и э обретения

Устройство для интегрирования дифференциальных уравнений, содержащее коммутатор, о т л и ч аю щ е е с я тем, что, с целью упрощения устройства н расширения области применения эа счет интегрирования по произвольной независимой переменной, оно содержит сумматор, и блоков аналоговой памяти (n — порядок дифференциального уравнения), и блоков умножения на коэффициенты уравнения и блок синхронизации, причем выходы коммутатора соединены с входами сумматора, выход которого соединен с выходом устройства и информационным входом первого блока аналоговой памяти, выход которого соединен с информационным входом второго блока аналоговой памяти, выход i-го (i = 2,n) блока аналоговой памяти соединен с информационным входом (i+1)-го блока аналоговой памяти и входом (i-1)-ro блока умножения на коэффициент уравнения, вход и-го блока умножения на коэффициент уравнения соединен с входом подынтегральной функции устройства, выходы блоков умножения на коэффициенты уравнения подключены к информационным входам коммутатора, управляющий вход которого соединен с первым выходом блока синхронизации, j-й вход задания начальных условий устройства соединен с входом начальной установки (j+1)-го (j = I,n-l) блока аналоговой памяти, вход синхронизации записи k-го (k=1 n) блока аналоговой памяти подключен к выходу блока синхронизации.

1273962

dX

2i

Фиа Р

Составитель А. Чеканов

Редактор А. Гулько Техред .В.Кадар Корректо М. Демчик.

Заказ 6479/48 Тираж .671 Подписное

ВНИИПИ, Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/S

Производственно-полиграфическое предприятие, r. Ужгород, ул. ро

П ектная 4